Фокус с кубиками как гуманитарный аспект при изучении уравнений
В качестве средства реализации гуманитарной направленности в обучении математике нами были взяты игральные кости (игральные кубики). Они позволяют сделать процесс обучения интересным, познавательным, а также обогатить его историческими сведениями, логическими и занимательными задачами, фокусами, игровыми элементами. Данные материалы можно использовать в классах, где рассматриваются уравнения, элементы теории вероятностей.
- развитие вычислительных навыков;
- развитие логического мышления;
- развитие творческих способностей;
- развитие способностей самостоятельного поиска путей решения задач;
- повышение интереса к математике.
1). Заранее из плотной бумаги дети должны изготовить по три кубика одинакового размера, на гранях каждого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма чисел, лежащих на противоположных гранях кубика, равнялась 7 (рис. 1).
2). Карточки с числами от 8 до 13 (рис. 2).
3). Плакаты с рисунками, используемые в проведении урока.
Учитель. Сегодня у нас необычный урок. Начнем мы его с фокуса, и объясним его разгадку, применяя математику. Для проведения фокуса нам нужны кубики, которые являются атрибутом ряда азартных игр. Что же означает понятие “азартные игры”, “игральные кубики” и откуда они появились?
Исторические сведения. [Для их сообщения учитель может подготовить учащихся]. Слово “азар” по-арабски означает “трудный”. Так арабы называли азартной игрой комбинацию очков, которая при бросании нескольких костей могла появиться лишь единственным способом. Слово “азарт” является транскрипцией французского слова “le hasard”, буквально означающего “случай”, “риск”. Поэтому, азартными называют те игры, в которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Риск, играющий важную роль в этих играх, и приводит участников в необычайное состояние сильного увлечения и горячности. Азартные игры появились в глубокой древности. В азартных играх в качестве игральных костей использовались кости животных – астрагалы, так как при бросании они могли падать на четыре разные стороны. Игральная кость представляет собой куб с нанесёнными на его гранях точками от одной до шести. Материал для игральных костей был самым различным: глина, кость, дерево, стекло и другой. Самая древняя игральная кость найдена в Северном Ираке и относится к IV тысячелетию до нашей эры. Известна ваза (амфора) VI века до нашей эры, на которой изображены Аякс и Ахилл, играющие в кости. В Римской империи были законы, разрешающие играть в кости только в определённые сезоны. В средневековой европейской литературе, начиная с XI-XII веков, встречаются упоминания и некоторые описания различных азартных игр. Также существовали и законы о запрещении азартных игр, которые в разное время были изданы Фридрихом II (1232г.), царём Алексеем Михайловичем (1649г.), Екатериной II (1782г.) и другими. Людвиг IX (1255г.) запрещал не только игры, но и производство костей. Законы Эдуарда III и Генриха VIII запрещали играть в кости и карты. В различных странах существовали инструкции, ограничивающие азартные игры.[8]
2. Устная работа.
Задача 1. Какой из кубиков, изображенных на рисунке 3, точно такой же, как кубик М? (Ответ: кубик “з”).
Задача 2. На рисунке 4 изображены: игральный кубик и его развертка. Какое число находится на: а) нижней грани кубика; б) боковой грани слева; в) боковой грани сзади? (Ответ: а) 6; б) 5; в) 2).
Задача 3. На рисунке 5 изображены два игральных кубика. Какие числа изображены на их нижних гранях? (Ответ: а) 5; б) 2).
Задача 4. На рисунке 6 показаны игральный кубик и три развертки. Какие из них могут быть развертками именно этого кубика? (Ответ: только “б”).
3. Методика использования игральных костей при составлении уравнений.
- Поставить один кубик на другой.
- Получить карточку от учителя.
- Подсчитать сумму чисел на трех закрытых горизонтальных гранях кубиков.
- Сравнить результат с числом на карточке.
Учитель. Вы расставляете кубики как сказано, а фокусник после этого раздаст вам карточки. Дальше вы работаете по заданию.
Класс. [Приступает к выполнению заданий, а фокусник раздает карточки соответственно расставленным кубикам, которая является ответом на конкретную ситуацию].
Учитель. [По окончании работы учащихся]. Итак, фокусник отгадал сумму чисел на закрытых горизонтальных гранях для двух кубиков. Теперь фокусник покажет этот фокус, но уже с тремя закрытыми гранями. Для этого мне необходим помощник. [Выходит помощник, учитель помощнику]. Даны три кубика. Поставьте их друг на друга так, как захочется. [Помощник расставляет кубики]. Сумма чисел на закрытых горизонтальных гранях кубиков будет равна 15. Проверим. Я буду диктовать, а Вы, [помощнику], запишите значения на доске. Итак, имеем [показывая значение закрытых граней] 1, 6, 2, 5, 1. Чему равна сумма этих чисел 1 + 6 + 2 + 5 + 1?
Класс. Сумма равна 15.
Учитель. Правильно. Спасибо нашему помощнику. Давайте разгадаем секрет фокусника. Рассмотрим сначала два кубика [показывает два поставленных друг на друга кубика – рис. 7а]. Сколько всего горизонтальных граней в этом случае?
Класс. Горизонтальных граней четыре.
Учитель. А сколько граней закрытых?
Учитель. Тогда значение, какой грани нам известно?
Класс. Верхней грани.
Учитель. Те грани, которые закрыты, мы обозначим звездочками и тогда получим (рис. 8):
Учитель. С помощью этого выражения мы запишем сумму всех чисел, расположенных на горизонтальных гранях. Мы знаем, что сумма чисел на противоположных гранях любого из этих кубиков равна 7. Значит, можно записать, что значения двух противоположных граней квадратов дают сумму, равную 7, т.е. (рис. 9):
Учитель. Тогда мы можем ответить на вопрос: чему равна сумма всех значений на горизонтальных гранях этих кубиков?
Учитель. Правильно. Тогда сумма на наших гранях будет тоже равна 14, т.е. (рис. 10):
Учитель. Наша задача заключается в том, чтобы найти сумму чисел только на закрытых гранях. Поэтому мы, используя сочетательное свойство, можем записать, что нам надо найти следующим образом (рис. 11):
Учитель. Теперь скажите, как из этого выражения составить уравнение и решить его?
Класс. Значение в скобках мы можем обозначить за х (рис. 12) и тогда мы получим уравнение с одним неизвестным: х + 4 = 14.
Учитель. Правильно. А как нам решить это уравнение с одним неизвестным?
Класс. Чтобы его решить, мы должны из суммы вычесть известное слагаемое. Получим:
Учитель. Правильно. Теперь закрепим полученные сведения. У меня два кубика. Я буду их переставлять, а вы сосчитайте сумму на закрытых гранях. [Показывает два поставленных друг на друга кубика]. Итак, например, если значение на верхней грани равно 2, тогда чему равна сумма на закрытых гранях?
Учитель. Правильно. [Переставляет кубики]. Теперь на верхней грани – число 6. Чему равна сумма на закрытых гранях?
Учитель. Хорошо. Теперь мне необходим еще один помощник. [Выходит помощник]. Я буду переставлять кубики, а вы должны составить уравнение по известному значению на верхней грани, а класс будет следить за тем, чтобы вы не ошиблись. [Учитель меняет кубики; помощник записывает уравнения].
Ученик. [Например]: х + 1 = 14 и х + 5 = 14.
Учитель. А теперь вы будете работать парами. Например, один ученик расставляет для второго ученика кубики, как захочет. Второй ученик на листочке делает зарисовку расположения кубиков, составляет уравнение и решает его. Затем наоборот – второй расставляет кубики, и первый выполняет необходимые задания. [Учащиеся выполняют задание]. Заканчиваем выполнять задание. Попросим первого ученика показать, как он выполнил и оформил это задание на листочке.
Ученик. [Выходит к доске и записывает решение для рисунка 7б)]:
Учитель. [Ученику] Поясни, пожалуйста, свою запись. Как ты получил данное уравнение?
Ученик. Уравнение получено из того, что х + 6 = 2 · 4.
Учитель. Спасибо, садись. Я еще раз хочу обратить ваше внимание на то, что мы получили значение суммы 14 из того, что у нас есть два кубика. Сумма значений на противоположных гранях, которых равна 7. Поэтому, мы рассматриваем произведение 2 · 7 = 14. Только что, переставляя кубики, мы с вами выполнили задание. А как теперь на основе полученного и решенного уравнения составить задачу? Подумайте. Что нам известно?
Класс. Нам известна сумма значений на противоположных гранях кубика, которая равна 7.
Учитель. А что еще?
Класс. Значение на верхней грани.
Учитель. А что мы находили?
Класс. Значение суммы на закрытых горизонтальных гранях.
Учитель. Так как же мы можем сформулировать условие задачи по данному уравнению?
Класс. Сумма значений на четырех гранях, стоящих друг на друге кубиков, равна 14. Значение на верхней горизонтальной грани равно 6. Найти сумму чисел на закрытых горизонтальных гранях.
Учитель. Хорошо. Теперь следующее задание. На своих листках ниже составленных уравнений запишите по нему текст условия задачи. [После выполнения задания учитель собирает листочки].
Учитель. Выполните следующее творческое задание, записанное на доске (рис. 13):
Учитель. Какую задачу мы должны составить?
Класс. Обратную задачу: по известной сумме значений на противоположных гранях кубика, мы должны за неизвестное взять значение на верхней грани.
Учитель. Сколько таких задач мы можем составить: конечное или бесконечное число?
Учитель. А раз конечное, то, сколько всего можно составить задач?
Класс. Всего шесть задач.
Класс. Так как у кубика всего шесть граней.
Учитель. Теперь усложним задачу и возьмем три кубика. Найдите сумму очков на закрытых горизонтальных гранях и составьте по нему обратную задачу. Вот данная ситуация (рис. 14а). На верхней грани у нас значение – 4. Как найти сумму очков на закрытых гранях?
Класс. Так как, нам известно, что сумма на противоположных гранях кубика равна 7, то сумма значений на всех горизонтальных гранях будет равна 3 · 7 = 21. Так же мы знаем, что значение на верхней грани равно 4, то сумма на закрытых гранях будет равна 21 – 4 = 17.
Учитель. Какое уравнение можно составить для этой задачи?
Учитель. Хорошо. Теперь для этого случая составьте обратную задачу.
Класс. Чтобы найти значение на верхней грани, мы должны 21 – 17 = 4.
Учитель. Правильно. Теперь у меня четыре кубика (рис. 14б). Составьте уравнение и ему обратное.
Класс. Нам известно, что сумма на противоположных гранях кубика равна 7, то сумма значений на всех горизонтальных гранях четырех кубиков будет равна 4 · 7 = 28. Мы знаем, что значение на верхней грани равно 3, а сумма на закрытых гранях будет равна 28 – 3 = 25 (табл. 1).
| Составляем уравнение и решаем его: | Составляем обратное уравнение и решаем его: |
| х + 3 = 4 · 7 |
4. Самостоятельная творческая работа.
Учитель. А сейчас вы будете работать самостоятельно. Вам нужно подумать и записать: какую мысленную работу должен провести фокусник, взяв 4 кубика (рис. 15а), 5 кубиков (рис. 15б) и 6 кубиков (рис. 15в). [Учащиеся выполняют задание самостоятельно, затем проверяется решение (табл. 2)].
| Для 4-х кубиков | Для 5-и кубиков | Для 6-и кубиков |
| х + 4 = 4 · 7 |
Задача 1. Из картона склеен игральный кубик, на гранях которого, нанесены очки (рис. 16а).
Сумма очков на любых двух противоположных гранях равна 7. На рис. 16б дан один из вариантов развертки этого кубика с изображением очков на его гранях. Нанесите очки на пустые грани двух других вариантов развертки этот кубика (рис. 16в, 16г), с тем, чтобы сохранился как порядок расположения граней с разным количеством очков, так и наклон в изображении очков на каждой грани. (Ответ: возможный вариант расположения точек – на рис. 17).
Задача 2. На гранях куба написаны числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 так, что сумма чисел любых двух противоположных гранях равна 7. На рис. 18а изображен этот куб.
Перерисуйте развертки (рис. 18б и 18в) и расставьте на них числа 3, 4, 5 и 6 в нужном порядке. (Ответ: числа можно расставить так, как показано на рис. 19).
Задача 3. Выберите кубик (рис. 20), соответствующий данной развертке. (Ответ: кубик “в”).
6. Историческая задача Никколо Тарталья.
Исторические сведения. Одним из первых подсчетом различных комбинаций при игре в кости занялся итальянский математик Никколо Тарталья (1499-1557) (рис. 21).
Настоящая его фамилия – Фонтана. Никколо родился в Брешии в бедной семье. Когда мальчику было шесть лет, он вместе с родственниками спасался в храме от французских завоевателей, осадивших его родной город Брешу. Священные стены, однако, не уберегли от несчастья: Никколо был тяжело ранен мечом французского солдата в гортань. С тех пор он говорил с трудом и на всю жизнь остался заикой. Отсюда его прозвище – Тарталья (картавый, заика). Он рано остался без отца. Мать не могла платить за обучение сына, поэтому в школе Никколо успел выучить лишь начало азбуки до буквы “к”. Стремление к знаниям и необыкновенная твердость характера проявились уже в детстве. Всеми остальными знаниями он овладел самостоятельно. Тарталья не только самостоятельно научился читать и писать, но и сумел приобрести большие познания в математике и механике. Тарталья преподавал математику в Вероне, Венеции, Брешии. Впоследствии он создал замечательный для своего времени трактат “Новая наука”, в котором рассмотрел различные вопросы механики, в том числе расчёт траекторий снарядов. Также Тарталья нашел способ решения кубических уравнений и внес вклад в развитие теории вероятностей.[14]
Задача. На какую сумму очков, выпавших при подбрасывании двух игральных костей, разумно делать ставку?[1]
Решение. Перечислим возможные суммы и способы их получения (табл. 3).
| Сумма очков | Число способов | Возможные варианты |
| 2 | 1 | 1 + 1 |
| 3 | 2 | 1 + 2; 2 + 1 |
| 4 | 3 | 1 + 3; 3 + 1; 2 + 2 |
| 5 | 4 | 1 + 4; 4 + 1; 2 + 3; 3 + 2 |
| 6 | 5 | 1 + 5; 5 + 1; 2 + 4; 4 + 2; 3 + 3 |
| 7 | 6 | 1 + 6; 6 + 1; 2 + 5; 5 + 2; 3 + 4; 4 + 3 |
| 8 | 5 | 2 + 6; 6 + 2; 3 + 5; 5 + 3; 4 + 4 |
| 9 | 4 | 3 + 6; 6 + 3; 4 + 5; 5 + 4 |
| 10 | 3 | 4 + 6; 6 + 4; 5 + 5 |
| 11 | 2 | 5 + 6; 6+ 4 |
| 12 | 1 | 6 + 6 |
Видно, что целесообразно сделать ставку на выпадение сумме 7 очков, поскольку она получается наибольшим количеством вариантов, а, следовательно, имеет больше шансов на выпадение, чем другие суммы.
Ответ: на 7 очков.
7. Игра “Считай, не зевай”.
Для игры надо изготовить поле, разделенное на 9 равных отделений и пронумерованное, как показано на рисунке 22; два игральных кубика (стандартных); 9 плашек, каждая из которых должна закрывать половину отделения. Такой набор должен находиться на каждой парте.
Условия игры. Играют парами. Начинающий игру бросает одновременно 2 кубика и складывает выпавшие на верхних гранях кубиков очки. Допустим, выпало 3 и 6 очков, что составляет в сумме 9. Играющий закрывает на игровом поле цифру 9 или 1 и 8, или 2 и 7, или 3 и 6, или 4 и 5, или 1, 2 и 6. Предположим, что он выбрал цифры: 1, 2 и 6. Посла этого вновь бросает кубик. Допустим, выпадает 4 и 6, что составляет в сумме 10. Он закрывает плашками 3 и 7. Бросает кубик в третий раз, у него выпадает 3 и 5, что составляет 8. Закрывает плашкой эту цифру. Четвертый бросок дает, допустим, в сумме 6. Из оставшихся незакрытыми цифр 4, 5 и 9 образовать число 6 никак нельзя. Тогда он записывает себе все оставшиеся незакрытыми цифры в возрастающем порядке – 459. Получившееся трехзначное число обозначает количества штрафных очков.
В игру вступает второй играющий. Он также бросает кубики и накрывает плашками цифры до тех пор, пока останутся цифры, из которых нужное число образовать невозможно. Получившееся число штрафных очков он записывает себе. Побеждает тот, у которого после трех партий окажется меньше штрафных очков.[10]
Учитель. Подведем итог нашего необычного урока. Вы убедились, что даже фокусник должен знать математику и уметь составлять уравнения. Поэтому я советую вам провести этот фокус с родными, друзьями, близкими и с любым количеством кубиков, даже большим, чем мы с вами рассматривали – больше шести. Спасибо за урок!