Показать что функция является решением дифференциального уравнения

Интегрируем обе части уравнения $$\int \frac<2+t>dt = — \int \frac$$ $$\int \frac<2>dt+\int dt = -\int \frac$$ $$2\ln|t|+t = -\ln|x|+C.$$

Выполняем обратную замену $t = \frac$: $$2\ln|\frac|+\frac=-\ln|x|+C.$$ Упрощаем полученное равенство с помощью элементарных преобразований и свойств натурального логарифма $$2\ln|y|-2\ln|x|+\frac = -\ln|x|+C$$ $$2\ln|y|+\frac=\ln|x|+C$$ $$2\ln|y|+\frac=\ln|x|+\ln|C|$$ $$2\ln|y|+\frac=\ln|Cx|$$ $$\ln y^2+\frac=\ln|Cx|$$ $$\ln y^2 = \ln|Cx|-\frac$$ $$y^2 = Cxe^\frac<-y>.$$

Привели решение к такому виду через $y^2$. Это называется общим интегралом дифференциального уравнения. Ответ в таком виде остается в таком формате.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Линейные неоднородные ДУ

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет следующий вид $$y’+p(x)y=q(x).$$

Для его решения существует два способа: метод Бернулли и вариация произвольной постоянной. В первом методе нужно сделать замену на произведение двух функций $y = uv$, а во втором способе необходимо найти неизвестную функцию $C(x)$.

Алгоритм метода Бернулли:

1. Выполняем замену $y=uv$ и $y’ = u’v+uv’$
2. Находим функции $u(x)$ и $v(x)$ с помощью решения системы двух уравнений
3. Подставляем найденные $u(x)$ и $v(x)$ в уравнение $y=uv$, чтобы получить ответ

Алгоритм метода вариации произвольной постоянной:

1. Решаем исходное уравнение в качестве однородного методом разделяющихся переменных
2. В полученном общем решении заменяем константу $C$ на функцию $C(x)$
3. Подставляем общее решение и его производную в исходное уравнение, чтобы найти $C(x)$
4. Полученное $C(x)$ подставляем в общее решение однородного уравнения и записываем ответ

Приводим уравнение к виду $y’+p(x)y=q(x)$ путем деления на $x$ обеих частей равенства $$y’-2\frac=2x^3.$$

Делаем замену в полученном уравнении на $y=uv$ и $y’=u’v+uv’$ $$u’v+uv’-2\frac=2x^3.$$Выносим за скобку $u$, чтобы в дальнейшем составить систему уравнений: $$u’v+u(v’-2\frac)=2x^3.$$

Теперь приравниваем к нулю выражение в скобках и составляем систему уравнений $$\begin v’ — 2\frac = 0 \\ u’v = 2x^3 \end,$$ в которой начнем сначала решать первое уравнение для нахождения функции $v(x)$. Разделяем в нём переменные $$\begin \frac = 2\frac \\ u’v = 2x^3 \end \Leftrightarrow \begin \frac = 2\frac \\ u’v = 2x^3 \end.$$

Интегрируем первое уравнение в системе, чтобы получить функцию $v(x)$ $$\begin \ln|v| = 2\ln|x| \\ u’v = 2x^3 \end \Leftrightarrow \begin v = x^2 \\ u’v = 2x^3 \end.$$

Теперь, зная, чему равно $v$ подставляем его во второе уравнение $$\begin v=x^2 \\ u’x^2 = 2x^3 \end \Leftrightarrow \begin v=x^2 \\ u = x^2+C \end.$$

Записываем общее решение дифференциального уравнения $$y = uv \Rightarrow y = x^4+Cx^2.$$

В условии задачи требуется найти частное решение из условия $y(1)=0$. Подставим в найденное общее решение $x=1$ и $y=0$, чтобы вычислить $C$ $$1^4+C\cdot 1^2 = 0 \Rightarrow C = -1. $$

С учётом, что $C=-1$ записываем частное решение дифференциального уравнения $$y = x^4 — x^2.$$

Перепишем уравнение в виде $$ y’ — y \frac<\cos x> <\sin x>= \frac<1> <\sin x>.$$ Теперь записываем однородное дифференциальное уравнение $$y’ — y \frac<\cos x> <\sin x>= 0,$$ решим его методом разделяющихся переменных: $$\frac = y \frac<\cos x><\sin x>$$ $$\int \frac = \int \frac<\cos x> <\sin x>dx.$$

Слева получается натуральный логарифм, а справа заносим косинус под знак дифференциала, чтобы получить логарифм синуса: $$\ln|y| = \ln|\sin x| + C$$ $$y = C\sin x.$$

Теперь заменяем константу $C$ на функцию $C(x)$ в полученном решении и находим производную $$y = C(x)\sin x \Rightarrow y’ = C'(x)\sin x+ C(x)\cos x.$$

Подставляем $y$ и $y’$ в неоднородное уравнение и решаем его относительно $C(x)$: $$C'(x)\sin x+ C(x)\cos x — C(x)\sin x \frac<\cos x> <\sin x>= \frac<1><\sin x>$$ $$C'(x)\sin x = \frac<1><\sin x>$$ $$C'(x) = \frac<1><\sin^2 x>.$$

В последнем уравнении можно разделить переменные, что и делаем, а затем интегрируем: $$ d(C(x)) = \int \frac<\sin^2 x>$$ $$C(x) = -ctg x + C.$$

Берем решение $y = C(x)\sin x$ и подставляем в него найденное $C(x) = -ctg x + C$ $$y = (-ctg x + C) \sin x = C\sin x — \cos x.$$ Таким образом получили общее решение дифференциального уравнения $y = C\sin x — \cos x$.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

ДУ Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет следующий вид $$y’ + g(x)y = f(x)y^\alpha \qquad (\alpha \neq 0), (\alpha \neq 1).$$

1. Выполняем подстановку $y = z^\frac<1><1-\alpha>$
2. После подстановки получаем линейное уравнение $z’+p(x)z=q(x)$
3. Решив линейное уравнение делаем обратную замену $z = y^<1-\alpha>$

Это уравнение Бернулли. Видим, что $\alpha = 2$. Значит делаем замену на $y = z^\frac<1> <1-\alpha>= z^<-1>$. Отсюда $y’ = -\frac<1> \cdot z’$. После подстановки в исходное уравнение имеем $$ -\frac+\frac<1>=\frac.$$

Умножаем обе части равенства на $(-z^2)$, чтобы привести уравнение к линейному ДУ $$z’-z=-x, $$ которое можно решить методом Бернулли, либо вариацией произвольной постоянной. Выберем первый способ.

Применяем подстановку $y=uv$ и $y’=u’v+uv’$ для последнего уравнения $$u’v+uv’-uv=-x.$$ Выносим за скобку $u$, чтобы затем построить систему уравнений для нахождения функций $u(x)$ и $v(x)$ $$u’v+u(v’-v) = -x.$$ Приравниваем к нулю скобку и получаем систему $$\begin v’-v = 0 \\ u’v = -x \end.$$

Начинаем решать её с первого уравнения. Разделяем в нем переменные и затем интегрируем $$\begin \int \frac = \int dx \\ u’v = -x \end \Leftrightarrow \begin \ln|v| = x \\ u’v = -x \end \Leftrightarrow \begin v = e^x \\ u’v = -x \end. $$

Зная, что $v = e^x$ подставляем его во второе уравнение системы и решаем $$\begin v = e^x \\ u’ = -\frac \end \Leftrightarrow \begin v = e^x \\ u = \int (-x)e^ <-x>dx \end.$$

Для взятия интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям $$u = \int (-x)e^ <-x>dx = \begin u = -x & du = -dx \\ dv = e^<-x>dx & v = -e^ <-x>\end = xe^ <-x>— \int e^ <-x>dx = xe^ <-x>+e^ <-x>+ C$$

Итак, получаем, что $$z = uv \Rightarrow z = (xe^ <-x>+ e^<-x>+C) e^x = Ce^x +x + 1. $$ Вспоминаем, что была ещё одна замена в самом начале решения задачи $y = z^<-1>$, поэтому общее решение выглядит следующим образом $$y = \frac<1>.$$

ДУ в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах имеют следующий вид $$P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, $$ при выполнении условия $\frac<\partial P> <\partial y>= \frac<\partial Q> <\partial x>$.

Алгоритм решения заключается в том, чтобы найти функцию $U(x,y)=C$, полный дифференциал которой, есть исходное ДУ:

1. Проверяем условие, подтверждающее, что перед нами ДУ в полных дифференциалах
2. Получаем $U(x,y)$ интегрируя функцию $P(x,y)$ по переменной $x$. В результате этого появится неизвестная функция $\varphi(y)$
3. Дифференцируем $U(x,y)$ по $y$ и приравниваем к $Q(x,y)$, чтобы найти $\varphi(y)$

Убедимся, что данное уравнение в полных дифференциалах. Для этого проверим условие $\frac<\partial P> <\partial y>= \frac<\partial Q> <\partial x>$. Находим производные $$ P’_y = (2x+5y)’_y = 5, Q’_x = (5x+3y^2)’_x = 5, $$ и видим, что условие выполняется $P’_y=P’_x=5$.

Находим функцию $U(x,y)$ беря интеграл по $x$ от функции $P(x,y)$ $$U(x,y) = \int (2x+5y) dx = x^2 + 5yx + \varphi(y).$$

Далее необходимо продифференцировать найденную $U(x,y)$ по $y$ $$U’_y = 5x + \varphi'(y).$$

Осталось найти неизвестную функцию $\varphi(y)$ приравняв $U’_y$ к $Q(x,y)$: $$5x + \varphi'(y) = 5x+3y^2$$ $$\varphi'(y) = 3y^2$$ $$\varphi(y) = \int 3y^2 dy = y^3 + C.$$

Теперь зная чему равна $\varphi(y)$ подставляем её в $U(x,y)$ $$U(x,y)=x^2+5xy+y^3+C.$$

Записываем ответ в таком виде $$x^2+5xy+y^3 = C.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Дифференциальные уравнения второго порядка

ДУ допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка бывают двух видов:

1. Без функции $y$: $F(x,y’,y»)=0$
2. Без переменной $x$: $F(y,y’,y»)=0$

Для решения таких диффуров в первом случае делаем замену $y’ = p(x)$, а во втором $y’ = p(y)$.

Видим, что данный дифур попадает под первый случай, когда отсутствует в уравнении $y$, а есть только его производные. Значит, делаем замену $y’ = p(x)$ $$xp’+p=0.$$

Данное уравнение имеет разделяющиеся переменные. Начнем с того, что перепишем уравнение через $p’ = \frac$ $$x\frac = -p.$$ Разделяем переменные налево и направо от знака равенства и затем интегрируем: $$ \frac

= -\frac$$ $$ \int \frac

= -\int \frac$$ $$\ln|p| = -\ln|x|+C_1.$$ Теперь избавимся от логарифмов, чтобы получить $p$: $$p = e^<-\ln|x| + C_1>$$ $$p = \frac.$$

Вспоминаем про ранее выполненную замену $$y’ = p(x) = \frac.$$ Интегрируем для того, чтобы найти $y$ $$y = \int \frac dx = C_1 \ln|x| + C_2.$$

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения $$y = C_1 \ln|x| + C_2.$$

Займемся поиском частного решения. Для этого используем два дополнительных равенства из условия задачи: $$y(1) = 0 \Rightarrow C_1 \ln|1| + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0$$ $$y'(1)=1 \Rightarrow \frac <1>= 1 \Rightarrow C_1 = 1.$$

Записываем частное решение дифференциального уравнения $$y = \ln|x|.$$

Видим, что в диффуре отсутствует в явном виде переменная $x$, поэтому необходимо сделать замену $y’ = p(y)$ и отсюда $y» = p'(y)\cdot y’ = p'(y)p$.

Делаем замену и получаем уравнение $$yp'(y)p + p^2 = 1,$$ которое решим методом разделения переменных: $$yp\frac = 1-p^2$$ $$\frac

<1-p^2>dp = \frac<1>dy.$$ Далее по плану необходимо проинтегрировать обе части уравнения, чтобы получить $p$ $$\int \frac

<1-p^2>dp = \int \frac<1>dy.$$

В первом интеграле заносим под знак дифференциала $1-p^2$, чтобы получился натуральный логарифм, а во втором, используя таблицу интегрирования можно сразу записать ответ: $$-\frac<1> <2>\int \frac <1-p^2>= \ln|y| + C $$ $$-\frac<1> <2>\ln|1-p^2| = \ln|y| + C.$$

Необходимо избавиться от логарифмов. Умножим обе части равенства на $(-2)$, а затем занесем эту двойку над икреком: $$\ln|1-p^2| = -2\ln|y|+C$$ $$\ln|1-p^2| = \ln \frac<1> + C.$$

Итак, теперь убирая логарифмы получаем: $$1-p^2 = C \frac<1>$$ $$p^2 = 1 — C\frac<1>$$ $$(y’)^2 = 1 — C\frac<1>.$$

Теперь найдем значение константы $C$ благодаря дополнительным условиям задачи $y = 1$ и $y’ = 1$. Подставляем их в последнее уравнение $$1^2 = 1 — C\frac<1> <1^2>\Rightarrow C = 0.$$

Зная теперь, что $C=0$ подставляем его в уравнение $(y’)^2 = 1 — C\frac<1>$: $$(y’)^2 = 1$$ $$y’ = \pm 1.$$ Из условия помним, что $y’ = 1 > 0$, значит, берем только решение $y’ = 1$ и продолжаем его решать интегрированием $$y = \int 1 dx = x + C.$$

Осталось найти снова постоянную $C$ теперь уже из условия $y(0) = 1$ $$y(0) = 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1.$$ Вот теперь можно записать ответ в виде частного решения, которое требовалось найти по условию данной задачи $$y = x + 1.$$

Линейные однородные ДУ с постоянными коэффицентами

Линейность дифференциального уравнения заключается в том, что в уравнение входит неизвестная функция $y(x)$ и её производные только в первой степени, между собой не перемножаясь. Однородность определяется тем, что уравнение не содержит свободного члена. То есть он равен нулю.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами выглядит следующим образом $$y»+py’+qy = 0.$$ Чтобы его решить необходимо составить характиристический многочлен и найти его корни. Для этого нужно заменить $y$ на $\lambda$, степень которых будет соответствовать порядку производной $$y» \Rightarrow \lambda^2, \qquad y’ \Rightarrow \lambda, \qquad y \Rightarrow 1.$$

В зависимости от получившихся корней имеем общее решение в различных видах:

1. Действительные корни $\lambda_1 \neq \lambda_2$, тогда $y = C_1e^<\lambda_1 x>+C_2e^<\lambda_2 x>$
2. Действительные корни $\lambda_1 = \lambda_2$, тогда $y = C_1e^<\lambda_1 x>+C_2xe^<\lambda_1 x>$
3. Комплексные корни $\lambda_ <1,2>= \alpha\pm\beta i$, тогда $y = C_1e^<\alpha x>\cos \beta x + C_2e^<\alpha x>\sin \beta x$.

Первым делом составляем характеристический многочлен. Заменяем $y$ на $\lambda$ со степенями соответствующими порядку производной $y$ $$\lambda^2 + \lambda -2 = 0.$$

Обратите внимание, что $y$ имеет производную нулевого порядка, поэтому он заменяется на $\lambda^0 = 1$. Итак, перед нами квадратное уравнение, начинаем решать: $$\lambda_ <1,2>= \frac<-1\pm \sqrt<1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)>> <2\cdot 1>= \frac<-1\pm 3><2>$$ $$\lambda_1 = -2, \qquad \lambda_2 = 1.$$

Так как получили отличающиеся действительные корни, то общее решение записывается следующим образом $$y = C_1 e^ <-2x>+ C_2 e^.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами отличается от предыдущего типа уравнений наличием правой части от знака равенства $$y»+py’+q = f(x).$$

Общее решение такого диффура складывается из двух частей: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения $$y_\text <о.н.>= y_\text <о.о.>+ y_\text<ч.н.>.$$

Частное решение неоднородного уравнения $y_\text<ч.н.>$ подбирается исходя из вида правой части дифференциального уравнения. Затем в нём неизвестные постоянные находятся методом неопределенных коэффициентов.

Сначала находим общее решение однородного уравнения $$y» + y = 0.$$ Строим характеристический многочлен $$\lambda^2 + 1 = 0,$$ и находим его корни $$\lambda_<1,2>=\pm i.$$ Записываем получившееся общее решение однородного уравнения $$y_\text <о.о.>= C_1 \cos x + C_2 \sin x.$$

Теперь необходимо подобрать частное решение неоднородного уравнения. Для этого смотрим на правую часть исходного уравнения и видим, что здесь многочлен первой степени умножается на косинус. Значит, необходимо выбрать из таблицы 3й случай. Причем корень характеристического уравнения совпадает с аргументом косинуса. Это значит, что требуется домножение на $x$ $$y_\text <ч.н.>= x[(Ax+B)\cos x + (Cx+D)\sin x].$$Упростим последнее равенство и найдем от него вторую производную: $$y_\text <ч.н.>= (Ax^2+Bx)\cos x + (Cx^2 + Dx) \sin x$$ $$y’_\text <ч.н.>= (2Ax+B)\cos x-(Ax^2+Bx)\sin x + (2Cx+D)\sin x + (Cx^2 + Dx) \cos x.$$

Упростим $y’_\text<ч.н>$ для удобства нахождения второй производной $$y’_\text <ч.н.>= (2Ax+B+Cx^2+Dx)\cos x + (2Cx+D-Ax^2-Bx)\sin x.$$ Теперь можно найти вторую производную $$y»_\text <ч.н.>= (2A+2Cx+D)\cos x-(2Ax+B+Cx^2+Dx)\sin x + (2C-2Ax-B)\sin x + (2Cx+D-Ax^2-Bx)\cos x.$$ Упрощаем последнее выражение $$y»_\text <ч.н.>= (2A+4Cx+2D-Ax^2-Bx)\cos x + (2C-4Ax-2B-Cx^2-Dx)\sin x.$$

Подставляем найденные $y_\text<ч.н.>$ и $y»_\text<ч.н.>$ в исходный диффур из «дано» задачи $$(2A+4Cx+2D-Ax^2-Bx)\cos x + (2C-4Ax-2B-Cx^2-Dx)\sin x + (Ax^2+Bx)\cos x + (Cx^2 + Dx) \sin x = 4x\cos x.$$ Упрощаем его $$(2A+4Cx+2D)\cos x + (2C-4Ax-2B)\sin x = 4x\cos x.$$ Теперь подгоняем левую часть под правую, так чтобы можно было применить метод неопределенных коэффициентов и найти неизвестные $A,B,C,D$ $$(2A+2D)\cos x+4Cx\cos x + (2C-2B)\sin x+(-4Ax)\sin x = 4x\cos x.$$ Смотрим на левую и правую часть и составляем систему $$\begin 2A+2D = 0 \\ 4C=4 \\ 2C-2B=0 \\ -4A = 0 \end \Leftrightarrow \begin D=0 \\ C= 1 \\ B=1 \\ A = 0\end.$$

Подставляем полученные коэффициенты в частное решение неоднородного уравнения $$y_\text <ч.н.>= x\cos x + x^2\sin x.$$ Теперь вспоминая, что $y_\text <о.н.>= y_\text <о.о.>+ y_\text<ч.н.>$ можем записать окончательный ответ $$y_\text <о.н.>= C_1 \cos x + C_2 \sin x + x\cos x + x^2\sin x.$$

Сначала найдем общее решение однородного дифференциального уравнения $$y»+y’=5x+2e^x.$$

Составляем характеристический многочлен однородного уравнения и находим его корни: $$\lambda^2 + \lambda = 0$$ $$\lambda(\lambda + 1) = 0$$ $$\lambda_1 = 0, \qquad \lambda_2=-1.$$ Теперь можно записать общее решение $$y_\text <о.о.>= C_1 + C_2e^<-x>.$$

Далее необходимо по правой части исходного неоднородного уравнения найти его частное решение путем подбора, используя данные таблицы. Первое слагаемое есть многочлен первой степени. И так как один из корней характеристического уравнения является нулем кратности 1, то решение ищем в виде $y = (Ax+B)x$. Второе слагаемое представляет собой произведение многочлена нулевой степени на экспоненту. Так как аргумент экспоненты не совпадает с одним из корней характеристического многочлена, то подбор будем делать в виде $y = Ce^x$. В итоге правую часть будем искать в виде суммы $$y_\text <ч.н.>= (Ax+B)x+Ce^x.$$

Находим первую и вторую производную последней функции: $$y’ = 2Ax+B+Ce^x$$ $$y»=2A+Ce^x.$$ Подставляем полученные производные $y’$ и $y»$ в исходное дифференциальное уравнение: $$2A+Ce^x+2Ax+B+Ce^x = 5x+2e^x$$ $$2Ax+B+2A+2Ce^x=5x+2e^x.$$

Далее необходимо, используя метод неопределенных коэффициентов, найти значения $A,B,C$ составив систему уравнений $$\begin 2A=5 \\ 2C=2 \\ B+2A = 0 \end \Leftrightarrow \begin A=\frac<5> <2>\\ C=1 \\ B=-5 \end.$$

Подставляем найденные коэффициенты и получаем частное решение неоднородного уравнения $$y_\text <ч.н.>= (\frac<5><2>x-5)x + e^x = \frac<5><2>x^2 — 5x + e^x.$$

Таким образом теперь можно записать общее решение неоднородного диффура $$y_\text <о.н.>= y_\text <о.о.>+ y_\text<ч.н.>=C_1 + C_2e^ <-x>+ \frac<5><2>x^2 — 5x + e^x.$$

Метод Лагранжа

Данный метод позволяет решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами даже в тех, случаях, когда правая часть уравнения не подходит под табличный вид. В этом случае целесообразно применить данный метод решения.

1. Находим общее решение однородного уравнения $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$
2. Варьируем постоянные $C_1$ и $C_2$ на функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$
3. Решаем систему методом Крамера $\begin C_1 ‘(x) y_1 (x) + C_2 ‘(x) y_2 (x) = 0 \\ C_1 ‘(x) y_1 ‘(x) + C_2 ‘(x) y_2 ‘(x) = f(x) \end $
4. Получаем $C_1(x)$ и $C_2(x).$

Так как правая часть диффура не подходит под табличный формат, то не получится подбирать частное решение по правой части как делали это в предыдущем примере. Воспользуется методом Лагранжа или как его еще называют вариация произвольной постоянной. Для начала найдем общее решение однородного уравнения $$y»-2y’+y=0.$$

Составляем характеристический многочлен и находим его корни: $$\lambda^2-2\lambda+1=0$$ $$(\lambda-1)^2 = 0 \Rightarrow \lambda = 1 \text< с кратностью 2>.$$ Так как корень кратный, то общее решение однородного уравнения записывается следующим образом $$y = C_1 e^x + C_2 xe^x.$$

Теперь необходимо варьировать постоянные $C_1$ и $C_2$ на соответствующие функции $C_1 (x)$ и $C_2 (x)$. Теперь получившееся решение следует записать в виде $y = C_1 (x) e^x + C_2 (x) xe^x$. Здесь заметим, что $y_1 = e^x$ и $y_2 = xe^x$. Это нужно для дальнейшего хода решения, а именно построения системы уравнений.

Составляем систему уравнений и решаем её методом Крамера $$\begin C_1 ‘(x) e^x+C_2 ‘(x) xe^x = 0 \\C_1 ‘(x) e^x + C_2 ‘(x) (e^x+xe^x) = \frac \end.$$ Находим главный определитель системы $$\Delta = \begin e^x & xe^x \\ e^x & e^x+xe^x \end = e^x(e^x+xe^x)-xe^ <2x>= e^<2x>.$$ Вычисляем дополнительные определители: $$\Delta_1 = \begin 0 & xe^x \\ \frac & e^x + xe^x \end = -xe^x \frac = e^<2x>$$ $$\Delta_2 = \begin e^x & 0 \\ e^x & \frac \end = e^x \frac = \frac>.$$

Итак, получаем решение системы уравнений $$C_1 ‘(x) = \frac<\Delta_1> <\Delta>= \frac>> = 1, \qquad C_2 ‘(x) = \frac<\Delta_2> <\Delta>= \frac> \frac<1>> = \frac<1>.$$ Далее интегрируем полученные решения, чтобы избавиться от производной: $$C_1(x) = \int 1 dx = x+\tilde$$ $$C_2(x)=\int \frac=\ln|x|+\tilde.$$

Подставляем полученные $C_1(x)$ и $C_2(x)$ в общее решение однородного уравнения и записываем общее решение неоднородного дифференциального уравнения $$y = (x+\tilde) e^x + (\ln|x|+\tilde) xe^x.$$ По условию нам требуется найти частное решение при условиях $y(1)=e$ и $y'(1)=3e$. Поэтому находим сначала производную $$y’=e^x+(x+\tilde)e^x+e^x+(\ln|x|+\tilde)(e^x+xe^x), $$ раскрываем скобки $$y’ = 2e^x+xe^x+\tildee^x+e^x\ln|x|+xe^x\ln|x|+\tildee^x+\tildexe^x,$$ а затем составляем систему уравнений $$\begin y'(1)=3e+\tildee+2\tildee = 3e \\ y(1) = e+\tildee + \tildee = e \end \Rightarrow \begin \tilde+2\tilde=0 \\ \tilde+\tilde=0 \end \Rightarrow \begin \tilde = 0 \\ \tilde=0 \end.$$

Теперь можно записать частное решение к задаче $$y = xe^x + x\ln|x|e^x = xe^x(1+\ln|x|).$$

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Далее интегрируем полученное уравнение:

В данном случае интегралы берём из таблицы:

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Если – это константа, то

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Получаем общее решение:

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

можно выразить функцию в явном виде.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Подставим полученное частное решение

и найденную производную в исходное уравнение

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Подставляем в общее решение

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)