Как разложить sin2x

sin^2x (уравнение)

$$w_ <1>= 0$$
делаем обратную замену
$$\sin <\left(x \right)>= w$$
Дано уравнение
$$\sin <\left(x \right)>= w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname<\left(w \right)>$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname <\left(w \right)>+ \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname<\left(w \right)>$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname <\left(w \right)>+ \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_ <1>= 2 \pi n + \operatorname <\left(w_<1>\right)>$$
$$x_ <1>= 2 \pi n + \operatorname<\left(0 \right)>$$
$$x_ <1>= 2 \pi n$$
$$x_ <2>= 2 \pi n — \operatorname <\left(w_<1>\right)> + \pi$$
$$x_ <2>= 2 \pi n — \operatorname <\left(0 \right)>+ \pi$$
$$x_ <2>= 2 \pi n + \pi$$

Репетитор по математике об использовании уравнения Sin2x=0

П реподавание математики в старших классах имеет свои законы, проблемы и особенности, связанные с совершенствованием техники объяснений. В каждом разделе школьного учебника репетитор по математике встречает какие-нибудь трудные темы или алгоритмы, вырабатывая со временем собственные правила подачи их слабому ученику. Я знакомлю репетиторов и родителей с некоторыми из них в том объеме, в котором это позволяет сделать форматы страниц сайта. Поговорим о применении формул корней простейших тригонометрических уравнений. Не буду касаться всей системы моей работы с данной темой, а затрону лишь частный вопрос, относящийся к пониманию техники преобразования формул. Как репетитору по математике объяснить работу алгоритма поиска решений для уравнений типа $Sin \left (\dfrac<\pi><6>-2x \right )=1 ; Cos \left (\dfrac<x> <4>— \dfrac<\pi> <3>\right )=-1 ; tg \left (\dfrac<\pi><6>-2x \right )=0 » /> <br />и аналогичных конструкций (относящихся к простейшим)? С какими трудностями обычно сталкивается репетитор по математике в работе правилами преобразования корней и какие комментарии нужны среднестатистическому слабому ученику? Как «добраться до икса», если он «утоплен» в скобку?</p> <p>Как правило, действия репетитора по математике, не столь точно понимающего суть проблем большинства школьников, сводятся к стандартной демонстрации метода получения ответа. Репетитор берет какое-нибудь уравнение из указанного выше списка и просто его решает. Текст учебника транслируется ученику с той лишь разницей, что моменты переходов от одной строчки к другой сопровождаются фразами «выпишем угол», «запишем формулу», «найдем арккосинус», «перенесем слагаемое в правую часть», « поделим обе части на … ». Понял – отлично, не понял — повторяет еще раз. Ученики, приходящие ко мне после номинальных репетиторов – трансляторов, жаловались на отсутствие внятных объяснений к преобразованиям, на шаблонные комментарии, «сухие» и «мутные». Ничего не оставалось, как просто запоминать видеоряд и учить сопроводительный текст как стихи. Иначе никак.</p> <h5>Какую ошибку часто допускают репетиторы по математике при работе с формулами корней?</h5> <p>Она связана с отсутствием понимания (или недооценкой) разницы, которая существует между тригонометрическими и алгебраическими уравнениями, изучаемыми в 5 — 9 классах. Школьники впервые в своей практике сталкиваются с необходимостью указывать в ответе бесконечное количество корней, а также впервые решают бесконечное количество уравнений, зависящих от параметра <img decoding=$ . Более-менее грамотные математики имеют, как правило, сформированные навыки работы с ним и представляют себе переменную — как число, а поэтому и работают с ней как с числом. Но у ученика это представление, часто всего, отсутствует и его надо формировать. Если эта работа не проводится — возникают проблемы.

Какой-то опыт работы о бесконечным множеством решений репетитор по математике передает своему подопечному в 7 классе на примере уравнения прямой ax+by=c. Но, к сожалению, далеко не всегда репетитор начинает работу с учеником с этого возраста. Обычно родители обращаются за помощью ближе к выпускным экзаменам. Да и разница в математических объектах довольно существенная: ответ — рисунок (график линейной функции) против «сухой» формулы корней с какими-то «эн» и «пи». Что же делать?

В сложных случаях я придерживаюсь следующей методики. Будем предполагать, что ученик усвоил метод получения ответа в самых ростейших уравнениях вида Sinx=a, Cosx=a, tgx=a,ctgx=a, составляющих теоретическую часть урока. Далее репетитору по математике приходится учить применять стандартные формулы (или их частные случаи) для решения большого класса уравнений с коэффициентами и слагаемыми под знаком этих функций. Как это лучше сделать? Не советую репетиторам использовать с самого начала сложные сочетания действий в скобках под знаком синуса и косинуса. Нужно взять самый простой вариант, а именно уравнение Sin 2x =0 . Даже не Cos2x=0 , а именно синус, так как серия углов ]pi n проще чем $\dfrac<\pi> <2>+ \pi n » /></p> <p>Главная задача репетитора по математике сводится объяснению механизма, позволяющего снимать знаки тригонометрических функций в любых ситуациях и добираться до икса. Для этого достаточно рассмотреть один единственный пример на сложный угол, так как все операции по выделению икса в остальных случаях имеют одну и ту же логику. Для слабого школьника угол 2х – уже сложный угол.</p> <h3>Как репетитор по математике использует уравнение Sin2x=0?</h3> <p>Редко при работе со слабым учеником я начинаю пояснения с общих форм. Сначала объясняю метод поиска каждого корня в отдельности, а уже затем, подмечая с учеником его особенности, открываю перед ним общий (стандартный) алгоритм, знакомый всем репетиторам. Обсуждаются особенности оформления, а навык работы с алгоритмом закрепляется на достаточном количестве уравнений.</p> <h5>Первый шаг репетитора</h5> <p>Поиск <strong>одного</strong> угла для ответа. Ученику напоминается формула <img decoding=$ для Sinx=0 . Допустим, что она усвоена. Можно выписать само уравнение в правой части тетради (поделив лист пополам) и там же указать несколько примеров корней (можно разместить рисунок тригонометрического круга). Уравнение Sin2x желательно вписать в левую колонку. Репетитор по математике слегка затеняет угол 2х карандашом (для подчеркивания сходства уравнения с постейшим) так, чтобы выражение 2х было заметно и произносит: «Попробуем подобрать какой-нибудь корень уравнения Sin 2x =0 . Как можно определить является ли таковым наугад взятое число? Нужно подставить его вместо икса, умножить на 2, а затем вычислить найти синус.

Представим себе эту проверку. После умножения на 2 появляется некий результат, который можно вписать вместо закрашенного пятнышка. После того, как он там проявился, мы увидим точно такую же запись, как при его вставке вместо икса в уравнение правой колонки. Ноль получится только тогда, когда это вставленное число совпадет с одним из выписанных углов. Возьмем, например, угол $\pi$ . Как его можно получить умножением? То есть, на что умножить число 2 чтобы получилось $\pi$ ? (напоминаю, что у репетитора по математике сидит слабый ученик. ) Школьник просто обязан указать репетитору по математике на угол $\dfrac<\pi> <2>» /> (дальше уже никак не разжуешь :))))). ). Теперь самое важное: репетитор по математике обращает его внимание на то, что угол <img decoding=$ и записывает это уравнение в левую колонку напротив n=1 . Важно дописать единичку множителем к . В итоге запись превращается в $2x=\pi \cdot 1$ . Cохраняя эту единичку для записи ответа, репетитор получает строчку $x=\dfrac<\pi \cdot 1> <2>» /> (так, и только так. )</p> <h5>Второй шаг репетитора — получение нескольких корней</h5> <p>Если мы возьмем другой «результат» из правой колонки, например <img decoding=$ и cоставим аналогичное уравнение $2x = \pi \cdot 2$ , то создадим еще один корень начального, а именно $x=\dfrac<\pi \cdot 2> <2>» /> (только ни в коем случае нельзя сокращать двойки, пусть стоят. ). Нули синуса, необходимые репетитору для пояснений, лучше выписать в колонку справа (указывая рядом с каждым углом его порядковый номер <img decoding=$ ), а слева расположить соответствующее уравнение для поиска корня $\dfrac<\pi> <2>» />. На приведенной ниже картинке показано, как репетитор по математике оформляет записи. <br /><img fetchpriority=$

Тритий шаг — получение ответа и оформление решения

Советую продолжить выписывать строчки до того момента, пока ученик не сообразит, как «создаются» углы вида $\dfrac<\pi n> <2>» />. На 6-7 строке даже самый тупой школьник, как правило, догадывается до нужного обобщения и вставляет вместо порядкового номера строки букву <img decoding=$ . В крайнем случае, это обобщение делает сам репетитор по математике. Легко понять, что множество корней бесконечно, ибо множество углов в правой колонке бесконечно. Для каждого из них есть свой корень в левой колонке.

После получения ответа $\dfrac<\pi \cdot n> <2>» /> нужно сказать ученику: «Давай заменим все порядковые номера во всех строчках буквой <img decoding=$ . Тогда в каждой строке получится ответ исходного уравнения. Зачем нам столько одинаковых записей? Возьмем одну из них. Она будет служить оформлением решения». Репетитор показывает его:

Sin2x=0

$2x=\pi \cdot n$

$x = \dfrac<\pi \cdot n ><2>» />, где <img decoding=$

Записи также можно овормить в виде опорной схемы — памятки. Она показана на рисунке слева. Углы вида $\pi \cdot n$ как будто стремяться закрыть собой пятно. Иногда помогает ученику запомнить ход рассуждений.

Послесловие репетитора по математике: Усвоив принцип работы с углом 2х, ученик сможет применить аналогичный подход и способ оформления к другим уравнениям вида Sin (ax+b)=0 , ибо ax+b недалеко «ушло» от 2x. Если до конца туман не рассеялся, репетитор по математике может повторить рассуждения (с тем же оформлением) для еще одного примера с синусом, скажем $Sin \left ( 2x+ \dfrac<\pi> <6>\right ) =0 » />.</p> <p>Легко сравнить записи – разница только замене <img decoding=$ на $2x+ \dfrac<\pi><6>» />. Конечно, «левые» уравнения получают более длинные решения из-за дополнительного переноса слагаемого, но такой навык, как правило к 10 классу формируется даже у самый безнадежных двоечников. Если ученик имеет решать линейные уравнения за 6 — 7 класс репетитору по математике останется закрепить навык преобразования формулы на большом количестве уравнений.</p> <p>Далее можно приступать к рассмотрению других видов уравнений (не только с синусами) «погружая» в аналогичные линейные выражения:</p> <p> <img decoding=$

$m \cdot Cos(ax+b)+n=0$

$m \cdot tg(ax+b)+n=0$

$m \cdot ctg(ax+b)+n=0$

Когда позволяет время (до работы с углами) я повторяю алгоритм решения «линеек», комбинируя разные сочетания слагаемых и коэффициентов перед иксом. Обязательно даю дроби, например $\dfrac<x> <3>+ \dfrac<2><6>=5″ />. Тогда ученику легче воспроизвести решение уравнения</p> <p><img decoding=$ , часть 1

Как разложить sin2x

sin^2x (уравнение)

Репетитор по математике об использовании уравнения Sin2x=0

Тритий шаг — получение ответа и оформление решения

Добавить комментарий Отменить ответ