Задача о монетах 50 копеек, 1, 2, 5 и 10 рублей в кошельке. Как решить?
Монеты бывают номиналов 50 копеек, 1 рубль, 2 рубля, 5 рублей, 10 рублей. В кошельке лежит несколько монет. Известно, что какие бы 26 монет ни вытащить из кошелька, среди них будет хотя бы одна рублевая, хотя бы одна пятирублевая и хотя бы одна десятирублевая. При каком наибольшем количестве монет в кошельке такое возможно?
Для начала допустим, что монеты в 50 копеек и монеты в 2 рубля в кошельке нету вовсе (в условии задачи не говорится, что они должны там быть обязательно), а присутствуют там только монеты в 1 рубль, в 5 рублей и в 10 рублей.
Пусть пока их там ровно 26 штук — по девять монет в 1 рубль и 5 рублей и восемь монет в 10 рублей.
Количество монет можно довести — до 13 монет одного достоинства, 12 монет второго достоинства и 12 монет третьего достоинства (всего 37 монет). Очевидно, что самый худший исход выбора — 13 монет одного достоинства и 12 монет второго достоинства требует до количества в 26 монет ещё одну монету третьего достоинства.
Известно что в кошельке лежало n монет каждая из которых могла иметь достоинство 2 5 или 10 рублей
Тип 18 № 526893 
Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n = 14?
б) Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n = 19?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n = 24?
а) Да. Например, заплатив за блокнот 5 десятирублёвых монет и 3 двухрублёвые монеты (8 монет), а за ручку 1 десятирублёвую монету, 3 пятирублёвые и 2 двухрублёвые (6 монет).
б) Предположим, что Аня сделала покупки требуемым образом. За чашку чая она заплатила либо 1 десятирублёвую монету, либо 2 пятирублёвые, либо 5 двухрублёвых. За сырок Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 10 рублей можно одним из трёх указанных выше способов. Значит, за сырок она заплатила либо 2, либо 3, либо 6 монет. Следовательно, за чай и сырок она заплатила либо 11 монет, либо не более 8 монет.
В первом случае она заплатила за пирожок 8 монет. Они не могли быть все двухрублёвые. Значит, среди них либо была десятирублёвая монета, либо по крайней мере две пятирублёвые монеты. Оставшиеся 10 рублей нельзя набрать 6 или 7 монетами. Пришли к противоречию.
Во втором случае она заплатила за пирожок не менее 11 монет. Это также невозможно, поскольку тогда получилось бы не менее 22 рублей.
Полученные противоречия показывают, что Аня не могла сделать указанные покупки требуемым образом.
в) Пусть Аня купила альбом за 85 рублей, потратив 24 монеты: k двухрублёвых, l пятирублёвых и m десятирублёвых. Тогда
Значит, делится на 8. Следовательно, число l нечётно. При l равном 1, 3 и 5 выражение равно 34, 28 и 22 соответственно и не делится на 8.
Пример k = 15, l = 7 и m = 2 показывает, что Аня могла заплатить ровно 7 пятирублёвых монет.
Ответ: а) да; б) нет; в) 7.
Приведем решение пункта б) Инны Никитиной.
За все покупки Аня заплатила 45 рублей. Если бы среди 19 монет в ее кошельке была хотя бы одна десятирублевая, то сумма денег в ее кошельке была бы не менее, чем 10 + 18 · 2 = 46 рублей, что противоречит условию, что Аня потратила все деньги из кошелька. Следовательно, в кошельке были только двухрублевые и пятирублевые монеты.
Если бы все монеты были двухрублевые, то сумма денег в кошельке была бы равна 19 · 2 = 38 рублей. Замена одной двухрублевой монеты на пятирублевую даст прибавку в 3 рубля, следовательно, при замене нескольких двухрублевых монет на пятирублевые получим дополнительную сумму, кратную 3, а необходимая дополнительная сумма, равная 45 − 38 = 7, не кратна 3. Следовательно, набрать 45 рублей 19 монетами по 2, 5 и 10 рублей невозможно.
Математика 10 класс полугодовая контрольная работа 2 варианта с ответами
Полугодовая контрольная работа по математике 10 класс за 1 полугодие 2021-2022 учебный год 2 варианта по 18 заданий с ответами и решением 56 регион Оренбургская область, официальная дата проведения полугодовой работы 16 декабря 2021 год.
Скачать задания 1 варианта
Скачать задания 2 варианта
Скачать ответы и решения
Полугодовая контрольная работа по математике 10 класс 1 вариант:
Полугодовая контрольная работа по математике 10 класс 2 вариант:
Сложные задания с 1 варианта:
2)В сборнике билетов по философии всего 30 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме «Скептицизм». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Скептицизм».
3)Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 30, основание равно 36. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
5)Объем прямоугольного параллелепипеда равен 144. Площадь одной его грани равна 18. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
8)Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 15:00 того же дня. Определите (в км/час) собственную скорость катера, если известно, что скорость реки равна 2 км/ч.
15)В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тысяч рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущею года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 220 тысяч рублей; — выплаты в 2030 и 2031 годах равны; — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тысяч рублей.
18)Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька. а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n = 14? б) Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n = 19? в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n = 24?
Сложные задания с 2 варианта:
2)В сборнике билетов по биологии всего 20 билетов, в 14 из них встречается вопрос по теме «Членистоногие». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме «Членистоногие».
8)Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?
10)Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 6 очков, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
13)Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно. а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны. б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.
15)В июле клиент планирует взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планирует клиент взять кредит, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
16)Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые. а) Доказать, что MA = MD. б) Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD.
18)Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 100 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 10 рублей, изза чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось. а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки? б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки? в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 110 рублей, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 81 рубль, а средняя цена книг без бирки — 226 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 90 рублей, а средняя цена книг без бирки — 210 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?