Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 16 оканчивается на 1.
3 (16 в троичной=121), 5(16 в пятеричной=31),15(16 в пятнадцатиричной=11).
8 × 42 = 336 правда незнаю так или нет!
Правильный ответ : 2017-ое квадратное число = 3194.
проверено в Excel.
Решение:
для начала нужно понять как идут наши числа, то есть понять логику построения.
6 8 9 16 18 19 26 28 29 36 38 39 и т.д. 10-ое квадратное число = 36. значит логика построения верная.
как мы можем увидеть из этого кусочка — после первых трех чисел идут те же числа,но увеличенные на десяток.
в 100 первой сотне всех числе у нас «квадратных» 51 -> весь шестой десяток, весь восьмой и весь девятый,в остальных десятках по 3 числа = 30+7*3 = 51.
Получаем :
100 = 51
200= 102
300 = 153
400 = 204
500 = 255
600 = 355 (так как вся сотня с «квадратной» 6)
700 = 406
800 = 506
900 = 606
1000 = 657
2000 = 657+657=1314
3000 = 1314+657 = 1971
3100 = 1971+51=2022
так как нам нужно 2017-ое число,то идем из конца сотни и находим наше число
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления
Формулировка задания: Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа A оканчивается на l.
Задание входит в ЕГЭ по информатике для 11 класса под номером 16 (Кодирование чисел. Системы счисления).
Рассмотрим, как решаются подобные задания на примерах.
Пример задания 1:
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 32 оканчивается на 4.
Выполним перевод числа 32 из десятичной системы в систему N, которую нам нужно найти. Для этого поделим десятичное число на N, при этом остаток от первого деления будет равен 4:
Было подобрано такое число k, что:
kN = 28 = 2 ⋅ 2 ⋅ 7
Осталось найти систему счисления N. При этом нужно учитывать, что N должно быть больше 4, иначе число в искомой системе счисления не сможет оканчиваться на 4:
N = 14 => k = 2, тогда 3210 = 2414
N = 28 => k = 1, тогда 3210 = 1428
Таким образом, N может быть равно 7, 14 и 28.
Пример задания 2:
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.
Возьмем искомую систему счисления за N. Для решения задания нужно рассмотреть 2 случая:
- 3110 = 11N – число 31 в системе N равно 11
- 3110 = . 11N – число 31 в системе N заканчивается на 11 (перед 11 есть другие цифры)
Выполним перевод числа 31 из десятичной системы в систему N. При этом остаток от первого деления и его частное должны быть равны 1:
Значит, система счисления может иметь основание, равное 30.
Выполним перевод числа 31 из десятичной системы в систему N. При этом остатки от первого и второго деления равны 1:
Были найдены такие положительные целые числа k и m, что:
31 – kN = 1
k – mN = 1
Выразим из второго равенства k:
И подставим его в первое равенство:
31 – N ⋅ (mN + 1) = 1
Получили квадратное уравнение относительно N, если его решить, то будут получены основания систем счисления:
a = m, b = 1, c = -30
D = 1² — 4 ⋅ m ⋅ (-30) = 1 + 120m
N1 = (-1 + √ 1 + 120m ) / (2 ⋅ m)
N2 = (-1 – √ 1 + 120m ) / (2 ⋅ m) < 0
В качестве ответа подойдет только первый корень, поскольку он положительный. Второй корень отрицательный, так как в числителе получится отрицательное число, а в знаменателе – положительное (m > 0).
Осталось подобрать такое число m, чтобы извлекался корень и в результате получилось натуральное число. Мы знаем, что m больше нуля, нужно ограничить это число сверху, чтобы сократить перебор.
Число m было получено после того, как исходное число 31 было дважды поделено на N с остатками. Значит:
Про число N известно, что оно больше или равно 2 (иначе в данной системе счисления не может быть цифры 1). Поэтому чтобы получить максимально возможное значение дроби 31 / N 2 , можно подставить в неравенство минимальное N = 2:
m < 31 / 2 2 = 31 / 4 = 7.75
Значит, нужно перебрать все целые числа от 1 до 7, проверить, извлекается ли корень и получается ли целый ответ:
N = (-1 + √ 1 + 120 ) / 2 = (-1 + 11) / 2 = 5
N = (-1 + √ 1 + 120 ⋅ 2 ) / (2 ⋅ 2) = (-1 + √ 241 ) / 4
корень не извлекается
N = (-1 + √ 1 + 120 ⋅ 3 ) / (2 ⋅ 3) = (-1 + √ 361 ) / 6 = (-1 + 19) / 6 = 3
N = (-1 + √ 1 + 120 ⋅ 4 ) / (2 ⋅ 4) = (-1 + √ 481 ) / 8
корень не извлекается
N = (-1 + √ 1 + 120 ⋅ 5 ) / (2 ⋅ 5) = (-1 + √ 601 ) / 10
корень не извлекается
N = (-1 + √ 1 + 120 ⋅ 6 ) / (2 ⋅ 6) = (-1 + √ 721 ) / 12
корень не извлекается
N = (-1 + √ 1 + 120 ⋅ 7 ) / (2 ⋅ 7) = (-1 + √ 841 ) / 14 = (-1 + 29) / 14 = 2
Таким образом, основаниями систем счисления могут быть числа 2, 3, 5 и 30.
Поделитесь статьей с одноклассниками «Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления – как решать».
Есть другой способ решения?
Предложите другой способ решения задачи «Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления». Возможно, он окажется более понятным для кого-нибудь:
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления в которых запись числа 16
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.
Решение . Так как число в системе счисления с основанием N кончается на 11, то число 31 в десятичной системе счисления при делении на N должно давать остаток 1 (т. е. y — любое целое неотрицательное число, N — основание искомой системы счисления) и частное от этого деления y также должно давать остаток 1 при делении на N (т. е. , z — любое целое неотрицательное число). Следовательно, где z — неотрицательное целое число, а
Иначе говоря, должно быть кратным . Отбросим сразу те N, которые при вычитании из 30 дают простые числа,а также те, квадраты которых больше 30: 1, 6, 7, 8, 9, 10, и так далее до бесконечности. Но при этом 30 тоже является решением данной задачи, так как 30 – особый случай, ведь Итого остается еще 2, 3, 4 и 5. Из них подходят 2, 3, 5.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.
Решение . потому, что в системах с меньшим основанием нет цифры 3.
2. Так как число в системе счисления с основанием N кончается на 13, то число 71 в десятичной системе счисления при делении на N должно давать остаток 3 (т. е. y — любое целое неотрицательное число, N — искомое основание системы счисления), а частное от этого деления y должно давать остаток 1 при делении на N (т. е. , z — любое целое неотрицательное число). Следовательно,
3. Определим наибольшее возможное z с учетом условия . Из уравнения следует, что . Чем меньше N, тем больше z, поэтому значение z не превышает
4. Остается рассмотреть все допустимые значения z (от 0 до 4), решая для каждого из них уравнение относительно N, причем нас интересуют только натуральные числа
б)при решения — не целые числа;
в) при и условию натуральности N соответствует только первое решение.
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?
Решение . Так как число в системе счисления с основанием 3 кончается на 22, то искомое число x в десятичной системе счисления при делении на 3 должно давать остаток 2 (т. е. y — любое целое неотрицательное число, x — искомое число) и частное от этого деления y также должно давать остаток 2 при делении на 3 (т. е. , z — любое целое неотрицательное число). Следовательно, .
При При При При значит,
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23.
Решение . 1. потому, что в системах с меньшим основанием нет цифры 3.
2. Так как число в системе счисления с основанием N кончается на 23, то число 63 в десятичной системе счисления при делении на N должно давать остаток 3 (т. е. y — любое целое неотрицательное число, N — искомое основание системы счисления), либо 23 (т. е. ).
Рассмотрим первый случай:
а) Частное от этого деления y должно давать остаток 2 при делении на N (т. е. z — любое целое неотрицательное число). Следовательно,
б) Определим наибольшее возможное z с учетом условия . Из уравнения следует, что . Чем меньше N, тем больше z, поэтому значение z не превышает Так как z — целое неотрицательное число, то можно считать, что z не превышает 3.
в) Остается рассмотреть все допустимые значения z (от 0 до 3), решая для каждого из них уравнение относительно N, причем нас интересуют только натуральные числа
— при решения — не целые числа;
— при и условию натуральности N соответствует только первое решение.
Рассмотрим второй случай. Для этого уравнения , N получается целым только при , Но в системе счисления с основанием 40 число 63 записывается как 1N, что не удовлетворяет условию.