Как разделить число на 10

ГДЗ учебник по математике 3 класс Петерсон. 14 урок. Преобразование фигур. Номер №7

Как разделить число с остатком на 10, 100, 1000 и т.д.? Выполни деление:
а)
76534 : 10
76534 : 100
76534 : 1000
76534 : 10000
б)
80241 : 10
80241 : 100
80241 : 1000
80241 : 10000
в)
23906 : 10
23906 : 100
23906 : 1000
23906 : 10000

ГДЗ учебник по математике 3 класс Петерсон. 14 урок. Преобразование фигур. Номер №7

Решение правило

При делении числа на 10 мы узнаем, сколько в числе десятков, на 100 − сколько сотен, на 1000 − сколько тысяч. После этого записываем результат не по разрядам, а как целое и остаток.

Решение а

76534 : 10 = 7653 (ост. 4 )
76534 : 100 = 765 (ост. 34 )
76534 : 1000 = 76 (ост. 534 )
76534 : 10000 = 7 (ост. 6534 )

Решение б

80241 : 10 = 8024 (ост. 1 )
80241 : 100 = 802 (ост. 41 )
80241 : 1000 = 80 (ост. 241 )
80241 : 10000 = 8 (ост. 241 )

Решение в

23906 : 10 = 2390 (ост. 6 )
23906 : 100 = 239 (ост. 6 )
23906 : 1000 = 23 (ост. 906 )
23906 : 10000 = 2 (ост. 3906 )

Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее: примеры, доказательства

Продолжаем разговор о признаках делимости. В этом материале мы изучим, по каким признакам можно определить делимость числа на 1000 , 100 и т.д. В первом пункте сформулируем их, возьмем несколько примеров, после чего приведем необходимые доказательства. Ближе к концу мы разберем доказательства делимости на 1000 , 100 , 10 с помощью математической индукции и формулы бинома Ньютона.

Формулировка признака делимости на 10 , 100 и т.д. с примерами

Сначала запишем формулировку признака делимости на десять:

Если число заканчивается на 0 , то его можно разделить на 10 без остатка, а если на любую другую цифру, то нельзя.

Теперь запишем признак делимости на 100 :

На 100 без остатка можно разделить такое число, которое заканчивается двумя нулями. Если хотя бы одна из двух цифр в конце не равна нулю, то такое число разделить на 100 без остатка нельзя.

Точно так же можно вывести признаки делимости на тысячу, 10 тысяч и так далее: в зависимости от количества нулей в делителе нам требуется соответствующее количество нулей в конце числа.

Отметим, что данные признаки нельзя распространить на 0 , поскольку 0 можно разделить на любое целое число – и на сто, и на тысячу, и на десять тысяч.

Эти признаки легко применять в решении задач, ведь подсчитать количество нулей в исходном числе несложно. Возьмем несколько примеров применения данных правил на практике.

Условие: определите, какие числа из ряда 500 , − 1 010 , − 50 012 , 440 000 300 000 , 67 893 можно разделить на 10 , 10 000 без остатка, а какие из них не делятся на 100 .

Решение

Согласно признаку делимости на 10 , мы можем совершить такое действие с тремя числами из указанных, а именно с − 1 010 , 440 000 300 000 , 500 , ведь они все заканчиваются нулями. А вот для − 50 012 и 67 893 такого деления без остатка мы осуществить не можем, поскольку у них в конце стоят 2 и 3 .

На 10 тысяч здесь можно разделить всего одно число – 440 000 300 000 , поскольку лишь в нем достаточно нулей в конце ( 4 ) . Зная признак делимости на 100 , можно сказать, что − 1 010 , − 50 012 и 67 893 на сотню не делятся, поскольку в конце у них нет двух нулей.

Ответ: на 10 можно разделить числа 500 , − 1 010 , 440 000 300 000 ; на 10 000 – число 440 000 300 000 ; на 100 не делятся числа 1 010 , − 50 012 и 67 893 .

Как доказать признаки делимости на 10 , 100 , 1000 и др.

Для доказательства нам потребуется вспомнить, как правильно умножать натуральные числа на 100 , 10 и т.д., а также вспомнить, что из себя вообще представляет понятие делимости и какими свойствами оно обладает.

Сначала приведем доказательство признака делимости числа на 10 . Для удобства запишем его в виде теоремы, то есть представим как необходимое и достаточное условие.

Чтобы определить, делится ли целое число на 10 , нужно посмотреть на его конечную цифру. Если она равна 0 , то такое деление без остатка возможно, если она представляет из себя другую цифру, то нет.

Начнем с доказательства необходимости данного условия. Допустим, нам известно, что некое число a можно разделить на 10 . Докажем, что в конце у него стоит 0 .

Поскольку a можно разделить на 10 , то согласно самому понятию делимости, должно существовать такое целое число q , при котором будет верным равенство a = 10 · q . Вспомним правило умножения на 10 : произведение 10 · q должно быть целым числом, запись которого можно получить, если дописать к q справа нуль. Значит, в записи числа a = 10 · q последним будет стоять 0 . Необходимость можно считать доказанной, далее нам нужно доказать достаточность.

Допустим, что у нас есть целое число с 0 на конце. Докажем, что оно делится на 10 . Если последняя цифра целого числа равна нулю, то исходя из правила умножения на 10 , его можно представить в виде a = a 1 · 10 . Здесь число a 1 получается из a , в котором убрали последнюю цифру. По определению делимости из равенства a = a 1 · 10 будет следовать делимость a на 10 . Таким образом мы доказали достаточность условия.

Точно так же доказываются и другие признаки делимости – на 100 , 1000 и т.д.

Прочие случаи делимости на 1000 , 100 , 10 и др.

В данном пункте мы расскажем о других способах определения делимости на 10 . Так, если изначально у нас задано не число, а буквенное выражение, то воспользоваться указанными выше признаками мы не можем. Здесь нужно применить другие методы решения.

Первым таким методом является использование формулы бинома Ньютона. Решим такую задачу.

Условие: определите, можно ли разделить 11 n + 20 n — 21 на 10 при любом натуральном значении n .

Решение

Cначала представим 11 как сумму 10 и единицы, а потом воспользуемся нужной формулой.

11 n + 20 n — 21 = ( 10 + 1 ) n + 20 n — 21 = = C n 0 · 10 n + C n 1 · 10 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 10 2 · 10 n — 2 + C n n — 1 · 10 · 1 n — 1 + C n n · 1 n + + 20 n — 21 = = 10 n + C n 1 · 10 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 10 2 · n · 10 + 1 + + 20 n — 21 = = 10 n + C n 1 · 10 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 10 2 + 30 n — 20 = = 10 · 10 n — 1 + C n 1 · 10 n — 2 + . . . + C n n — 2 · 10 1 + 3 n — 2

Мы получили выражение, которое можно разделить на 10 ,поскольку там есть соответствующий множитель. Значение выражения в скобках будет представлять из себя натуральное число при любом натуральном значении n . Значит, исходное выражение 11 n + 20 n — 21 можно разделить на десять при любом натуральном n .

Ответ: данное выражение делится на 10 .

Еще один метод, который возможно применить в данном случае, – математическая индукция. Покажем на примере задачи, как это делается.

Условие: выясните, будет ли 11 n + 20 n — 21 делится на 10 при любом натуральном n .

Решение

Применим метод математической индукции. Если n будет равен единице, то у нас получится 11 n + 20 n — 21 = 11 1 + 20 · 1 — 21 = 10 . Деление десяти на десять возможно.

Допустим, что выражение 11 n + 20 n — 21 будет делиться на 10 при n = k , то есть 11 k + 20 k — 21 можно разделить на 10 .

Учитывая предположение, сделанное ранее, попробуем доказать, что выражение 11 n + 20 n — 21 делится на 10 при n = k + 1 . Для этого нам нужно преобразовать его следующим образом:

11 k + 1 + 20 · k + 1 — 21 = 11 · 11 k + 20 k — 1 = 11 · 11 k + 20 k — 21 — 200 k + 230 = = 11 · 11 k + 20 k — 21 — 10 · 20 k — 23

Выражение 11 · 11 k + 20 k — 21 в данной разности можно разделить на 10 , поскольку такое деление возможно и для 11 k + 20 k — 21 , а 10 · 20 k — 23 тоже делится на 10 , потому что это выражение содержит множитель 10 . Из этого мы можем заключить, что на 10 делится вся разность. Это и будет доказательством того, что 11 n + 20 n — 21 делится на 10 при любом натуральном значении n.

Если нам нужно проверить, делится ли на 10 многочлен с переменной n , допускается следующий подход: доказываем, что при n = 10 · m , n = 10 · m + 1 , … , n = 10 · m + 9 , где m – целое число, значение исходного выражения можно разделить на 10 . Это докажет нам делимость такого выражения при любом целом n . Несколько примеров доказательств, где используется такой способ, можно найти в статье о других случаях делимости на три.