Определите вероятность того что при бросании кубика выпало число очков не большее 6
Задание 10 № 325481 
Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не большее 3.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет не больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна
Определите вероятность того что при бросании кубика выпало число очков не большее 6
Задача 1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало очков, не меньшее, чем 3?
Число благоприятных исходов равно 4, т.е. выпадение граней кубика с числами 3, 4, 5 и 6. Всего равновозможных исходов 6. Таким образом, искомая вероятность равна
Задача 2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков.
Благоприятных исходов 6:
Всего равновозможных исходов . Искомая вероятность равна
Задача 3. Марина и Дина бросают кубик по одному разу. Выигрывает та девочка, у которой выпадет больше очков. Первой кубик бросила Марина, у нее выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Дина выиграет.
Кубик бросается один раз. Марина уже бросила кубик и у нее выпало 3 очка. Дина может выиграть у Марины, если при бросании игрального кубика выпадут числа 4, 5 или 6. Всего возможных исходов 6. Следовательно, вероятность того, что Дина выиграет, равна
Задача 4. Двое играют в кости – они по разу бросают игральный кубик. Выигрывает тот, у кого больше очков. Если выпадает поровну, то наступает ничья. Первый бросил кубик, и у него выпало 4 очка. Найдите вероятность того, что он выиграет.
Первый игрок может выиграть у второго игрока, если при бросании у второго игрока выпадут числа 1, 2 или 3, т.е. три благоприятных исхода. Всего исходов 6. Таким образом, искомая вероятность равна
Задача 5. Одновременно бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
Так как бросается три игральных кости, то общее число исходов равно . Событию «в сумме выпало 5» благоприятствуют исходы:
Элементы комбинаторики. События и их вероятности. Примеры решения задач (Часть 2)
В теории вероятностей существует группа задач, для решения которых достаточно знать классическое определение вероятности и наглядно представлять предлагаемую ситуацию. Такими задачами является большинство задач с подбрасыванием монеты и задачи с бросанием игрального кубика. Напомним классическое определение вероятности.
Вероятность события А (объективная возможность наступления события в числовом выражении) равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов: Р(А)=m/n, где:
- m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
- n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания.
Число возможных элементарных исходов испытания и число благоприятных исходов в рассматриваемых задачах удобно определять перебором всех возможных вариантов (комбинаций) и непосредственным подсчетом.
 |
Определение вероятности в задачах про монету
Задача 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 1 раз.
Решение.
Возможные варианты двух бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:
| № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок |
| 1 | Орел | Орел |
| 2 | Орел | Решка |
| 3 | Решка | Орел |
| 4 | Решка | Решка |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = <орел выпадает 1 раз>соответствуют варианту №2 и №3 эксперимента, таких вариантов два m=2.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=2/4=0,5
Задача 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Решение. Поскольку монету бросают дважды, то, как и в задаче 1, число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = <орел не выпадет ни разу>соответствуют варианту №4 эксперимента (см. таблицу в задаче 1). Такой вариант один, значит m=1.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=1/4=0,25
Задача 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.
Решение. Возможные варианты трех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:
| № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок |
| 1 | Орел | Орел | Орел |
| 2 | Орел | Решка | Решка |
| 3 | Решка | Орел | Решка |
| 4 | Решка | Решка | Орел |
| 5 | Орел | Орел | Решка |
| 6 | Орел | Решка | Орел |
| 7 | Решка | Орел | Орел |
| 8 | Решка | Решка | Решка |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=8. Благоприятные исходы события А = <орел выпадает 2 раза>соответствуют вариантам №5, 6 и 7 эксперимента. Таких вариантов три, значит m=3.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=3/8=0,375
Задача 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.
Решение. Возможные варианты четырех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:
| № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 4-й бросок | № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 4-й бросок |
| 1 | Орел | Орел | Орел | Орел | 9 | Решка | Орел | Решка | Орел |
| 2 | Орел | Решка | Решка | Решка | 10 | Орел | Решка | Орел | Решка |
| 3 | Решка | Орел | Решка | Решка | 11 | Орел | Решка | Решка | Орел |
| 4 | Решка | Решка | Орел | Решка | 12 | Орел | Орел | Орел | Решка |
| 5 | Решка | Решка | Решка | Орел | 13 | Решка | Орел | Орел | Орел |
| 6 | Орел | Орел | Решка | Решка | 14 | Орел | Решка | Орел | Орел |
| 7 | Решка | Орел | Орел | Решка | 15 | Орел | Орел | Решка | Орел |
| 8 | Решка | Решка | Орел | Орел | 16 | Решка | Решка | Решка | Решка |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=16. Благоприятные исходы события А = <орел выпадет 3 раза>соответствуют вариантам №12, 13, 14 и 15 эксперимента, значит m=4.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=4/16=0,25
 |
Определение вероятности в задачах про игральную кость
Задача 5. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет более 3 очков.
Решение. При бросании игрального кубика (правильной кости) может выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий — выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = <выпало более 3 очков>означает, что выпало 4, 5 или 6 точек (очков). Значит число благоприятных исходов m=3.
Вероятность события Р(А)=m/n=3/6=0,5
Задача 6. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика выпало число очков, не большее 4. Результат округлите до тысячных.
Решение. При бросании игрального кубика может выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий — выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = <выпало не более 4 очков>означает, что выпало 4, 3, 2 или 1 точка (очко). Значит число благоприятных исходов m=4.
Вероятность события Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Задача 7. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, меньшее 4.
Решение. Так как игральную кость (игральный кубик) бросают дважды, то будем рассуждать следующим образом: если на первом кубике выпало одно очко, то на втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6. Получаем пары (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и так с каждой гранью. Все случаи представим в виде таблицы из 6-ти строк и 6-ти столбцов:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Благоприятные исходы события А = <оба раза выпало число, меньшее 4>(они выделены жирным) подсчитаем и получим m=9.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=9/36=0,25
Задача 8. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до тысячных.
Решение. Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Благоприятные исходы события А = <наибольшее из двух выпавших чисел равно 5>(они выделены жирным) подсчитаем и получим m=8.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Задача 9. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.
Решение. Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Фраза «хотя бы раз выпало число, меньшее 4» означает «число меньшее 4 выпало один раз или два раза», тогда число благоприятных исходов события А = <хотя бы раз выпало число, меньшее 4>(они выделены жирным) m=27.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=27/36=0,75
Другие статьи по данной теме:
- назад:Элементы комбинаторики. События и их вероятности. Примеры решения задач (Часть 1)
- далее:Операции над событиями. Правила сложения и умножения вероятностей
Список использованных источников
- Алимов А.Ш., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни / Учебник. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 2016;
- Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / М. — «Высшая школа», 2004;
- Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006;
- Семёнычев В. К. Теория вероятности и математическая статистика: Лекции /Самара, 2007;
- Теория вероятностей: контрольные работы и метод. указания для студентов / сост. Л.В. Рудная и др. / УрГЭУ — Екатеринбург, 2008;
- Яковлев И. В. Комбинаторика-олимпиаднику — MathUs.ru.
2012 © Лана Забродская. При копировании материалов сайта ссылка на источник обязательна