Как решать параметрические неравенства

Неравенства с параметром

Напомню, что два неравенства называются равносильными, если их решения совпадают. При решении неравенств нужно понимать, какие преобразования будут равносильными, и какие нет:

Перенос какого-либо члена неравенства из одной части в другую, при этом знак этого члена меняется на противоположный.
Умножение или деление всего неравенства (левой и правой частей) на одно и то же положительное число.
Умножение или деление всего неравенства на отрицательное число, при условии, что вы меняете знак неравенства.

Разберем несколько примеров простейших неравенств с параметром. Рассуждения здесь примерно такие же, что и при анализе уравнений. Как аналитически исследовать квадратные уравнения, можно познакомиться здесь.

Решить неравенство $(a-2)x>a^2-4$ для любого значения параметра $a$.

Первый случай: Если $a=2$, получим неравенство $0*x>0$, которое не имеет решений.

Внимание! Важно помнить, что если вы делите неравенство на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Поэтому, нужно рассмотреть еще два случая.

Второй случай: Если $a > 2 ⇔ x > \frac ⇔ x > a+2;$

Третий случай: Если $a 2$ $$ x > a+2;$$ при \(a Пример 2

Решить неравенство $ax^2-4x-4>0$ при всех значениях параметра $a$.

Первый случай: Если $a=0$ , неравенство примет вид \(-4x-4>0 ⇔ x

Получаем, что дискриминант больше нуля при $a > -1; D 0$ ветки параболы направлены вверх, а при $a 0,D > 0$

Способы решения уравнений и неравенств с параметрами

Задачи с параметрами являются самыми сложными из всех заданий школьного курса математики. Для их решения требуется умение мыслить логически: необходимо в каждый момент проведения решения достаточно отчётливо представлять себе, что уже сделано, что ещё надо сделать, что означают уже полученные результаты. В заданиях ЕГЭ по математике проверяется умение выпускника мыслить сжато, логично и аргументировано.

Имеется несколько способов решения параметрических уравнений и неравенств׃ алгебраический, аналитический, функционально-графический. А в некоторых задачах применяются методы математического анализа.

Суть каждого способа рассмотрена на примерах. (Приложение)

1. Алгебраический способ решения иррациональных уравнений с параметрами

Задача 1. При каких уравнение имеет единственное решение?

Решение: 1 способ. Обеспечим неотрицательность обеих частей, возведем в квадрат обе части уравнения:

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

1) По условию уравнение должно иметь один корень, значит,

но надо проверить, удовлетворяет ли это значение ОДЗ уравнения:

2) Если , то только один корень уравнения должен удовлетворять условию .

2 способ. Решим это задание аналитическим способом.

Проведем графический анализ менее трудоемкий, чем построение графика — полупараболы с вершиной х=-3; – множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2.

Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях а, причем с ростом a прямая у=2х – a перемещается вправо.

Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая проходит через вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке

Угловой коэффициент равен 2, т. е. =2 , — абсцисса точки касания

Тогда уравнение касательной , a =

При х=-3, у=0 графики пересекаются в двух точках. При этом .

А при имеем одну точку пересечения.

2. Аналитический способ решения тригонометрического уравнения с параметром

Задача 2. При каких значениях параметра a уравнение

имеет на промежутке не меньше 3 корней?

1 способ. Заменим , причем |t| ≤ 1

Рассмотрим 2 случая:

1) , тогда уравнения будут иметь не больше 2 корней, но по условию должно быть не меньше 3 корней. Следовательно, этот случай не надо рассматривать.

Рассмотрим расположение корней уравнения на тригонометрической окружности.

Видим, что при уравнение имеет два решения. Чтобы оно имело не меньше трех решений и .

2 способ. Пусть , , тогда . Рассмотрим график .

В промежутке при t= — 1 уравнение имеет один корень

При — два корня, при — один корень.

Поэтому чтобы исходное уравнение имело не меньше 3 корней необходимо выполнение условия:

Первая система имеет 4 решения.

Вторая система имеет 3 решения.

Расположим корни квадратного трехчлена по этим двум условиям:

Объединяя 1) и 2) получаем

3. Два способа решения одного тригонометрического неравенства с параметром

Задача 3. При каких а неравенство верно для всех х?

Решение: 1 способ. Преобразуем неравенство и приведем его к виду

Пусть . Получим неравенство

Это значит, что парабола при 0≤t≤1 находится ниже оси ох

Рассмотрим 3 случая:

Получаем условия для

Полученное неравенство верно при любых 0≤t≤1; объединяем 3 случая и получаем ответ: .
2 способ. Уединяем параметр

Минимум f(x) достигается при ; т.к — минимум числителя, — максимум знаменателя. Значит,

Максимум f(x) достигается при ; т.е .

Заметим, что минимум числителя и максимум знаменателя достигается при одном и том же х.

4. Графически и аналитический способы решения неравенства с параметром, содержащего знак модуля

Задача 5. При каких a неравенство выполняется для всех ?

Решение: . Рассмотрим две функции

Построим эскизы графиков функций:

Найдем уравнение касательной в точке функции y= |x2-4x+3|

Подставим значение точки х0 в производную рассматриваемой функции и получаем, что — —a=-2-4, a=4+2.

Следовательно, при a =4+2 y=1-ax – касательная к y=|x2-4x+3|. Значит, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы

II способ.

А это значит, что

Чтобы неравенство выполнялось при всех x:

Решение уравнений и неравенств с параметрами алгебраическим, аналитическим и графическим способами заключается в том, что при одном способе решение может быть громоздким, а при другом — более простым и наглядным. А это говорит о том, что нужно перед началом решения задания оценить его и выбрать тот путь, который проще.

Неравенства с параметром и их решение

$f(x,a)>0\ (<,\le ,\ge )$

где — параметр, — переменная называется неравенством с параметром.

Чтобы решить неравенство с параметром нужно для всех значений параметра найти множество решений неравенства.

Неравенства с параметром в основном решаются следующим образом:

Находится область допустимых значений параметра. параметра разбивается на интервалы, на которых неравенство решается одним и тем же способом.
Отдельно на каждом интервале находится решение неравенства, зависящее от параметра.
Решение неравенства записывается в виде перечисления интервалов изменения параметра с указанием для каждого из них решения исходного неравенства.

Эффективным также является графический метод решения неравенств с параметром.

Примеры решения неравенств с параметром

Задание	Решить неравенство $x^{2} -4ax+4>0$
Решение	Рассмотрим квадратный трехчлен $x^{2} -4ax+4=0$ и найдем его дискриминант

$D=16(a^{2} -1)$

В зависимости от знака дискриминанта функция $y=x^{2} -4ax+4$ пересекает ось абсцисс либо в двух точках, либо в одной (касается оси), либо не пересекает вообще.

1. $D>0\; \ \Rightarrow \ \, a^{2} -1>0\ \Rightarrow \ a\in (-\infty ;-1)\bigcup (1;+\infty )$ . Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках $x_{1} =2(a+\sqrt{a^{2} -1} )$ и $x_{2} =2(a-\sqrt{a^{2} -1} )$ .

Множество решений исходного неравенства состоит из тех , при которых график параболы проходит выше оси абсцисс, т.е. $x>2(a+\sqrt{a^{2} -1} )$ и $x_{2} <2(a-\sqrt{a^{2} -1} )$ , то есть

$x\in \left(-\infty ;2(a-\sqrt{a^{2} -1} )\right)\bigcup \left(2(a+\sqrt{a^{2} -1} );+\infty \right)$

2. $D=0\; \ \Rightarrow \ \, a^{2} -1=0\ \Rightarrow \ a=\pm 1$ . Если , то парабола касается оси абсцисс в точке ; если , то парабола касается оси абсцисс в точке .

3. $D<0\; \ \Rightarrow \ \, a^{2} -1<0\ \Rightarrow \ a\in (-1;1)$ . Парабола полностью лежит выше оси абсцисс, и любое значение является решением неравенства.