Различия в арифметическом и геометрическом среднем
В математических терминах «среднее» — это среднее. Средние значения рассчитываются для осмысленного представления набора данных. Например, метеоролог может сказать вам, что средняя температура на 22 января в Чикаго составляет 25 градусов по Фаренгейту на основе прошлых данных. Это число не может предсказать точную температуру на 22 января следующего года в Чикаго, но оно говорит вам достаточно, чтобы знать, что вы должны взять с собой куртку, если вы собираетесь в Чикаго в этот день. Два обычно используемых средства — среднее арифметическое и среднее геометрическое. Знание того, что использовать для ваших данных, означает понимание их различий.
Формулы для расчета
Наиболее очевидная разница между средним арифметическим и средним геометрическим значением для набора данных заключается в том, как они рассчитываются. Среднее арифметическое рассчитывается путем сложения всех чисел в наборе данных и деления результата на общее количество точек данных.
Пример: среднее арифметическое 11, 13, 17 и 1000 = (11 + 13 + 17 + 1000) / 4 = 260,25
Среднее геометрическое значение набора данных рассчитывается путем умножения чисел в наборе данных и получения n-го корня результата, где «n» — общее количество точек данных в наборе.
Пример: среднее геометрическое из 11, 13, 17 и 1000 = 4-й корень из (11 x 13 x 17 x 1000) = 39,5
Влияние выбросов
Когда вы смотрите на результаты вычислений среднего арифметического и среднего геометрического, вы замечаете, что влияние выбросов значительно уменьшается в среднем геометрическом значении. Что это значит? В наборе данных 11, 13, 17 и 1000 число 1000 называется «выбросом», потому что его значение намного выше, чем все остальные. Когда вычисляется среднее арифметическое, результат составляет 260,25. Обратите внимание, что ни одно число в наборе данных не близко даже к 260,25, поэтому среднее арифметическое в этом случае не является репрезентативным. Эффект выброса был преувеличен. Среднее геометрическое значение 39,5 лучше показывает, что большинство чисел из набора данных находятся в диапазоне от 0 до 50.
Пользы
Статистики используют арифметические средства для представления данных без значительных выбросов. Этот тип среднего подходит для представления средних температур, потому что все температуры на 22 января в Чикаго будут между -50 и 50 градусами по Фаренгейту. Температура в 10000 градусов по Фаренгейту просто не произойдет. Такие вещи, как средние значения ватина и средние скорости гоночных автомобилей, также хорошо представлены с использованием арифметических средств.
Геометрические средние используются в тех случаях, когда различия между точками данных являются логарифмическими или отличаются от кратных 10. Биологи используют геометрические средства для описания размеров популяций бактерий, которые могут составлять 20 организмов в один день и 20 000 в следующий. Экономисты могут использовать геометрические средства для описания распределения доходов. Вы и большинство ваших соседей могли бы зарабатывать около 65 000 долларов в год, но что, если парень на холме зарабатывает 65 миллионов долларов в год? Среднее арифметическое значение дохода в вашем районе будет вводить в заблуждение, поэтому геометрическое среднее будет более подходящим.
Неравенства между средними значениями
Замечание . Утверждение 1 остается справедливым и в случае, когда , и в случае, когда.
Следствие 1 . Для произвольного набора из n положительных чисел
справедливы следующие неравенства между его средними значениями:
Следствие 2 . Для произвольного набора из n положительных чисел
любые два из его средних значений
равны между собой тогда и только тогда, когда все числа
Итак, для n произвольных положительных чисел
справедлива следующая цепочка неравенств:
Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом
утверждающее, что среднее геометрическое n положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, называется неравенством Коши .
В случае, когда n = 2 , неравенство Коши имеет вид
Докажем это неравенство:
что и требовалось.
Из неравенства Коши с n = 2 , взяв
нетрудно получить очень полезное следствие .
Следствие . Для произвольного положительного числа x выполнено неравенство
Неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом
В случае n переменных неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом имеет вид:
math_in_school
Поскольку эти понятия используются очень часто, имеет смысл немного о них поговорить. Среднее арифметическое возникает, когда делят поровну. Тут всё понятно – как говорил Шариков – сложить и поделить. Sa =( a + b )/2 .
А что такое среднее геометрическое для a и b ? Это такой отрезок, который будет стороной квадрата, равного по площади прямоугольнику со сторонами a и b . Понятно, что он между a и b . Sg = √ ( ab) — корень квадратный из произведения.
Сравним Sa V Sg при одних и тех же a и b (для положительных, разумеется ) V – знак сравнения. Его можно заменить на > или < , преобразовав неравенство в такое, которое будет выглядеть очевидным. Понятно, что следует выполнять правила операций с частями неравенства – переносить , добавлять равное или умножать на положительное число.
(a+b)/2 V √ (ab) ; a + b — 2 √ (ab ) V 0 ; a + b — 2 √ a √ b V 0 ;
Левая часть неравенства – полный квадрат a + b — 2 √ a √ b = ( √ a — √ b ) ² >= 0 Следовательно, знак V в неравенстве Sa V Sg мы имеем право заменить на >= .
Sa >= Sg Среднее арифметическое двух положительных чисел a и b всегда больше или равно их среднему геометрическому, причём равенство достигается при a = b .
Этот факт имеет очень простую и красивую геометрическую интерпретацию. Пусть a + b будут диаметром окружности. Тогда перпендикуляр к диаметру из точки соприкосновения отрезков a и b до пересечения с окружностью даст среднее геометрическое. А радиус – среднее арифметическое. Предлагаю доказать это в качестве упражнения. 
А что будет, если чисел не два, а больше? Будет то же самое, но называться станет сложно и страшно – неравенством Коши-Буняковского. Докажем его как-нибудь в другой раз, после того, как разберёмся, что такое математическая индукция.
П.С. Выполняя пожелание old_greeb , рассмотрим ещё одно среднее — гармоническое Sh=2ab/(a+b) Это величина является,например, решением задачи о средней скорости, которой часто морочат головы изучающим физику — заставляя пользоваться точным определением средней скорости, а не интуитивными понятиями. Пусть первую половину пути объект двигался со скоростью а, вторую половину — со скоростью b. Какова средняя скорость? Интуитивный ответ (a+b)/2, очевидно, неверен. Правильное решение по определению скорости, как отношения пути ко времени, даёт V=S/(S/2a +S/2b) = 2ab/(a+b)
Сравним среднее гармоническое и среднее геометрическое. 2ab/(a+b) V √ (ab) или √( ab)/((a+b)/2) V 1 В числителе — среднее геометрическое, которое меньше среднего арифметического в знаменателе 2ab/(a+b) <= √ (ab)
среднее гармоническое <= среднее геометрическое <= среднее арифметическое