Квантовые постулаты Бора
Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, – это попытка применения классических представлений о движении тел к явлениям атомных масштабов. Она оказалась несостоятельной. Классический атом неустойчив. Электроны, движущиеся по орбите с ускорением, должны неизбежно упасть на ядро, растратив всю энергию на излучение электромагнитных волн (рис. 6.2.1).
Неустойчивость классического атома
Следующий шаг в развитии представлений об устройстве атома в 1913 году сделал выдающийся датский физик Н. Бор. Проанализировав всю совокупность опытных фактов, Бор пришел к выводу, что при описании поведения атомных систем следует отказаться от многих представлений классической физики. Он сформулировал постулаты, которым должна удовлетворять новая теория о строении атомов.
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) гласит: атомная система может находится только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия En. В стационарных состояниях атом не излучает.
Этот постулат находится в явном противоречии с классической механикой, согласно которой энергия движущегося электрона может быть любой. Он находится в противоречии и с электродинамикой, так как допускает возможность ускоренного движения электронов без излучения электромагнитных волн. Согласно первому постулату Бора, атом характеризуется системой энергетических уровней, каждый из которых соответствует определенному стационарному состоянию (рис. 6.2.2). Механическая энергия электрона, движущегося по замкнутой траектории вокруг положительно заряженного ядра, отрицательна. Поэтому всем стационарным состояниям соответствуют значения энергии En < 0. При En ≥ 0 электрон удаляется от ядра, т. е. происходит ионизация. Величина |E1| называется энергией ионизации. Состояние с энергией E1 называется основным состоянием атома.
Энергетические уровни атома и условное изображение процессов поглощения и испускания фотонов
Второй постулат Бора (правило частот) формулируется следующим образом: при переходе атома из одного стационарного состояния с энергией En в другое стационарное состояние с энергией Em излучается или поглощается квант, энергия которого равна разности энергий стационарных состояний:
где h – постоянная Планка. Отсюда можно выразить частоту излучения:
Второй постулат Бора также противоречит электродинамике Максвелла, так как частота излучения определяется только изменением энергии атома и никак не зависит от характера движения электрона.
Теория Бора при описании поведения атомных систем не отвергла полностью законы классической физики. В ней сохранились представления об орбитальном движении электронов в кулоновском поле ядра. Классическая ядерная модель атома Резерфорда в теории Бора была дополнена идеей о квантовании электронных орбит. Поэтому теорию Бора иногда называют полу-классической.
Известно что атомы неизвестного газа могут находиться в двух стационарных состояниях с энергией em
Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, – это попытка применения классических представлений о движении тел к явлениям атомных масштабов. Она оказалась несостоятельной. Классический атом неустойчив. Электроны, движущиеся по орбите с ускорением, должны неизбежно упасть на ядро, растратив всю энергию на излучение электромагнитных волн (рис. 6.2.1).
Следующий шаг в развитии представлений об устройстве атома в 1913 году сделал выдающийся датский физик Н. Бор. Проанализировав всю совокупность опытных фактов, Бор пришел к выводу, что при описании поведения атомных систем следует отказаться от многих представлений классической физики. Он сформулировал постулаты, которым должна удовлетворять новая теория о строении атомов.
Первый постулат Бора ( постулат стационарных состояний ) гласит: атомная система может находится только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия . В стационарных состояниях атом не излучает.
Этот постулат находится в явном противоречии с классической механикой, согласно которой энергия движущегося электрона может быть любой. Он находится в противоречии и с электродинамикой, так как допускает возможность ускоренного движения электронов без излучения электромагнитных волн. Согласно первому постулату Бора, атом характеризуется системой энергетических уровней , каждый из которых соответствует определенному стационарному состоянию (рис. 6.2.2). Механическая энергия электрона, движущегося по замкнутой траектории вокруг положительно заряженного ядра, отрицательна. Поэтому всем стационарным состояниям соответствуют значения энергии . При электрон удаляется от ядра, т. е. происходит ионизация. Величина называется энергией ионизации . Состояние с энергией называется основным состоянием атома.
Второй постулат Бора ( правило частот ) формулируется следующим образом: при переходе атома из одного стационарного состояния с энергией в другое стационарное состояние с энергией излучается или поглощается квант, энергия которого равна разности энергий стационарных состояний:
где – постоянная Планка. Отсюда можно выразить частоту излучения:
Второй постулат Бора также противоречит электродинамике Максвелла, так как частота излучения определяется только изменением энергии атома и никак не зависит от характера движения электрона.
Теория Бора при описании поведения атомных систем не отвергла полностью законы классической физики. В ней сохранились представления об орбитальном движении электронов в кулоновском поле ядра. Классическая ядерная модель атома Резерфорда в теории Бора была дополнена идеей о квантовании электронных орбит. Поэтому теорию Бора иногда называют полуклассической .
Определение количества молекул в определенных условиях на поверхности Земли , страница 3
4.33 Найти свободную энергию, энтропию, внутреннюю энергию и теплоемкость системы из N неподвижных частиц, каждая из которых может находиться в двух состояниях с энергиями ε 1 и ε 2 и кратностями вырождения g1 и g2, соответственно.
4.34 Состоящий из N частиц со спином 1/2 идеальный газ помещается в однородное магнитное поле с индукцией B. Найти добавочную теплоёмкость, обусловленную взаимодействием частиц с магнитным полем.
4.35 Газ из N невзаимодействующих частиц со спином 1/2 находится в сосуде объемом 2V. В одной половине сосуда создано однородное магнитное поле с индукцией B. В другой половине магнитного поля нет. Найти среднюю энергию системы при температуре T.
4.36 N молекул идеального газа находятся в сосуде, объемом V при температуре T. Внутренняя энергия каждой частицы может принимать одно из значений: или ε, или 0. Найти внутреннюю энергию газа при температуре T.
4.37 Квантовая система из N неподвижных двухуровневых частиц с энергиями уровней 0 и ε имеет при kT << ε следующее значение средней энергии <E> =3N εEXP(−ε /kt).Чему равно вырождение верхнего уровня, если нижний вырожден двукратно?
4.38 N частиц одноатомного идеального газа находятся в объеме V при температуреT. Энергия внутреннего состояния каждой из частиц либо 0, либо ε. Найти свободную энергию, теплоемкость и химпотенциал газа.
4.39 Система из двух невзаимодействующих частиц находится в термостате при температуре T. Каждая из частиц может иметь только два значения энергии: 0 и ε. Основное состояние первой частицы и возбужденное состояние второй вырождены и имеют одинаковую и очень большую кратность вырождения g >> 1. Остальные состояния невырождены. Найти среднюю энергию системы и ее предельное значение при T >> ε/k.
4.40 Квантовая система из N слабо взаимодействующих двухуровневых частиц с разностью энергий между уровнями ε и нулевой энергией нижнего уровня имеет при температурах, много больших характеристической (T >> ε /k), среднююэнергию 5 ε N/7. Определить вырождение верхнего уровня, если известно, что вырождение основного уровня равно двум.
4.41 Найти энтропию N частиц, каждая из которых может находиться в двух невырожденных состояниях с энергией −ε и ε, при условии: а) kT >> ε; б) kT << ε.
4.42 Квантовая система состоит из N слабо взаимодействующих частиц. Укаждой частицы имеются три уровня энергии 0, ε, 2 ε. При высоких температурах средняя энергия системы равна 5Nε/4. Определить степень вырождения верхнего уровня, если известно, что два нижних уровня невырождены?
4.43 Система состоит из частиц с тремя уровнями энергии 0, ε, 2ε. Основное состояние невырождено. Второй уровень вырожден двукратно. При некоторой температуре оказалось, что заселенности всех трех уровней одинаковы. Какова эта температура и кратность вырождения верхнего уровня?
4.44 Трехуровневая система имеет невырожденные энергетические уровни −ε, 0, ε. Вычислить теплоемкость системы.
4.45 Макроскопическая система состоит из частиц, имеющих три невырожденных состояния с энергиями −ε, 0, ε. Найти вклад внутренних состояний в среднюю энергию системы и её теплоемкость в двух предельных случаях: а) kT << ε и б) kT >> ε.
4.46 Система из N невзаимодействующих частиц со спином s = 1 помещена в однородное магнитное поле с индукцией B. Гамильтониан взаимодействия спина с магнитным полем имеет вид. Найти энтропию и энергию системы.
4.47 Найти дополнительную внутреннюю энергию и теплоемкость газа N триплетных молекул, при их взаимодействии с магнитным полем с индукцией B, при достаточно высоких температурах, когда yħB<<kT.
4.48 Найти среднюю энергию спина s = 3/2 в магнитном поле с индукцией Bпри температуре T.