Зачем нужен фазовый спектр
Спектр мощности и амплитудный спектр. На рис. 2.2 показано периодическое продолжение исходного сигнала . Предположим, что сместили вправо на величину . Тогда получим
сигнал, обозначенный на рис. 2.2, . Согласно выражению (2.1.13) имеем
Рис. 2.2. Периодическое продолжение сигналов и
Из (2.2.3) следует, что
Введем понятие Фурье-спектра мощности
где — мощность спектральной составляющей. Из приведенных рассуждений очевидно и это, в частности, подтверждается выражениями (2.2.4) и (2.2.5), что спектр мощности обладает следующими свойствами:
инвариантен величине временного сдвига, т;
соответствии с понятием спектра мощности с помощью выражения (2.2.5) определим амплитудный Фурье-спектр как
где — неотрицательный корень квадратный из значения спектра мощности .
Фазовый сдвиг. Фазовый Фурье-спектр периодического сигнала определяется из следующего выражения:
где символами и соответственно обозначены мнимая и действительная части величины, заключенной в квадратные скобки. Если умножить на действительную постоянную величину , то разложение в ряд Фурье имеет следующий вид:
Из выражений (2.2.3) и (2.2.7) следует, что фазовый Фурье-спектр обладает следующими свойствами:
i) является функцией , т. е. в отличие от спектра мощности, который не зависит от , изменяется при сдвиге сигнала вдоль оси времени;
не зависит от К, т. е. инвариантен к усилению или ослаблению сигнала, в то время как спектр мощности является функцией К.
(см. задачу 2.4), т. е. является нечетной, функцией .
Примечание. С учетом геометрической интерпретации показанной на рис. 2.1, и приведенных выше рассуждений, можно выразить через спектр мощности и фазовый спектр следующим образом:
то из (2.2.8) и (2.2.9) следует, что может быть восстановлен однозначно, если известны амплитудный (или спектр мощности) и фазовый спектры. Рассмотрим простой пример.
Пример 2.2.1. Рассмотрим сигнал заданный следующим образом:
Пусть является периодическим продолжением с периодом Т (рис. 2.3).
Рис. 2.3. -периодическое продолжение
а) Запишем разложение сигнала в комплексный ряд Фурье
б) Построим амплитудный и фазовый Фурье-спектры.
Решение. а) Согласно выражению (2.2.11) имеем
б) Графики, соответствующие амплитудному и фазовому спектрам, полученным из (2.2.9), показаны на рис. 2.4а и б соответственно.
Рис. 2.4. Спектры Фурье для сигнала , показанного на рис. 2.3 а — амплитудный: б — фазовый
Относительно приведенных выше графиков следует сделать несколько замечаний:
1) интервалы между последовательными на рис. 2.4 равны основной угловой частоте ;
2) фазовый спектр принимает только три значения: 0, или . Это следует из выражения (2.2.9):