Правила комбинаторики в задаче B6
Решая задачи по теории вероятностей, мы постоянно используем одну и ту же формулу, которая одновременно является классическим определением вероятности:
где k — число благоприятных исходов, n — общее число исходов (см. «Тест по теории вероятностей»).
И эта формула прекрасно работает до тех пор, пока задачи были легкими, а числа, стоящие в числителе и знаменателе — очевидными.
Однако последние пробные экзамены показали, что в настоящем ЕГЭ по математике могут встречаться значительно более сложные конструкции. Отыскание значений становится проблематичным. В таком случае на помощь приходит комбинаторика. Ее законы работают там, где искомые значения не выводятся непосредственно из текста задачи.
В сегодняшнем уроке не будет строгих формулировок и длинных теорем — они слишком сложны и, к тому же, совершенно бесполезны для решения настоящих задач B6. Вместо этого мы рассмотрим простые правила и разберем конкретные задачи, которые действительно встречаются на ЕГЭ. Итак, поехали!
Число сочетаний и факториалы
Пусть имеется n объектов (карандашей, конфет, бутылок водки — чего угодно), из которых требуется выбрать различных объектов. Тогда количество вариантов такого выбора называется элементов Это число обозначается и считается по специальной формуле.
Обозначение:
Выражение n ! читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел включительно:
Кроме того, в математике по определению считают, подобный бред редко, но все же встречается в задачах по теории вероятностей.
Что дает нам эта формула? На самом деле, без нее не решается практически ни одна серьезная задача.
К сожалению, в школе совершенно не умеют работать с факториалами. Кроме того, в формуле числа сочетаний очень легко запутаться: где стоит и что обозначает Поэтому для начала просто запомните: меньшее число всегда стоит сверху — точно так же, как и в формуле определения вероятности (вероятность никогда не бывает больше единицы).
Для лучшего понимания разберем несколько простейших комбинаторных задач:
Задача. У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими способами бармен может выполнить заказ?
Тут все просто: есть n = 6 сортов, из которых надо выбрать сорта. Число сочетаний можно найти по формуле:
Задача. В группе из 20 студентов надо выбрать 2 представителей для выступления на конференции. Сколькими способами можно это сделать?
Опять же, всего у нас есть n = 20 студентов, а выбрать надо студента. Находим число сочетаний:
Обратите внимание: красным цветом отмечены множители, входящие в разные факториалы. Эти множители можно безболезненно сократить и тем самым значительно уменьшить общий объем вычислений.
Задача. На склад завезли 17 серверов с различными дефектами, которые стоят в 2 раза дешевле нормальных серверов. Директор купил в школу 14 таких серверов, а сэкономленные деньги своровал и купил дочке шубу из меха соболя за 200 000 рублей. Сколькими способами директор может выбрать бракованные серверы?
В задаче довольно много лишних данных, которые могут сбить с толку. Наиболее важные факты: всего есть серверов, а директору надо серверов. Считаем число сочетаний:
Красным цветом снова обозначены множители, которые сокращаются. Итого, получилось 680 комбинаций. В общем, директору есть из чего выбрать.
Как видите, число сочетаний из n по k считается достаточно просто. Проблема в том, что многие школьники никогда не работали с факториалами. Для них это новый и незнакомый математический объект, и для его освоения требуется некоторая тренировка.
Хорошая новость состоит в том, что во многих задачах формулы оказывается вполне достаточно для нахождения ответа. Но есть и плохая новость: в тех редких случаях, когда нужны дополнительные правила, решение задачи резко усложняется. Эти правила мы сейчас и рассмотрим.
Закон умножения
в комбинаторике: число сочетаний (способов, комбинаций) в независимых наборах умножается.
Другими словами, пусть имеется A способов выполнить одно действие выполнить другое действие. Путь также эти действия независимы, т.е. никак не связаны между собой. Тогда можно найти число способов выполнить первое и второе действие по формуле:
Задача. У Пети есть 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, достал из кармана 1 монету номиналом 1 рубль и еще 1 монету номиналом 10 рублей, чтобы купить сигарету за 11 рублей у бабули в подземном переходе. Сколькими способами он может выбрать эти монеты?
Итак, сначала Петя достает монету имеющихся монет номиналом 1 рубль. Число способов сделать это равно
Затем Петя снова лезет в карман и достает монету имеющихся монет номиналом 10 рублей. Здесь число сочетаний равно
Поскольку эти действия независимы, общее число вариантов равно
Задача. В корзине лежат 8 белых шаров и 12 черных. Сколькими способами можно достать из этой корзины 2 белых шара и 2 черных?
Всего в корзине белых шаров, из которых надо выбрать шара. Это можно сделать различными способами.
Кроме того, в корзине имеется черных шаров, из которых надо выбрать опять же шара. Число способов сделать это равно
Поскольку выбор белого шара и выбор черного — события независимые, общее число комбинаций считается по закону умножения: Как видим, вариантов может быть довольно много.
Закон умножения показывает, сколькими способами можно выполнить сложное действие, которое состоит из двух и более простых — при условии, что все они независимы.
Именно этой формулы многим не хватило для решения задачи B6 на пробном ЕГЭ по математике. Разумеется, существуют и другие методы решения, в которых комбинаторика не используется — и мы обязательно рассмотрим их ближе к настоящему экзамену. Однако ни один из них не сравнится по надежности и лаконичности с теми приемами, которые мы сейчас изучаем.
Закон сложения
Если закон умножения оперирует «изолированными» событиями, которые не зависят друг от друга, то в законе сложения все наоборот. Здесь рассматриваются взаимоисключающие события, которые никогда не случаются одновременно.
Например, «Петя вынул из кармана 1 монету» и «Петя не вынул из кармана ни одной монеты» — это взаимоисключающие события, поскольку вынуть одну монету и при этом не вынуть ни одной невозможно.
Аналогично, события «Выбранный наугад шар — белый» и «Выбранный наугад шар — черный» также являются взаимоисключающими.
в комбинаторике: если два взаимоисключающих действия можно выполнить способами соответственно, то эти события можно объединить. При этом возникнет новое событие, которое можно выполнить способами.
Другими словами, при объединении взаимоисключающих действий (событий, вариантов) число их комбинаций складывается.
Можно сказать, что закон сложения — это логическое «ИЛИ» в комбинаторике, когда нас устраивает любой из взаимоисключающих вариантов. И наоборот, закон умножения — это логическое «И», при котором нас интересует одновременное выполнение и первого, и второго действия.
Задача. В корзине лежат 9 черных шаров и 7 красных. Мальчик достает 2 шара одинакового цвета. Сколькими способами он может это сделать?
Если шары одинакового цвета, то вариантов немного: оба они либо черные, либо красные. Очевидно, что эти варианты — взаимоисключающие.
В первом случае мальчику предстоит выбирать черных шара имеющихся. Число способов сделать это равно
Аналогично, во втором случае выбираем красных шара возможных. Число способов равно
Осталось найти общее количество способов. Поскольку варианты с черными и красными шарами — взаимоисключающие, по закону сложения имеем:
Задача. В ларьке продаются 15 роз и 18 тюльпанов. Ученик хочет купить 3 цветка для своей одноклассницы, причем все цветы должны быть одинаковыми. Сколькими способами он может составить такой букет?
По условию, все цветы должны быть одинаковыми. Значит, будем покупать либо 3 розы, либо 3 тюльпана. В любом случае,
В случае с розами придется выбирать вариантов, поэтому число сочетаний равно Для тюльпанов же а число сочетаний —
Поскольку розы и тюльпаны — это взаимоисключающие варианты, работаем по закону сложения. Получаем общее число вариантов Это и есть ответ.
Дополнительные условия и ограничения
Очень часто в тексте задачи присутствуют дополнительные условия, накладывающие существенные ограничения на интересующие нас сочетания. Сравните два предложения:
- Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа?
- Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа, если среди них обязательно должен быть красный цвет?
Чувствуете разницу? В первом случае мы вправе брать любые цвета, какие нам нравятся — дополнительных ограничений нет. Во втором случае все сложнее, поскольку мы обязаны выбрать ручку красного цвета (предполагается, что она есть в исходном наборе).
Очевидно, что любые ограничения резко сокращают итоговое количество вариантов. Ну и как в этом случае найти число сочетаний? Просто запомните следующее правило:
Пусть имеется набор элементов, среди которых надо выбрать При введении дополнительных ограничений числа уменьшаются на одинаковую величину.
Другими словами, если из 5 ручек надо выбрать 3, при этом одна из них должна быть красной, то выбирать придется элементов элемента. Таким образом, вместо надо считать
Теперь посмотрим, как это правило работает на конкретных примерах:
Задача. В группе из 20 студентов, среди которых 2 отличника, надо выбрать 4 человека для участия в конференции. Сколькими способами можно выбрать этих четверых, если отличники обязательно должны попасть на конференцию?
Итак, есть группа студентов. Но выбрать надо из них. Если бы не было дополнительных ограничений, то количество вариантов равнялось числу сочетаний
Однако нам поставили дополнительное условие: 2 отличника должны быть среди этих четырех. Таким образом, согласно приведенному выше правилу, мы уменьшаем числа на 2. Имеем:
Задача. У Пети в кармане есть 8 монет, из которых 6 монет по рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя перекладывает какие-то три монеты в другой карман. Сколькими способами Петя может это сделать, если известно, что обе монеты по 10 рублей оказались в другом кармане?
Итак, есть монет. Петя перекладывает монеты, из которых 2 — десятирублевые. Получается, что из 3 монет, которые будут переложены, 2 уже зафиксированы, поэтому числа надо уменьшить на 2. Имеем:
В обоих примерах я намеренно пропустил детали работы с факториалами — попробуйте выполнить все расчеты самостоятельно. Разумеется, для этих задач существуют и другие способы решения. Например, с помощью закона умножения. В любом случае, ответ будет один и тот же.
В заключение отмечу, что в первой задаче мы получили 153 варианта — это намного меньше, чем исходные вариантов. Аналогично, 3 монеты из 8 можно переложить способами, что значительно больше 6 способов, которые мы получили в последней задаче.
Эти примеры наглядно демонстрируют, что введение любых ограничений значительно сокращает нашу «свободу выбора».
Личный кабинет Учи.ру
Учи.ру — российская интерактивная образовательная платформа школьников, родителей и учителей и воспитателей. В личном кабинете школьникам разных возрастов доступны тысячи увлекательных упражнений и заданий для улучшения знаний, а так же олимпиад, игр, персональных заданий.
Ответы по математике 1-11 класс на олимпиады Учи.ру (основной тур)
Уважаемые посетители, в данном разделе находятся ответы на олимпиады Учи.ру по математике на основной и пробный туры. Так же вы можете посмотреть ответы в видео формате для удобства. Мы оставляем только актуальные ответы на олимпиады.
В данной статье вы можете посмотреть ответы по олимпиаде по математике, которая будет проходить с 2 по 15 февраля 2021 год. Ответы для учеников 1-11 класса основного и пробного тура олимпиады.
Задачи, оцениваемые в 2 балла
1.В ящике имеется 3 черных и 5 белых шаров. Какое наименьшее количество шаров надо взять из ящика, не заглядывая в него, чтобы среди вынутых шаров оказалось хотя бы 2 черных шара?
Ответ: нужно вынуть 7 шаров.
2.Если Петя даст Саше 100 рублей, то у друзей будет денег поровну, а если Саша даст Пете 100 рублей, то у Пети будет денег в 9 раз больше, чем у Саши. Сколько денег у каждого?
1)100 + 100 = 200(р.)
2)200 + 200 = 400(р.)
3)9частей – 1часть = 8частей, 400 : 8 = 50(р.)
5)150 + 200 = 350(р.)
Ответ: у Саши 150 рублей, а у Пети — 350 рублей.
3.45 топоров и 30 колунов весят 210 кг. Топор вдвое легче колуна. Сколько весит топор и колун?
Ответ: топор — 2 кг, колун – 4 кг
4.В записи 1*2*3*4*5 замените звездочки знаками действий и расставьте скобки так, чтобы значение выражения было равно 100.
5.Длина удава 12 метров или 48 попугаев. Какова длина попугая?
Ответ: 25 см
6. Три подруги: Валя, Галл и Катя пришли на День Рождения в платьях разного цвета: розовом, голубом и желтом. Катя была не в желтом платье, Валя не в желтом и не в голубом. Кто из девочек пришел в каком платье?
Ответ: Валя — в розовом, Катя — в голубом, Галя — в желтом.
7. Какие трехзначные числа можно составить из цифр 7, 0 и 9, если цифры в записи могут повторяться.
Ответ: 777, 999, 770, 707, 990, 909, 779, 977, 799, 979, 797, 997, 709, 790, 970, 907.
8. 16 28 41 58
Ответ: 79
9. Продолжи числовой ряд: на 3 числа
15, 1, 13, 2, 11, 3, 9 . . .
Ответ: 4, 7, 5 .
10. Написано 99 чисел: 1, 2, 3, …99. Сколько раз в записи встречается цифра 5?
Ответ: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, всего 20 раз.
11. Дома у Светы живут кошки разных пород: сибирская, сиамская и персы. Света взвесила своих кошек, вот результат:
— каждый перс весит 4кг
— каждая сиамская кошка – 3кг
-каждая сибирская – 7кг
Сколько кошек каждой породы живёт у неё дома, если известно, что все они весят 24кг?
Ответ: перс – 1, сиамских – 2, сибирских – 2.
12. Знайка задумал двузначное число. Сумма цифр этого числа равна 12. Если цифру десятков умножить на 2, а цифру единиц умножить на 3 и оба произведения сложить, то получится 29. Какое число задумал Знайка?
Перечислим все двузначные числа, сумма цифр которых 12:
93, 84, 75, 66, 57, 48, 39
Методом перебора находим число, удовлетворяющее условиям задачи — 75
Решение удобно оформить в таблице:
| Десятки | Единицы |
| 9*2 + 3*3 = 27, 27= 29 | |
| 8*2 + 4*3 = 28, 28= 29 | |
| 7*2 + 5*3 =, 29 = 29 |
Ответ: это число 75.
13. В трёх ящиках 90 кг вишни. В первом и во втором ящиках 66 кг, во втором и третьем – 52 кг. Сколько килограммов вишни в каждом ящике?
1) 90 – 66 = 24(кг) – в третьем ящике.
2)52 – 24 = 28(кг) – во втором ящике.
3)66 – 28 = 38(кг) – в первом ящике.
Ответ: в 1 ящике – 38кг, во 2 – 28кг, в 3 – 24кг.
14. Найди закономерность и запиши следующее число:
Каждое последующее число увеличивается в несколько раз, а именно в 1, 2, 3, 4, значит следующее число увеличится в 5 раз. 48*5=240.
Ответ: 240
15. Счётчик автомобиля показывал 12921 км. Через 2 часа на счётчике опять появилось число, которое читалось одинаково в обоих направлениях. С какой скоростью ехал автомобиль?
1) 13031 – 12921 = 110(км) – проехал.
2) 110 : 2 = 55(км/ч) – скорость.
Ответ: число 13031, со скоростью 55 км/ч.
16. Пять одинаковых мячей и три одинаковых машинки стоят столько же, сколько четыре таких же мяча и четыре машинки. Что дороже, мячик или машинка?
Ответ: они стоят одинаково
17. Мама испекла блинчики. За ужином съели 12 блинчиков. После ужина осталась третья часть всех испечённых блинчиков. Сколько блинчиков испекла мама?
1) 12 : 2 = 6(б.)- одна часть.
2) 6 *3 = 18(б.) – испекла мама.
Ответ: мама испекла 18 блинчиков.
18.Составьте произведение из двух однозначных чисел, так чтобы его значение было больше 20 и меньше 40.Сколькими способами вы можете это сделать?
Ответ: 3*7, 3*8, 3*9, 4*6, 4*7, 4*8, 4*9, 5*5, 5*7, 6*6, то есть всего 10 способов (если считать произведения типа 3*7 и 7*3 одинаковыми).
19.Если бы Коля купил 3 тетради, то у него осталось бы 11 рублей, а если бы он захотел купить 9 тетрадей (таких же), то ему не хватило бы 7 рублей. Сколько денег было у Коли?
Ответ: у Коли было 20 рублей.
20.Запиши число 9, используя четыре раза цифру 2 и знаки действий.
Ответ: 22 : 2 — 2
Задачи, оцениваемые в 3 балла
1. Максима спросили, сколько ему лет, и он ответил, что 3 года назад он был в 7 раз старше сестры. Сколько лет Максиму и его сестре?
Ответ: Максиму -10 лет, сестре — 4года.
2. В семье 4 детей. Им 5,8,13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света, Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3?
Ответ: Свете — 5 лет, Юре – 8 лет, Тане – 13 лет, Лене – 15 лет
3. Пока Катя съедает 2 порции мороженого, Лиза съедает 3 такие же порции. За час девочки съели 10 порций мороженого. Сколько порций за этот час съела Катя?
Ответ: 4порции.
4.У Антона было несколько марок, после того, как ему подарили марок в 2 раза больше, их стало 18. Сколько марок было у Антона?
Ответ: 6 марок.
5. Вставить недостающее число:
Ответ: 6.
6. У Юры 2 автомобиля, 4 медвежонка, 3 мяча. Он хочет выбрать из этих игрушек один автомобиль, одного медвежонка и один мяч. Сколькими способами он это может сделать?
| Автомобили |
| Медвежата |
| Мячи |
Ответ: 24 способа.
7. Длина прямоугольника увеличилась в 2 раза, а ширина — в 6 раз. Во сколько раз увеличилась площадь прямоугольника?
Ответ: в 12 раз.
8. На столе шесть стаканов. 3 из них пустые, а в 3-х вода. Как сделать, чтобы пустые и полные стаканы чередовались? Брать в руки можно только один стакан?
Ответ: Надо перелить воду из второго стакана в пятый и поставить пустой стакан на место.
9.Готовясь к Новому году Чук и Гек мастерили елочные украшения. Они сделали 68 игрушек, из которых получилось 8 наборов: Чук делал наборы по 6 штук, а Гек – по 10 штук в каждом. Сколько наборов сделал каждый из мальчиков?I способ:
1) 8 × 6 = 48 – игрушек в 8 наборах по 6 штук в каждом.
2) 68 — 48 = 20 – игрушек осталось не в наборах.
3) 10 — 6 = 4 – на столько игрушек больше в наборе по 10, чем по 6.
4) 20 : 4 = 5 – наборов по 10 штук в каждом сделал Гек
5) 8 – 5 = 3 – наборов по 6 штук в каждом сделал Чук
Пусть мальчики изготовили по одинаковому числу наборов, тогда
4 4 4 × 6 + 4 × 10 = 24 + 40 = 64 (игр.); 64 < 68
3 5 3 × 6 + 5× 10 = 18 + 50 = 68 (игр.); 68 = 68
Ответ: Чук сделал 3 набора по 6 штук в каждом, а Гек – 5 наборов по 10 штук в каждом.
Примечание: задача имеет и другие способы решения.
10. Коржик, Ниточка и Свистулькин решили к праздничному столу купить 12 пирожных. Ниточка купила 5 штук, Коржик – 7 штук, а Свистулькин внес 12 рублей. Как Коржику и Ниточке разделить между собой эти деньги?
1) 12*3 = 36(руб.) – стоимость 12 пирожных, т.к. 12 рублей – третья
равна часть стоимости покупки.
2) 36:12 = 3(руб.) – цена пирожного
3) 3*5 = 15(руб.) – истратила Ниточка
4) 15-12 = 3(руб.) – должны вернуть Ниточке
5) 3*7 = 21(руб.) – истратил Коржик
6) 21 -12 = 9(руб.) – должны вернуть Коржику
11.Первое число в 3 раза больше второго. К меньшему числу прибавили 10 и получили большее число. Запиши эти числа.
(А>В в 3 раза т.е. В*3=А или В+В+В=А, В+10=А, следует, что В+В=10, В=5 5*3=15 или 5+10=15
Ответ: А=15, В=5
12.Майя и Кира вместе весят 40кг, Кира и Соня – 50кг, Соня и Дина – 60кг, Дина и Галя – 70кг, Галя и Майя – 80кг. Сколько весит каждая девочка?
1) 40 + 50 + 60 + 70 + 80 = 300(кг) – удвоенный вес всех девочек.
2) 300: 2 = 150(кг) – вес всех девочек.
3) 40 + 60 = 100(кг) – весят Майя, Кира, Соня, Дина.
4) 150 – 100 = 50(кг) – весит Галя.
5) 80 – 50 = 30(кг) – весит Майя.
6) 70 – 50 = 20(кг) – весит Дина.
7) 60 – 20 = 40(кг) – весит Соня.
40 – 30 = 10(кг) – весит Кира.
13. 5 учеников купили 100 тетрадей. Кирилл и Витя – 52 тетради, Витя и Юра – 43, Юра и Сева – 34, Сева и Миша – 30. Сколько тетрадей купил каждый?
1) 52 + 30 = 82(т.) – купили Кирилл, Витя, Сева, Миша.
2) 100 – 82 = 18(т.) – купил Юра.
3) 43 – 18 = 25(т.) – купил Витя.
4) 52 – 25 = 27(т.) – купил Кирилл.
5) 34 – 18 = 16(т.) – купил Сева.
6)27 + 25 + 16 =68(т.) – купили Витя, Кирилл, Сева.
7) 82 – 68 = 14(т.) – купил Миша.
14. Ученик заплатил за 2 блокнота и 3 открытки 99рублей. Сколько стоит блокнот и открытка, если блокнот в 4 раза дороже открытки?
1 открытка – 1 часть 3 открытки – 3части
1 блокнот – 4 части 2 блокнота – 8 частей
1) 3 + 8 = 11(частей)
2) 99 : 11 = 9(р.) – цена открытки.
3)9 * 4 = 36(р.) – цена блокнота.
Ответ: цена открытки – 9 рублей, а цена блокнота – 36 рублей.
15. У Серёжи и Кости были старинные монеты. Серёжа отдал Косте столько монет, сколько их было у Кости. Затем Костя отдал Серёже столько монет, сколько их было у Серёжи. В результате у Кости и Серёжи стало по 8 монет. Сколько первоначально было монет у Кости и Серёжи?
В результате передачи монет от Кости к Серёже количество монет у Серёжи удвоилось, т. е. до передачи у Серёжи было 8 : 2 = 4(м.). Тогда у Кости было 8 + 4 = 12(м.). В результате передачи монет от Серёжи Косте количество монет у Кости удвоилось, т. е. до первой передачи у Кости было 12 : 2 = 6(м.). Тогда у Серёжи было 4 + 6 = 10(м.)