Линейная алгебра на Python. [Урок 1]. Создание Матрицы. Общие понятия
Эта статья открывает список уроков на тему “Линейная алгебра с примерами на Python“ . Мы постараемся рассказать о базовых понятиях линейной алгебры, которые могут быть полезны тем, кто занимается машинным обучением и анализом данных, и будем сопровождать все это примерами на языке Python .
Матрицы
Матрицей в математике называют объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, элементами которой являются числа (могут быть как действительные, так и комплексные). Пример матрицы приведен ниже.
В общем виде матрица записывается так:
Представленная выше матрица состоит из i-строк и j-столбцов. Каждый ее элемент имеет соответствующее позиционное обозначение, определяемое номером строки и столбца на пересечении которых он расположен: \(a_
Важным элементом матрицы является главная диагональ , ее составляют элементы, у которых совпадают номера строк и столбцов.
Виды матриц и способы их создания в Python
Матрица в Python – это двумерный массив, поэтому задание матриц того или иного вида предполагает создание соответствующего массива. Для работы с массивами в Python используется тип данных список (англ. list ). Но с точки зрения представления матриц и проведения вычислений с ними списки – не очень удобный инструмент, для этих целей хорошо подходит библиотека Numpy , ее мы и будем использовать в дальнейшей работе.
Напомним, для того, чтобы использовать библиотеку Numpy ее нужно предварительно установить, после этого можно импортировать в свой проект. По установке Numpy можно подробно прочитать в разделе “Установка библиотеки Numpy” из введения. Для того чтобы импортировать данный модуль, добавьте в самое начало программы следующую строку
Если после импорта не было сообщений об ошибке, то значит все прошло удачно и можно начинать работу. Numpy содержит большое количество функций для работы с матрицами, которые мы будем активно использовать. Обязательно убедитесь в том, что библиотека установлена и импортируется в проект без ошибок.
Рассмотрим, различные варианты матриц и способы их задания в Python .
Вектор
Вектором называется матрица, у которой есть только один столбец или одна строка. Более подробно свойства векторов, их геометрическая интерпретация и операции над ними будут рассмотрены в “ Главе 2 Векторная алгебра” .
Вектор-строка
Вектор-строка имеет следующую математическую запись.
Такой вектор в Python можно задать следующим образом.
Если необходимо создать нулевой или единичный вектор , то есть вектор, у которого все элементы нули либо единицы, то можно использовать специальные функции из библиотеки Numpy .
Создадим нулевую вектор-строку размера 5 .
В случае, если требуется построить вектор-строку так, чтобы она сама являлась элементом какого-то массива, это нужно для возможности транспонирования матрицы (см. раздел “ 1.3 Транспонирование матрицы” ), то данную задачу можно решить так.
Построим единичную вектор-строку в обоих из представленных для нулевого вектора-строки форм.
Вектор-столбец
Вектор-столбец имеет следующую математическую запись.
В общем виде вектор столбец можно задать следующим образом.
Рассмотрим способы создания нулевых и единичных векторов-столбцов. Построим нулевой вектор-столбец .
Единичный вектор-столбец можно создать с помощью функции ones() .
Квадратная матрица
Довольно часто, на практике, приходится работать с квадратными матрицами . Квадратной называется матрица, у которой количество столбцов и строк совпадает. В общем виде они выглядят так.
Создадим следующую матрицу.
В Numpy можно создать квадратную матрицу с помощью метода array() .
Как вы уже наверное заметили, аргументом функции np.array() является список Python , его можно создать отдельно и передать в функцию.
Но в Numpy есть еще одни способ создания матриц – это построение объекта типа matrix с помощью одноименного метода. Задать матрицу можно в виде списка.
Также доступен стиль Matlab , когда между элементами ставятся пробелы, а строки разделяются точкой с запятой, при этом такое описание должно быть передано в виде строки.
Диагональная матрица
Особым видом квадратной матрицы является диагональная – это такая матрица, у которой все элементы, кроме тех, что расположены на главной диагонали, равны нулю.
Диагональную матрицу можно построить вручную, задав только значения элементам на главной диагонали.
Библиотека Numpy предоставляет инструменты, которые могут упростить построение такой матрицы.
Первый вариант подойдет в том случае, если у вас уже есть матрица, и вы хотите сделать из нее диагональную. Создадим матрицу размера 3 3 .
Извлечем ее главную диагональ.
Построим диагональную матрицу на базе полученной диагонали.
Второй вариант подразумевает построение единичной матрицы, ей будет посвящен следующий параграф.
Единичная матрица
Единичной матрицей называют такую квадратную матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единицы, а все остальные нулю.
Создадим единичную матрицу на базе списка, который передадим в качестве аргумента функции matrix() .
Такой способ не очень удобен, к счастью для нас, для построения такого типа матриц в библиотеке Numpy есть специальная функция – eye() .
В качестве аргумента функции передается размерность матрицы, в нашем примере – это матрица 3 3 . Тот же результат можно получить с помощью функции identity() .
Нулевая матрица
У нулевой матрицы все элементы равны нулю.
Пример того, как создать такую матрицу с использованием списков, мы приводить не будем, он делается по аналогии с предыдущим разделом. Что касается Numpy , то в составе этой библиотеки есть функция zeros() , которая создает нужную нам матрицу.
В качестве параметра функции zeros() передается размерность требуемой матрицы в виде кортежа из двух элементов, первый из которых – число строк, второй – столбцов. Если функции zeros() передать в качестве аргумента число, то будет построен нулевой вектор-строка, это мы делали в параграфе, посвященном векторам.
Задание матрицы в общем виде
Если у вас уже есть данные о содержимом матрицы, то создать ее можно используя списки Python или функцию matrix() из библиотеки Numpy .
Если же вы хотите создать матрицу заданного размера с произвольным содержимым, чтобы потом ее заполнить, проще всего для того использовать функцию zeros() , которая создаст матрицу заданного размера, заполненную нулями.
P.S.
Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта . Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”. 
Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas. Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”. 
Массивы (матрицы) в Python
Python — популярный и динамический язык программирования. Он позволяет решать разные задачи по разработке ПО, при выполнении которых часто используются массивы. С их помощью вы сможете добавить однотипные данные и избежать дублирования кода.
Одномерные массивы в Python представляют собой список элементов. Значения указываются внутри квадратных скобок, где перечисляются через запятую. Как правило, любой элемент можно вызвать по индексу и присвоить ему новое значение.
Массив строк в Python:
Чтобы возвратить число элементов внутри списка, используют функцию len() :
Когда нужно перечислить элементы массива, применяют цикл for . В «Питоне» этот цикл перебирает элементы, а не индексы, как в Pascal:
Идём дальше. Создать и добавить цикл в Python можно с помощью генератора заполнения списков. Записывается он в следующем виде: [значение массива for имя переменной in число элементов];
Если говорить про создание не одномерного, а двумерного массива, то он в Python создаётся путём использования вложенных генераторов, и выглядит это так:
Как создаются матрицы в Python?
Добавление и модификация массивов или матриц (matrix) в Python осуществляется с помощью библиотеки NumPy. Вы можете создать таким образом и одномерный, и двумерный, и многомерный массив. Библиотека обладает широким набором пакетов, которые необходимы, чтобы успешно решать различные математические задачи. Она не только поддерживает создание двумерных и многомерных массивов, но обеспечивает работу однородных многомерных матриц.
Чтобы получить доступ и начать использовать функции данного пакета, его импортируют:
Функция array() — один из самых простых способов, позволяющих динамически задать одно- и двумерный массив в Python. Она создаёт объект типа ndarray :
Для проверки используется функция array.type() — принимает в качестве аргумента имя массива, который был создан.
Если хотите сделать переопределение типа массива, используйте на стадии создания dtype=np.complex :
Когда стоит задача задать одномерный или двумерный массив определённой длины в Python, и его значения на данном этапе неизвестны, происходит его заполнение нулями функцией zeros() . Кроме того, можно получить матрицу из единиц через функцию ones() . При этом в качестве аргументов принимают число элементов и число вложенных массивов внутри:
К примеру, так в Python происходит задание двух массивов внутри, которые по длине имеют два элемента:
Если хотите вывести одно- либо двумерный массив на экран, вам поможет функция print() . Учтите, что если матрица слишком велика для печати, NumPy скроет центральную часть и выведет лишь крайние значения. Дабы увидеть массив полностью, используется функция set_printoptions() . При этом по умолчанию выводятся не все элементы, а происходит вывод только первой тысячи. И это значение массива указывается в качестве аргумента с ключевым словом threshold.
Базовые операции в NumPy
Все действия, производимые над компонентами массива, оборачиваются созданием нового массива. При этом массивы и матрицы взаимодействуют в том случае, если имеют один и тот же размер:
Если выполнить array1 + array2, компилятор скажет об ошибке, а всё потому, что размер первого matrix равен двум, а второго трём.
В данном случае array1 + array2 вернёт нам массив со следующими элементами: 2, 4, 8, 11. Здесь не возникнет ошибки, т. к. матрицы имеют одинаковые размеры. Причём вместо ручного сложения часто применяют функцию, входящую в класс ndarray sum() :
В ndarray входит большая библиотека методов, необходимых для выполнения математических операций.
Форма матрицы в Python
Lenght matrix (длина матрицы) в Python определяет форму. Длину матрицы проверяют методом shape() .
Массив с 2-мя либо 3-мя элементами будет иметь форму (2, 2, 3). И это состояние изменится, когда в shape() будут указаны аргументы: первый — число подмассивов, второй — размерность каждого подмассива.
Те же задачи и ту же операцию выполнит reshape() . Здесь lenght и другие параметры matrix определяются числом столбцов и строк.
Есть методы и для манипуляции формой. Допустим, при манипуляциях с двумерными или многомерными массивами можно сделать одномерный путём выстраивания внутренних значений последовательно по возрастанию. А чтобы поменять в матрице строки и столбцы местами, применяют transpose() .
Операции со срезами matrix в Python
Часто мы работаем не с целым массивом, а с его компонентами. Эти операции выполняются с помощью метода слайс (срез). Он пришел на замену циклу for, при котором каждый элемент подвергался перебору. Метод позволяет получать копии matrix, причём манипуляции выполняются в виде [start:stop:step] . В данном случае start — индекс элемента, с которого берётся отсчёт, stop — последний элемент, step — размер шага или число пропускаемых значений элемента при каждой итерации. Изначально start равен нулю, stop — индексу последнего элемента, step — единице. Если выполнить операции без аргументов, копирование и добавление списка произойдёт полностью.
Допустим, имеем целочисленный массив otus = [1, 2, 3, 4] . Для копирования и вывода используем otus[:] . В итоге произойдёт вывод последовательности [1, 2, 3, 4]. Но если аргументом станет отрицательное значение, допустим, -2, произойдёт вывод уже других данных:
Возможны и другие операции. Например, если добавить ещё одно двоеточие, будет указан шаг копируемых элементов. Таким образом, otus[::2] позволит вывести матрицу [1, 3].
Если ввести отрицательное значение, к примеру, [::-2] отсчёт начнётся с конца, и в результате произойдёт вывод [3, 1]. Остаётся добавить, что метод среза позволяет гибко работать с матрицами и вложенными списками в Python.
Хотите узнать гораздо больше? Записывайтесь на курс «Разработчик Python»!
Матрицы в Python и массивы NumPy
Матрица — это двухмерная структура данных, в которой числа расположены в виде строк и столбцов. Например:
Эта матрица является матрицей три на четыре, потому что она состоит из 3 строк и 4 столбцов.
Матрицы в Python
Python не имеет встроенного типа данных для матриц. Но можно рассматривать список как матрицу. Например:
Этот список является матрицей на 2 строки и 3 столбца.
Обязательно ознакомьтесь с документацией по спискам Python , прежде чем продолжить читать эту статью.
Давайте посмотрим, как работать с вложенным списком.
Использование вложенных списков в качестве матрицы подходит для простых вычислительных задач. Но в Python есть более эффективный способ работы с матрицами – NumPy .
NumPy массивы в Python
NumPy — это расширение для научных вычислений, которое поддерживает мощный объект N-мерного массива. Прежде чем использовать NumPy, необходимо установить его. Для получения дополнительной информации,
- Ознакомьтесь: Как установить NumPy Python?
- Если вы работаете в Windows, скачайте и установите дистрибутив anaconda Python. Он поставляется вместе с NumPy и другими расширениями.
После установки NumPy можно импортировать и использовать его.
NumPy предоставляет собой многомерный массив чисел (который на самом деле является объектом). Давайте рассмотрим приведенный ниже пример:
Как видите, класс массива NumPy называется ndarray.
Как создать массив NumPy?
Существует несколько способов создания массивов NumPy.
Массив целых чисел, чисел с плавающей точкой и составных чисел
Когда вы запустите эту программу, результат будет следующий:
Массив нулей и единиц
Здесь мы указали dtype — 32 бита (4 байта). Следовательно, этот массив может принимать значения от -2 -31 до 2 -31 -1.
Использование arange() и shape()
Узнайте больше о других способах создания массива NumPy .
Операции с матрицами
Выше мы привели пример сложение, умножение матриц и транспонирование матрицы. Мы использовали вложенные списки, прежде чем создавать эти программы. Рассмотрим, как выполнить ту же задачу, используя массив NumPy.
Сложение двух матриц или сумма элементов массива Python
Мы используем оператор +, чтобы сложить соответствующие элементы двух матриц NumPy.
Умножение двух матриц Python
Чтобы умножить две матрицы, мы используем метод dot(). Узнайте больше о том, как работает numpy.dot .
Примечание: * используется для умножения массива (умножения соответствующих элементов двух массивов), а не умножения матрицы.
Транспонирование матрицы питон
Мы используем numpy.transpose для вычисления транспонирования матрицы.
Как видите, NumPy значительно упростил нашу задачу.
Доступ к элементам матрицы, строкам и столбца
Доступ к элементам матрицы
Также можно получить доступ к элементам матрицы, используя индекс. Начнем с одномерного массива NumPy.
Теперь выясним, как получить доступ к элементам двухмерного массива (который в основном представляет собой матрицу).
Доступ к строкам матрицы
Доступ к столбцам матрицы
Если вы не знаете, как работает приведенный выше код, прочтите раздел «Разделение матрицы».
Разделение матрицы
Разделение одномерного массива NumPy аналогично разделению списка. Рассмотрим пример:
Теперь посмотрим, как разделить матрицу.
Использование NumPy вместо вложенных списков значительно упрощает работу с матрицами. Мы рекомендуем детально изучить пакет NumPy, если вы планируете использовать Python для анализа данных.
Пожалуйста, оставьте свои мнения по текущей теме статьи. Мы очень благодарим вас за ваши комментарии, отклики, лайки, дизлайки, подписки!
Дайте знать, что вы думаете по этой теме статьи в комментариях. Мы очень благодарим вас за ваши комментарии, дизлайки, подписки, лайки, отклики!
Вадим Дворников автор-переводчик статьи « Python Matrices and NumPy Arrays »