Известно что d x 4 тогда дисперсия случайной величины z 3x 2 равна

18. Дисперсия дискретной случайной величины

Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она принимает, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.

Рассмотрим, например, дискретные случайные величины X и Y , заданные следующими законами распределения:

Математические ожидания этих величин

Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики.

Определение7.1: Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: X – M(X).

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[X – M(X)] = 0.

Доказательство: Пользуясь свойствами математического ожидания и тем, что M(X)- Постоянная величина, имеем

M[X – M(X)] = M(X) – M[M(X)] = M(X) –M(X)= 0.

Замечание: Наряду с термином “отклонение” используют термин “центрированная величина”. Центрированной случайной величиной Называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: = X – M(X).

Определение7.2:Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]2.

Математическое ожидание случайной величины. Пример решения

Решение получаем через калькулятор. Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.2 + 1*0.3 + 2*0.4 + 3*0.1 = 1.4
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 _ip_i — M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0.2 + 1 2 *0.3 + 2 2 *0.4 + 3 2 *0.1 — 1.4 2 = 0.84
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
sigma(x) = sqrt(D[X]) = sqrt(0.84) = 0.92

Задание 2. Дан закон распределения случайной величины X в виде таблицы: в первой строке таблицы указаны возможные значения случайной величины, во второй — соответствующие вероятности. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Скачать решение

Задание 3. Задана дискретная случайная величина Х. Найти: а) математическое ожидание М(х); б) дисперсию D(x); в) среднее квадратическое отклонение б(х).
Скачать решение:xls

Пример 1. Случайная величина X задана рядом распределения:

xi	0	1	2	3	4
pi	0.5	0.3	0.15	0.03	0.02

Вычислить математическое ожидание случайной величины m_X, дисперсию D[x], среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения F(x). Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение больше 0, но меньше 3.
Скачать решение:xls
Рекомендации. Для проверки решения можно воспользоваться этим сервисом.

Пример 2. Задан закон распределения дискретной случайной величины X . Найти неизвестную вероятность p , математическое ожидание M , Дисперсию D и среднее квадратическое отклонение. Функцию распределения F(X) и построить ее график.
Рекомендации. Чтобы найти неизвестную вероятность p , достаточно из 1 вычесть все вероятности: p = 1 — ∑p_i
Скачать решение:xls

Задание. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. см. также другие примеры.

Независимые случайные величины. Операции над случайными величинами.

Две случайные величины $X$ и $Y$ называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не изменяется от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. То есть, для любых $x$ и $y$ события $X=x$ и $Y=y$ являются независимыми. Поскольку события $X=x$ и $Y=y$ независимые, то по теореме произведения вероятностей независимых событий $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

Пример 1. Пусть случайная величина $X$ выражает денежный выигрыш по билетам одной лотереи «Русское лото», а случайная величина $Y$ выражает денежный выигрыш по билетам другой лотереи «Золотой ключ». Очевидно, что случайные величины $X,\ Y$ будут независимыми, так как выигрыш по билетам одной лотереи не зависит от закона распределения выигрышей по билетам другой лотереи. В том случае, когда случайные величины $X,\ Y$ выражали бы выигрыш по одной и той же лотереи, то, очевидно, данные случайные величины были бы зависимыми.

Пример 2. Двое рабочих трудятся в разных цехах и изготавливают различные изделия, несвязанные между собой технологиями изготовления и используемым сырьем. Закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, имеет следующий вид:

$\begin<|c|c|>
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ x & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end$

Число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену, подчиняется следующими закону распределения.

$\begin<|c|c|>
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ y & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end$

Найдем закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену.

Пусть случайная величина $X$ — число бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, а $Y$ — число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену. По условию, случайные величины $X,\ Y$ независимы.

Число бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену, есть случайная величина $X+Y$. Ее возможные значения равны $0,\ 1$ и $2$. Найдем вероятности, с которыми случайная величина $X+Y$ принимает свои значения.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,7=0,56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ или\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7=0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right)=0,2\cdot 0,3=0,06.$

Тогда закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену:

$\begin<|c|c|>
\hline
Число \ бракованных \ изделий & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Вероятность & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end$

В предыдущем примере мы выполняли операцию над случайными величинами $X,\ Y$, а именно находили их сумму $X+Y$. Дадим теперь более строгое определение операций (сложение, разность, умножение) над случайными величинами и приведем примеры решений.

Определение 1. Произведением $kX$ случайной величины $X$ на постоянную величину $k$ называется случайная величина, которая принимает значения $kx_i$ с теми же вероятностями $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\right)$.

Определение 2. Суммой (разностью или произведением) случайных величин $X$ и $Y$ называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ или $x_i\cdot y_i$), где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$:

Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.

Пример 3. Независимые случайные величины $X,\ Y$ заданы своими законами распределения вероятностей.

Составим закон распределения случайной величины $Z=2X+Y$. Суммой случайных величин $X$ и $Y$, то есть $X+Y$, называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$, где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$: $p_=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right]$. Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.

Итак, имеет законы распределения случайных величины $2X$ и $Y$ соответственно.

Для удобства нахождения всех значений суммы $Z=2X+Y$ и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения суммы $Z=2X+Y$, а в правом углу — вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин $2X$ и $Y$.