Чем отличается дифференциал от производной?
Существует множество довольно сложных для восприятия формулировок, объясняющих термины производная и дифференциал, разобраться в которых не просто. С производной еще куда ни шло — она показывает скорость изменения функции и само по себе понятие скорости имеет простой физический смысл, который легко увидеть в реальной жизни — то есть это то ускорение с которым движется например падающий камень или стартующий гонщик. Дифференциалу труднее подобрать простой аналог из жизни — тут приходится опираться больше на геометрию. Ведь дифференциал — это просто главная часть приращения значения функции на каком-то отрезке. Графически его можно представить, как часть приращения функции ограниченная касательной в точке Х0 и перпендикуляром от этой точки на ось У. А вот производная в подобном рисунке — это тангенс угла наклона такой касательной.
в чем разница между производной и дифференциалом?
Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.
Произво́дная в математике — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции. Физический смысл производной — скорость изменения величины или процесса.
«Приращение это в общем на сколько функция увеличилась. то есть точно. дифференциал — это то на сколько функция увеличилась, с точностью до бесконечно малых высшего порядка. то есть приближение, линейное. производная — это «скорость» увеличение дифференциала при увеличении приращения аргумента. «
Да ну.
вообще-то прямо пропорциональны.
по определению
df = f’*delta x
посмотрте определдения. Общего вообще-от мало.
производная по сути — оператор, который ставит одной функции в соответствие другую. Дифференциал по сути — функция двух переменных, линейная по одному параметру.
Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d)
Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.
Начало
Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной (скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.
Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:
-напоминаю, что Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции.
Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».
Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).
Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):
И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.
Смотрим дифференциалу в лицо
Расмотрим такой график:
Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.
Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной — то есть BC, а CD — это лишь та «погрешность» которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:
Дифференциал(d) — это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) — это главная линейная часть приращения функции.
Зная это введем обозначение на графике:
Вернемся к равенству
BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.
Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.
Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).
Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.
Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx
И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.
Немного пределов
Добавим с левой части и с правой предел
В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:
Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:
Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции — это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.