Из того что корреляционный момент для двух случайных величин х и y равен нулю следует

2. Корреляционный момент, коэффициент корреляции

Для описания системы двух случайных величин, кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих пользуются и другими характеристиками, к числу которых относятся корреляционный моментикоэффициент корреляции(кратко было упомянуто в конце Т.8.п.8.6).

Корреляционным моментом (иликовариацией, или моментом связи) двух случайных величинX иY называется м. о. произведения отклонений этих величин (см. равенство (5) п. 8.6):

(7) .

Следствие 1. Для корреляционного момента с.в. X иYтакже справедливы равенства:

,

где соответствующие централизованные с.в.X иY (см. п.8.6.).

При этом: если — двумерная д.с.в., то ковариация вычисляется по формуле

(8) ;

если — двумерная н.с.в., то ковариация вычисляется по формуле

(9)

Формулы (8) и (9) получены на основании формул (6) п.12.1. Имеет место вычислительная формула

(10)

которая выводится из определения (9) и на основании свойств м.о., действительно,

.

Следовательно, формул (36) и (37) можно переписать в виде

(11) ;

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X иY.

Как будет показано ниже, корреляционный момент равен нулю, если XиY являются независимыми;

Следовательно, если корреляционный момент не равен нулю, то X и Y – зависимые случайные величины.

Теорема12.1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X иY равен нулю, т.е. для независимых с.в. X иY,

Доказательство.Так какX иYнезависимые случайные величины, то их отклонения

и

также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых с. в. равно произведению математических ожиданий сомножителей,, поэтому

/>.

Замечание. Из этой теоремы следует, что если то с.в. X иY зависимы и в таких случаях с.в. X иYназываюткоррелированными. Однако из того, что не следует независимость с.в.X иY.

В этом случае (с.в.X иYназываютнекоррелированными, тем самым из независимости вытекаетнекоррелированность; обратное утверждение, вообще говоря, неверно (см. далее пример 2.)

Рассмотрим основные свойства корреляционного момента.

Cвойства ковариации:

1.Ковариация симметрична, т.е. .

Непосредственно следует из формулы (38).

2. Имеют место равенства:т.е. дисперсия с.в. является ковариацией её с самой собой.

Эти равенства прямо следуют из определения дисперсии и равенство (38) соответственно при

3. Справедливы равенства:

Эти равенства выводятся из определения дисперсии, ковариации с.в.и, свойств 2.

По определению дисперсии (с учётом централизованности с.в. ) мы имеем

теперь, на основании (33) и свойств 2 и 3, получим первое (со знаком плюс) свойство 3.

Аналогично, вторая часть свойства3, выводится из равенство

.

4. Пустьпостоянные числа,тогда справедливы равенства:

Обычно эти свойства называются свойствами однородностью первого порядка и периодичностью по аргументам.

Докажем первое равенство, при этом будем использовать свойства м.о. .

.

Теорема 12.2. Абсолютное значение корреляционного момента двух произвольных случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий: т.е.

(12)

Доказательство. Заметим, что для независимых с.в. неравенство выполняется (с.м. теорему 12.1.). Итак, пусть с.в.X и Y зависимые. Рассмотрим стандартные с.в.ии вычислим дисперсию с.в.с учётом свойства 3, имеем: с одной стороныС другой стороны

Следовательно, с учётом того, что и— нормированные (стандартизированные) с.в., то для них м.о. равна нулю, а дисперсия равна 1, поэтому, пользуясь свойством м.о.получим

а следовательно, на основании того, что получим

Отсюда следует, что т.е.

=

Из определения и свойства ковариации следует, что она характеризует и степень зависимости с.в., и их рассеяния вокруг точки Размерность ковариации равна произведению размерностей случайных величинXиY. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величинXиY, величина корреляционного момента будет иметь различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины.

Пусть, например, X и Y были измерены в сантиметрах и ; если измерить XиY в миллиметрах, тоЭта особенность корреляционного момента и есть недостатком этой числовой характеристики, так как сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным.

Для того чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику- — «коэффициент корреляции».

Коэффициентом корреляции случайных величин иназывают отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

(13) .

Так как размерность равна произведению размерностей величин и,имеет размерность величиныσ_yимеет размерность величины, то есть просто число (т.е. «безразмерная величина»). Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения с.в., в этом состоитпреимуществокоэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

В Т.8. п.8.3 нами было введено понятие нормированной с.в., формула (18), и доказана теорема о том, чтои(см. там же теорема 8.2.). Здесь докажем следующее утверждение.

Теорема 12.3. Длялюбых двух случайных величин и справедливо равенство.Другими словами, коэффициент корреляции любых двух с.в.X иYравно корреляционному моменту их соответствующих нормированныхс.в.и .

Доказательство. По определению нормированных случайных величини

и.

Учитывая свойство математического ожидания: и равенство (40) получим

Рассмотрим некоторые часто встречающие свойства коэффициента корреляции.

Свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции по абсолютной величине непревосходит 1, т.е.

Это свойство прямо следует из формулы (41) — определения коффициента корреляции и теоремы 13.5. ( см. равенство (40)).

2. Если случайные величиныинезависимы, токоэффициент корреляции равен нулю, т.е. .

Это свойство является прямым следствием равенства (40) и теоремы 13.4.

Следующее свойство сформулируем в виде отдельной теоремы.

Теорема 12.4.

Если с.в. />имежду собой связаны линейной функциональной зависимостью, т.е.то при этом

и наоборот, если ,то с.в.и между собой связаны линейной функциональной зависимостью, т.е. существуют постоянныеи такие, что имеет место равенство

Доказательство. Пусть тогда на основании свойства 4 ковариации, имеем

и поскольку, , поэтому

Следовательно, . Равенство в одну сторону получено. Пусть далее,, тогда

следует рассматривать два случая:1) и 2)Итак, рассмотрим первый случай. Тогда по определениюи следовательно из равенства, где. В нашем случае, поэтому из равенства (см. доказательство теоремы 13.5.)

=,

получаем, что , значитпостоянна. Так каки поскольку, тодействительно,

.

.

Аналогично, показывается, что для имеет место (проверьте самостоятельно!)

,.

Некоторые выводы:

1. Если инезависимыес.в., то

2. Если с.в.имежду собой связаны линейно, то.

3. В остальных случаях :

В этом случае говорят, что с.в.исвязаны между собойположительной корреляцией, еслив случаях жеотрицательной корреляцией. Чем ближек единице, тем больше оснований считать, чтос.в.исвязаны линейной зависимостью.

Отметим, что корреляционные моменты и дисперсии системы с.в. обычно задаются корреляционной матрицей:

.

Очевидно, что определитель корреляционной матрицы удовлетворяет:

.

Как уже было отмечено, если две случайные величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так инекоррелированными.Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может бытьне равен нулю, но может иравняться нулю.

Тест с ответами по теории вероятности

1.Указать верное определение.Суммой двух событий называется:

а ) Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновменно;

б ) Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или оба вместе;+

в ) Новое событие, состоящее в том, что происходит одно но не происходит другое.

1. Указать верное определение.Произведением двух событий называется:

а ) Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновременно;+

б ) Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или оба вместе;

в ) Новое событие, состоящее в том, что происходит одно но не происходит другое.

1. Указать верное определение.Вероятностью события называется:

а ) Произведение числа исходов, благоприятствующих появлению события на общее число исходов;

б ) Сумма числа исходов, благоприятствующих появлению события и общего числа исходов;

в ) Отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события к общему числу исходов;+

1. Указать верное утверждение. Вероятность невозможного события:

а ) больше нуля и меньше единицы;

в ) равна единице;

1. Указать верное утверждение. Вероятность достоверного события:

а ) больше нуля и меньше единицы;

в ) равна единице;+

1. Указать верное свойство. Вероятность случайного события:

а ) больше нуля и меньше единицы;+

в ) равна единице;

1. Указать правильное утверждение:

а ) Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий;

б ) Вероятность суммы независимых событий равна сумме вероятностей этих событий;

в ) Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий;+

1. Указать правильное утверждение:

а ) Вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий;

б ) Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий;+

в ) Вероятность произведения несовместных событий равна произведению вероятностей этих событий;

1. Указать верное определение.Событие это:

а ) Элементарный исход;

б ) Пространство элементарных исходов;

в ) Подмножество множества элементарных исходов.+

1. Указать правильный ответ. Какие события называются гипотезами?.

а ) любые попарно несовместные события;

б ) попарно несовместные события, объединение которых образует достоверное событие;+

в ) пространство элементарных событий.

1. Указать правильный ответ Формулы Байеса определяют:

а ) априорную вероятность гипотезы,

б ) апостериорную вероятность гипотезы,

в ) вероятность гипотезы.+

1. Указать верное свойство. Функция распределения случайной величины Х является:

а) невозрастающей; б) неубывающей; +в) произвольного вида.

1. Указать верное свойство. Равенство справедливо для случайных величин:

а) независимых+; б) зависимых; в) всех.

1. Указать верное свойство. Равенство справедливо для случайных величин:

а) независимых;+ б) зависимых; в) всех.

1. Указать правильное заключение.Из того, что корреляционный момент для двух случайных величин Х и Y равен нулю следует:

а) отсутствует функциональная зависимость между Х и Y;

б) величины Х и Y независимы;+

в) отсутствует линейная корреляция между Х и Y;

1. Указать правильный ответ. Дискретную случайную величину задают:

а) указывая её вероятности;

б) указывая её закон распределения;+

в) поставив каждому элементарному исходу в соответствие

1. Указать верное определение. Математическое ожидание случайной величины — это:

а) начальный момент первого порядка;+

б) центральный момент первого порядка;

в) произвольный момент первого порядка.

1. Указать верное определение. Дисперсия случайной величины- это:

а) начальный момент второго порядка;

б) центральный момент второго порядка;+

в) произвольный момент второго порядка.

1. Указать верную формулу. Формула для вычисления среднего квадратического отклонения случайной величины:

1. Указать верное определение. Мода распределения –это:

а) значение случайной величины при котором вероятность равняется 0,5;

б) значение случайной величины при котором либо вероятность, либо функция плотности достигают максимального значения ;+

в) значение случайной величины при котором вероятность равняется 0.

1. Указать верную формулу. Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

1. Указатьвернуюформулу. Плотность нормального распределения случайной величины определяется по формуле:

1. Указать правильный ответ Математическое ожидание случайной величины распределенной по нормальному закону распределения , равно:

1. Указать правильный ответ. Математическое ожидание случайной величины распределенной по показательному закону распределения , равно:

1. Указать правильный ответ.Дисперсия случайной величины распределенной по показательному закону распределения , равна:

1. Указатьвернуюформулу. Для равномерного распределения математическое ожидание определяется по формуле :

1. Указать верную формулу. Для равномерного распределения дисперсия определяется по формуле :

1. Указать неверное утверждение. Свойства выборочной дисперсии:

а) если все варианты увеличить в одно и тоже число раз, то и дисперсия увеличится в такое же число раз.

б) дисперсия постоянной равняется нулю.

в) если все варианты увеличить на одно и тоже число, то выборочная дисперсия не изменится.+

1. Указать верное утверждение. Оценкой параметров называют:

а) Представление наблюдений в качестве независимых случайных величин имеющих один и тот же закон распределения.

б) совокупность результатов наблюдений;

в) всякую функцию результатов наблюдения.+

1. Указать верное утверждение. Оценки параметров распределений обладают свойством:

1. Указать неверное утверждение.

а) Метод максимального правдоподобия используется для получения оценок;

б) Выборочная дисперсия является смещенной оценкой для дисперсии;

в) В качестве статистических оценок параметров используются несмещённые, несостоятельные, эффективные оценки.+

1. Указать неверное утверждение. Для функции распределения двумерной случайной величины справедливы свойства:

1. Указатьневерноеутверждение:

а) По многомерной функции распределения всегда можно найти одномерные (маргинальные) распределения отдельных компонент.

б) По одномерным (маргинальным) распределениям отдельных компонент всегда можно найти многомерную функцию распределения.

в) По многомерной функции плотности всегда можно найти одномерные (маргинальные) плотности распределения отдельных компонент.

1. Указать правильное утверждение. Дисперсия разности двух случайных величин определяется по формуле:

1. Указать неверное утверждение. Формула вычисления совместной плотности :

1. Указать неверное утверждение. Случайные величины X и Y называются независимыми, если:

а) Закон распределения случайной величины X не зависит от того, какое значение приняла случайная величина Y.

в) коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y равен нулю.

1. Указать правильный ответ. Формула является:

а) аналогом формулы Байеса для непрерывных случайных величин;

б) аналогом формулы полной вероятности для непрерывных случайных величин;+

в) аналогом формулы произведения вероятностей независимых событий для непрерывных случайных величин.

1. Указать неверное определение:

а) Начальным моментом порядка двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения на , т.е.

б) Центральным моментом порядка двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения центрированных на , т.е.)

в) Корреляционным моментом двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения на , т.е. +

1. Указать правильный ответ. Дисперсия случайной величины распределенной по нормальному закону распределения , равна:

1. Указатьневерноеутверждение. Простейшими задачами математической статистики являются:

а) выборка и группировка статистических данных, полученных в результате эксперимента;

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МОМЕНТЫ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Корреляционные моменты, коэффициент корреляции — это числовые характеристики, тесно связанные во введенным выше понятием случайной величины, а точнее с системой случайных величин. Поэтому для введения и определения их значения и роли необходимо пояснить понятие системы случайных величин и некоторые свойства присущие им.

Два или более случайные величины, описывающих некоторое явление называют системой или комплексом случайных величин.

Систему нескольких случайных величин X, Y, Z, …, W принято обозначать через (X, Y, Z, …, W).

Например, точка на плоскости описывается не одной координатой, а двумя, а в пространстве — даже тремя.

Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных случайных величин, входящих в систему, а включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинами. Поэтому при изучении системы случайных величин следует обращать внимание на характер и степень зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или менее тесной. А в других случаях случайные величины оказаться практически независимыми.

Случайная величина Y называется независимой от случайной величины Х, если закон распределения случайной величины Y не зависит от того какое значение приняла величина Х.

Следует отметить, что зависимость и независимость случайных величин есть всегда явление взаимное: если Y не зависит от Х, то и величина Х не зависит от Y. Учитывая это, можно привести следующее определение независимости случайных величин.

Случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины Х и Y называются зависимыми.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Понятие «зависимости» случайных величин, которым пользуются в теории вероятностей, несколько отличается от обычного понятия «зависимости» величин, которым пользуются в математике. Так, математик под «зависимостью» подразумевает только один тип зависимости — полную, жесткую, так называемую функциональную зависимость. Две величины Х и Y называются функционально зависимыми, если, зная значение одного из них, можно точно определить значение другой.

В теории вероятностей встречаются несколько с иным типом зависимости — вероятностной зависимостью. Если величина Y связана с величиной Х вероятностной зависимостью, то, зная значение Х, нельзя точно указать значение Y, а можно указать её закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина Х.

Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной; по мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все более приближается к функциональной. Т.о., функциональную зависимость можно рассматривать как крайний, предельный случай наиболее тесной вероятностной зависимости. Другой крайний случай — полная независимость случайных величин. Между этими двумя крайними случаями лежат все градации вероятностной зависимости — от самой сильной до самой слабой.

Вероятностная зависимость между случайными величинами часто встречается на практике. Если случайные величины Х и Y находятся в вероятностной зависимости, то это не означает, что с изменением величины Х величина Y изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины Х величина Y

имеет тенденцию также изменяться (возрастать или убывать при возрастании Х). Эта тенденция соблюдается лишь в общих чертах, а в каждом отдельном случае возможны отступления от неё.

Примеры вероятностной зависимости.

Выберем наугад одного больного с перитонитом . случайная величина Т — время от начала заболевания, случайная величина О — уровень гомеостатических нарушений. Между этими величинами имеется явная зависимость, так как величина Т является одной из наиболее главных причин, определяющих величину О.

В то же время между случайной величиной Т и случайной величиной М, отражающей летальность при данной патологии, имеется более слабая вероятностная зависимость, так как случайная величина хоть и влияет на случайную величину О, однако не является главной определяющей.

Тем более, если рассматривать величину Т и величину В (возраст хирурга), то данные величины практически независимы.

До сих пор мы обсуждали свойства систем случайных величин, давая только словесное разъяснение. Однако существуют числовые характеристики, посредством которых исследуются свойства как отдельных случайных величин, так и системы случайных величин.

Одной из важнейших характеристик случайной величины нормального распределения является математическое ожидание.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, имеющую возможные значения Х 1, Х2, . , Хn с вероятностями р1, р2, . , рn. нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные значения. Для этой цели обычно пользуются так называемым «средним взвешенным» из значений Хi, причем каждое значение Хi при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, если обозначить «среднее взвешенное» через М[X] или mx, получим

или, учитывая, что ,

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Для большей наглядности рассмотрим одну механическую интерпретацию введенного понятия. Пусть на оси абсцисс расположены точки с абсциссами х 1, х2, …, хn, в которых сосредоточены соответственно массы р1, р2, … , рn, причем . Тогда математическое ожидание есть не что иное, как абсцисса центра тяжести данной системы материальных точек.

Формула (1) для математического ожидания соответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной величины Х математическое ожидание, естественно, выражается не суммой, а интегралом:

где — плотность распределения величины Х.

Формула (2) получается из формулы (1), если в ней заменить отдельные значения Хi непрерывно изменяющимся параметром Х, соответствующие вероятности рi элементом вероятности f(x)dx, конечную сумму — интегралом.

В механической интерпретации математическое ожидание непрерывной случайной величины сохраняет тот же смысл — абсциссы центра тяжести в случае, когда масса распределения по оси абсцисс непрерывна с плотностью f(x).

Следует отметить, что математическое ожидание существует не для всех случайных величин, что, однако, по мнению некоторых ученых, не представляет для практики существенного интереса.

Помимо математического ожидания важное значение имеют также другие числовые случайной величины — моменты.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс ( статистические моменты, моменты инерции и т.д.). Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины Х называется сумма вида

Очевидно это определение совпадает с определением начального момента порядка s в механике, если на оси абсцисс в точках х 1, …, хn сосредоточена масса р1, …, рn.

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл

т.е. начальный момент s-го порядка случайной величины Х есть не что иное, как математическое ожидание s-ой степени этой случайной величины.

Перед тем как дать определение центрального момента введем понятие «центрированной случайной величины».

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m x. Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от её математического ожидания

Нетрудно видеть, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.

Центрирование случайной величины равносильно переносу начала координат в точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-ой степени соответствующей центрированной случайной величины:

Для прерывной случайной величины s-й центральный момент выражается суммой

а для непрерывной — интегралом

Важнейшее значение имеет второй центральный момент, который называют дисперсией и обозначают D[X]. Для дисперсии имеем

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».

Механической интерпретацией дисперсии является не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести.

На практике часто применяется также величина

называемая средним квадратичным отклонением (иначе — «стандартом») случайной величины Х.

Теперь перейдем к рассмотрению характеристик систем случайных величин.

Начальным моментом порядка k,s системы (Х, Y) называется математическое ожидание произведения X k и Y s ,

xk,s=M[X k Y s ].

Центральным моментом порядка k,s системы (Х, Y) называется математическое ожидание произведения k-ой и s-ой степени соответствующих центрированных величин:

Для прерывных случайных величин

где р ij — вероятность того , что система (Х, Y) примем значения (xi, yj), а сумма рассматривается по всем возможным значениям случайных величин X,Y.

Для непрерывных случайных величин

где f(x,y) — плотность распределения системы.

Помимо чисел k и s, характеризующих порядок момента по отношению к отдельным величинам, рассматривается ещё суммарный порядок момента k+s, равный сумме показателей степеней при Х и Y. Соответственно суммарному порядку моменты классифицируют на первый, второй и т.д. На практике обычно применяются только первые и вторые моменты.

Первые начальные моменты представляют собой математические ожидания величин Х и Y, входящих в систему

у1,0=mx у0,1=my.

Совокупность математических ожиданий m x , my представляет собой характеристику положения системы. Геометрически это координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание точки (Х, Y).

Важную роль на практике играют также вторые центральные моменты систем. Два из них представляют собой дисперсии величин Х и Y

характеризующие рассеивание случайной точки в направлении осей Ox и Oy.

Особую роль играет второй смещенный центральный момент:

называемый корреляционным моментом (иначе — «моментом связи»)случайных величин Х и Y.

Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеивания величин Х и Y, еще и связь между ними. Для того, чтобы убедиться в этом отметим, что корреляционный момент независимых случайных величин равен нулю.

Заметим, что корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Поэтому для характеристики связи между величинами (Х;Y) в чистом виде переходят от момента K xy к характеристике

где уx, уy — средние квадратичные отклонения величин Х и Y. Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин Х и Y.

Из формулы (3) видно, что для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю, так как для таких величин kxy=0.

Случайные величины, для которых rxy=0, называют некоррелированными (несвязанными).

Отметим однако, что из некоррелированности случайных величин не следует их независимость.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону. Т.о., коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами.

Для определения коэффициента корреляции имеется несколько методов. Однако мы приведем пример с использованием коэффициента корреляции смешанных моментов Пирсона, где

с применением таблицы данных (в нашем примере относительного содержания Т-лимфоцитов в % и уровня IgG в г/л):