Квадратные неравенства.
Метод интервалов
Прежде чем разбираться, как решать квадратное неравенство, давайте рассмотрим, какое неравенство называют квадратным.
Запомните! 
Неравенство называют квадратным, если старшая (наибольшая) степень неизвестного « x » равна двум.
Потренируемся определять тип неравенства на примерах.
| Неравенство | Тип |
|---|---|
| x − 7 2 + 5x ≥ 0 | квадратное |
| 2x − 7 > 5 | линейное |
| x 2 + x − 12 ≤ 0 | квадратное |
Как решить квадратное неравенство
В предыдущих уроках мы разбирали, как решать линейные неравенства. Но в отличие от линейных неравенств квадратные решаются совсем иным образом.
Важно! 
Решать квадратное неравенство таким же образом как и линейное нельзя !
Для решения квадратного неравенства используется специальный способ, который называется методом интервалов.
Что такое метод интервалов
Методом интервалов называют специальный способ решения квадратных неравенств. Ниже мы объясним, как использовать этот метод и почему он получил такое название.
Запомните!
Чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов нужно:
- перенести все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль;
- сделать так, чтобы при неизвестном « x 2 » стоял положительный коэффициент;
- приравнять левую часть неравенства к нулю и решить полученное квадратное уравнение;
- полученные корни уравнения разместить на числовой оси в порядке возрастания;
- нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с « + », проставить чередуя знаки « + » и « − »;
- выбрать необходимые интервалы и записать их в ответ.
Мы понимаем, что правила, описанные выше, трудно воспринимать только в теории, поэтому сразу рассмотрим пример решения квадратного неравенства по алгоритму выше.
Требуется решить квадратное неравенство.
Переходим к п.2. Необходимо сделать так, чтобы перед « x 2 » стоял положительный коэффициент. В неравенстве « x 2 + x − 12 » при « x 2 » стоит положительный коэффициент « 1 », значит, снова нам ничего делать не требуется.
Согласно п.3 приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.
x1;2 =
| −1 ± √ 1 2 − 4 · 1 · (−12) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| −1 ± √ 1 + 48 |
| 2 |
x1;2 =
| −1 ± √ 49 |
| 2 |
Теперь по п.4 отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.
Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси разным образом.
Теперь, как сказано в п.5, нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.
Проставим знаки внутри интервалов. Справа налево чередуя, начиная с « + », отметим знаки.
Нам осталось только выполнить пункт 6, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ. Вернемся к нашему неравенству.
Так как в нашем неравенстве , значит, нам требуются отрицательные интервалы. Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.
Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами « −4 » и « 3 », поэтому запишем его в ответ в виде двойного неравенства
−4 .
Запишем полученный ответ квадратного неравенства.
Именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами, метод интервалов и получил свое название.
После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.
Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа −4 и подставим его вместо « x » в исходное неравенство. Если мы получим верное неравенство, значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно.
Возьмем, например, из интервала число « 0 ». Подставим его в исходное неравенство « x 2 + x − 12 ».
Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.
Краткая запись решения методом интервалов
Сокращенно запись решения квадратного неравенства методом интервалов будет выглядеть так:
x 2 + x − 12 2 + x − 12 = 0
x1;2 =
| −1 ± √ 1 2 − 4 · 1 · (−12) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| −1 ± √ 1 + 48 |
| 2 |
x1;2 =
| −1 ± √ 49 |
| 2 |
x1;2 =
| −1 ± 7 |
| 2 |
Другие примеры решения квадратных неравенств
Рассмотрим решение других примеров квадратных неравенств. Требуется решить квадратное неравенство:
В правой части неравенство уже стоит ноль. При « x 2 » стоит « 2 » ( положительный коэффициент), значит можно сразу переходить к поиску корней.
x1;2 =
| −(−1) ± √ (−1 2 ) − 4 · 2 · 0 |
| 2 · 2 |
x1;2 =
| 1 ± √ 1 |
| 4 |
x1;2 =
| 1 ± 1 |
| 4 |
Рассмотрим пример, где перед « x 2 » в квадратном неравенстве стоит отрицательный коэффициент.
По п.2 общих правил решения методом интервалов нам нужно сделать так, чтобы перед « x 2 » стоял положительный коэффициент. Для этого умножим все неравенство на « −1 ».
Важно!
Помните, что при умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный .
Можно переходить к п.4 и п.5. Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение. Затем расположим полученные корни на числовой оси и проведем между ними «арки».
x1;2 =
| −3 ± √ 3 2 − 4 · 1 · (−4) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| −3 ± √ 9 + 16 |
| 2 |
x1;2 =
| −3 ± √ 25 |
| 2 |
x1;2 =
| −3 ± 5 |
| 2 |
Важно!
При определении того какие интервалы нам нужно брать в ответ, исходить нужно из самого последнего изменения неравенства перед нахождением его корней.
В нашем случае самая последняя версия неравенства перед поиском корней уравнения это « x 2 + 3x − 4 ≤ 0 ».
Значит для ответа нужно выбирать интервалы со знаком « − ».
Ответ: −4 ≤ x ≤ 1
К сожалению, при решении квадратного неравенства не всегда получаются два корня и все идет по общему плану выше. Возможны случаи, когда получается один корень или даже ни одного корня.
Как решить квадратные неравенства в таких случаях, мы разберем в следующем уроке «Квадратные неравенства с одним корнем или без корней».
Неравенства
Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения.
Не важно каким является неравенство – строгим ( ) или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).
Поясним что означает решить неравенство?
После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!
Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?
Как решать неравенства?
Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.
Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.
Можно сказать на этом полдела сделано. Далее, взяв любую точку на каждом интервале, осталось определить выполняется ли само неравенство? Если выполняется, то он входит в решение неравенства. Ели нет, то пропускаем его.
Как правильно записывать решение неравенства?
Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?
Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.
Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.
Важный момент
Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.
Х меньше 4 какой промежуток
Сделаем замену: Тогда
Неравенство принимает вид: откуда
Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда Получаем:
Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к откуда также получается ответ
Приведем решение Наиля Мусина для нахождения нулей числителя.
Для нахождения нулей числителя сделаем замену Заметим, что тогда для нахождения нулей числителя решим уравнение:
Возвращаясь к исходным переменным, получим
Здравствуйте, объясните пожалуйста по-другому я не понимаю этого решения, лучше через второй способ тождественных преобразований
Тут можно посочувствовать, так как, эта задача именно на то, что сказано в решении. Либо, в крайнем случае, на умение правильно сделать, те самые, тождественные преобразования.
У меня вопрос. С каких это пор решением неравенства является одно число? Вообще-то, промежуток должен быть в ответе.
С каких именно пор ответить трудно, но очень давно. Вероятно, ещё до Большого взрыва в тот поистине чудесный момент, когда из квантовой пены появилось на свет неравенство
Тип 14 № 508212 
Используя метод интервалов, получаем:
Тип 14 № 507491
Перепишем неравенство в виде:
Множество решений исходного неравенства:
А как из получилось .
Разложили по разности квадратов.
почему x не должен быть равен 1? Там ведь (х-1) сокращается, и в делителе остается (х-2), получается, что х не должен быть равен 2.
Именно потому, что (х-1) сокращается, х не должен равняться 1. Иначе Вы будете сокращать (делить) на нуль
А почему не указывают, что икс также не может ровняться двойке?
Это «указано» в каждой строчке, наличием скобки в знаменателе
Почему вы включаете в ответ первые два промежутка? Если общая часть, с учётом ОДЗ, это только от 3 до 4.
Тип 14 № 508213
Используя метод интервалов, получаем:
Тип 14 № 508347
Возвращаясь к исходной переменной, получаем: или
Уважаемая редакция, пожалуйста, напишите немного подробнее — трудно понять преобразования. К сожалению, не все такие умные, как Александр Иванов из Санкт-Петербурга.
Здравствуйте, я заметил ошибку в ответе после замены.z правильно подобран от (3;6] и от (9;15]. Далее, возвращаемся из замены подставляя x корень из 3. Получается, что 3<xкореньиз3_>6 и 9<xкореньиз3_<15. Далее, я задумался и нашел очевидную ошибку. Почему вы умножили на корень из 3, ведь чтоб избавиться от иррациональности х необходимо разделить на кореньиз3 . Ответ, соответственно, получается иным. Прошу обратить внимание.