В партии, содержащей 5000 изделий, проверено 400. Среди них оказалось 300 изделий высшего сорта. Найти доверительный интервал
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Теория вероятностей и математическая статистика
Найдем вероятность обратного события: произведение числа очково превосходит 12, это возможно в случаях:
«на каждом кубике число очков превосходит 4 (то есть выпадает 4, 5, 6)». Найдем эту вероятность
в) произведение числа очков делится на 12. Это возможно в случае, если: выпадают 3 и 4 или выпадают 2 и 6. Найдем эту вероятность:
Ответ: P(a)=1, P(б)=3/4, Р(в)=1/9
Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно i=1,2,3,4. Для контроля наудачу берутся m изделий. Определить вероятность того, что среди них первосортных , , и второго, третьего и четвертого сорта соответственно (см. п. 2.1, 2.2 и исходные данные)
Для решения будем пользоваться «урновой схемой»:
в первом случае определим величины:
Расшифровка урновой схемы: из совокупности объектов N, где n объектов обладают каким-то свойством производится выборка объемом m. Найти вероятность того, что k выбранных изделий обладают этим свойством.
во втором случае определим величины:
в третьем случае определим величины:
в четвертом случае определим величины:
Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди них l выигрышных
Расшифровка урновой схемы: из совокупности объектов N, где n объектов обладают каким-то свойством производится выборка объемом m. Найти вероятность того, что k выбранных изделий обладают этим свойством.
В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n<k).
Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность что, что а) все вышли на разных этажах;
б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже
«Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна p, событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна:
(число комбинаций из n по k)
вероятность события а)
событие б) есть событие, обратное событию а) и его вероятность:
В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину l/k
Решение. Используем определение геометрической вероятности:
Пусть точка делит отрезок в отношении . ? есть геометрическая вероятность попадания точки в отрезок длиной ? (поскольку L равно 1). Событие: расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит 5/7 есть событие невозможное, поскольку данный отрезок имеет единичную длину. Вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит 5/7 равна 0.
Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от до . Одно из событий длится 10 мин, другое — t мин. Определить вероятность того, что:
- а) события «перекрываются» по времени;
- б) «не перекрываются» по времени.
Используем геометрическую вероятность.
вероятность того, что события перекрываются во времени:
вероятность того, что события не перекрываются во времени есть обратная вероятность от первого события:
Ответ: эта вероятность равна
В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны и
Так как фигуры не перекрываются, то вероятность посчитаем по формуле:
В двух партиях и % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
- а) хотя бы одно бракованное;
- б) два бракованных;
- в) одно доброкачественное и одно бракованное?
Вероятность того, что есть хотя бы одно бракованное изделие, есть обратная вероятность от того, что два изделия доброкачественные. Вероятности , того, что взятое наудачу изделия из первой и второй партии соответственно определяем по статистическому определению вероятности:
вероятность того, что оба изделия бракованны, определяем, как и прежде с помощью теоремы умножения независимых событий, то есть:
Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком , вторым . Первый сделал выстрелов, второй выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.
Решение. Воспользуемся формулой Бернулли, чтобы найти вероятность, что каждый стрелок ни разу не попал в мишень:
Вероятность того, что цель не поражена, есть произведение вероятностей независимых событий: «первый стрелок не попал в цель», «второй стрелок не попал в цель».
Ответ: вероятность того, что цель не поражена равна
Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадает герб. Первый бросок делает игрок А, второй — В, третий — А и т.д.
1. Найти вероятность указанного ниже события.
Варианты 18. Выиграл B до k-го броска.
Расшифровка событий: А бросает монету, выпадает решка, В бросает монету выпадает герб (вероятность расписана в первой сумме, далее аналогично, только А и В бросают монету, всякий раз выпадает решка кроме последнего броска, который делает В). Нечетное число раз из суммы должно быть исключено, тогда получается, что А в последний раз бросает монету. В вероятность не включаем число произведений равных шести, так как в задании указано найти вероятность до 6-го броска.
Урна содержит М занумерованных шаров с номерами от 1 до М. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
А — номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, . М;
B — хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
С — нет ни одного совпадания номера шара и порядкового номера извлечения. Определить вероятности событий А, В, С. Найти предельные значения вероятностей при М, стремящемся к бесконечности.
Решение. Так как число номеров равно числу шаров, то очевидно, что два шара не могут иметь один и тот же номер, шары извлекаются без возвращения, поэтому число вариантов всех перестановок равно М! Так как требуемая перестановка — одна, то по классическому определению вероятности, получим:
Хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения: Номер извлечения i и номер шара также i, и это событие происходит хотя бы один раз. Это событие, обратное событию С: ни разу не будет совпадения. Количество всех перестановок Последовательность 1,2,3. M наступает один раз, когда извлекаются все шары. Необходимо определить такое количество перестановок обратного события, когда в перестановке нет совпадения номера шара и номера извлечения. Это число равно
Предельные значения вероятностей событий А и С при неограниченном возрастании M равны 0
Предельные значения вероятностей события В при неограниченном возрастании M равна 1.
Из 1000 ламп принадлежит i-й партии, i=1,2,3 В первой партии , во второй партии , в третьей партии бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.
Решение: Выделим полную группу событий: пусть В1- событие «лампа принадлежит первой партии. В2,В3-события «лампа принадлежит второй (третьей) партиии соответственно.В1,В2,В3-образуют полную группу, так как они попарно несовместны и Р(В1+В2+В3)=1
Пусть событие А — «выбранная лампа — бракованная.». Применим формулу полной вероятности:
Определим вероятности гипотез:
Запишем условные вероятности события А, соответствующие событиям из полной группы (даны по условию):
В первой урне белых и черных шаров, во второй белых и черных. Из первой во вторую переложено K шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар — белый.
Решение: определим событие А — выбранный из второй урны шар белый. Определим события гипотезы:
— при перекладывании во вторую урну попался единственный черный шар из первой урны
— при перекладывании во вторую урну не попался единственный черный шар из первой урны. Вероятности гипотез определим из урновой схемы:
Расшифровка урновой схемы: из совокупности объектов N=21, где n=20 объектов обладают каким-то свойством производится выборка объемом m=15. Найти вероятность того, что k=15 выбранных изделий обладают этим свойством.
Определим условные вероятности, того, что из второй урны возьмут белый шар при условии того, что произойдут события и
В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого наудачу извлекается m марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.
Решение. Определим событие А — все марки, извлеченные из альбома во второй раз — чистые. Определим гипотезы:
— извлечены две гашеные марки
— извлечены две чистые марки
— извлечены одна гашеная и одна чистая марка.
Вероятности гипотез определим по формуле умножения вероятностей зависимых событий:
Определим условные вероятности события А:
если были подвергнуты гашению уже гашеные марки, то соотношение гашеных и негашеных марок в альбоме не изменится.
если были вытащены две чистые марки, и подвергнуты гашению, то после возвращения в альбом не останется ни одной чистой марки.
если были извлечены одна чистая и одна гашеная марка, то число гашеных марок после возвращения в альбом увеличится на 1. 6 марок гашеных. Вытащить после этого 2 чистые марки невозможно.
В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет изделий (i=1,2,3). Среди изделий i-го завода первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом.
Решение. Пусть событие А — куплено первосортное изделие. Определим гипотезы:
— изделие выпущено первым заводом
— изделие выпущено вторым заводом
— изделие выпущено третьим заводом
В результате испытания появилось событие А. Переопределим вероятность первой гипотезы по формуле Байеса:
В результате испытания вероятность гипотезы переопределилась с на .
Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадает n раз. Определить вероятность того, что цифра выпадает m раз.
Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность
Решение. Воспользуемся формулой наивероятнейшего числа появлений события в серии из N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р:
Наивероятнейшее число событий равно 7 и 8. Найдем соответствующую вероятность по формуле Бернулли:
На каждый лотерейный билет с вероятностью может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью — мелкий выигрыш и с вероятностью билет может оказаться без выигрыша . Куплено n билетов. Определить вероятность получения крупных выигрышей и мелких
Применим формулу Бернулли для нахождения вероятности получения 3 крупных выигрышей:
Так как события: получение крупного и мелкого выигрыша несовместны, можем сложить полученные вероятности.
Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m сбоев.
Решение. Здесь число n и k достаточно велики, потому воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближённо равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:
Определим значения переменных:
Где значения функции приведены в таблице значений Приложения 1
Функция является четной: , поэтому
Определяем по таблице.
Вероятность события равна
Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна p. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:
лаплас бернулли вероятность интегральный
Приведем интегральную теорему Лапласа для решения этой задачи.
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу
Для интегральной функции Лапласа составлены таблицы значений.
Функция нечетна: , то есть
Дана плотность распределения p(x) случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .
Функцию плотности распределения найдем из следующего свойства: несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b] называют несобственный интеграл:
Дисперсией непрерывной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата её отклонения. Формула для вычисления дисперсии:
Найдем вероятность . Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a,b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:
Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид . Найти ?, математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .
Данное распределение есть нормальное распределение с параметрами:
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал есть разность:
Ответ: вероятность попадания в заданный интервал равна
На отрезке [0,] случайным образом выбраны n чисел, точнее, рассматриваются n независимых случайных величин равномерно распределенных на отрезке [0,]. Найти вероятность того, что их сумма заключена между и , то есть
Плотность распределения каждой из этих величин:
Найдем математическое ожидание по формуле:
математическое ожидание суммы независимых случайных величин есть
где С — число, ограничивающее дисперсию.
Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона , неизвестным является параметр а. Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборки значение оценки а неизвестного параметра а.
Методом максимального правдоподобия
Составим функцию правдоподобия
Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:
Найдем первую производную по a
Напишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю
Найдем критическую точку, для чего решим полученное уравнение относительно а
Найдем вторую производную по ?
Легко видеть, что при вторая производная отрицательна; следовательно точка максимума, и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра а распределения Пуассона надо принять выборочную среднюю
Известно, что случайная величина имеет биномиальное распределение
неизвестным параметром является параметр p. Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборки значение оценки p неизвестного параметра p методом моментов.
Приравняем начальные теоретические и эмпирические моменты первого порядка, а также центральные и эмпирические моменты второго порядка
Приняв во внимание, что математическое ожидание биномиального распределения равна
Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и известной дисперсией . По выборке объема n . Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения а, отвечающего заданной вероятности Р.
Интервальной оценкой (с вероятностью ) математического ожидания а нормально распределенного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал
где t — аргумент функции Лапласа, при котором интегральная функция принимает значение
Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестными математическим ожиданием а и дисперсией . По выборке объема n вычислены оценки
неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожидания а, отвечающий доверительной вероятности Р.
Решение. Запишем доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а с надежностью . Укажем доверительные границы:
— параметр распределения Стьюдента по заданным n и ?
Ответ: параметр а находится в границах от до .
В результате n опытов получена несмещенная оценка для дисперсии нормальной случайной величины. Найти доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности Р.
Решение. Доверительный интервал, покрывающий параметр с заданной надежностью
где q — находим по таблице Приложения 4 (Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»)
В серии из n выстрелов по мишени наблюдалось m попаданий. Найти доверительный интервал для вероятности p попадания в мишень при доверительной вероятности P=0.95
Решение. Найдена относительная частота появления события:
Границы доверительного интервала:
В серии из n опытов события А не наступило ни разу. Определить число опытов n, при котором верхняя доверительная граница для вероятности P(A) равна заданному числу. Доверительную вероятность принять равной 0,95.
Решение задач про выбор деталей
В ящике находится $K$ стандартных и $N-K$ бракованных деталей (всего $N$ деталей). Наудачу и без возвращения вынимают $n$ деталей. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ стандартных и $n-k$ бракованных деталей.
*Поясню, что значит «примерно»: вместо деталей могут фигурировать изделия, болты, телевизоры и т.п.; детали могут быть стандартными и бракованными, или годными и дефектными, или обычными и поломанными и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно «стандартными», второй — «бракованными» и используете формулу для решения, которую мы выведем ниже.
Сначала найдем общее число исходов — это число всех различных способов выбрать любые $n$ деталей из общего множества в $N$ деталей (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).
Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ стандартных деталей из $K$ возможных — это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ бракованных деталей из $N-K$ возможных — $C_
Применяя классическое определение вероятности — поделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов, придем к искомой формуле:
Видеоурок и шаблон Excel
Посмотрите наш ролик о решении задач про детали в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.
Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.
Примеры решений задач о выборе деталей/изделий
Пример 1. В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?
Популярная задача из методички, в которой меняются только цифры, а вариантов множество. С помощью данного решения и калькулятора ниже для числовых расчетов, вы легко получите полное решение задачи. Для разнообразия сделаем подробное пояснение.
Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе объектов из совокупности, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.
Сначала найдем общее число исходов — это число способов выбрать любые 4 изделия из партии в 12 изделий. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 12 объектов по 4: $n=C_<12>^4$.
Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы из 4 выбранных изделий 2 были дефектные (выбираем любые 2 дефектные изделия из 5 $C_5^2$ способами) и еще 2 — стандартные (выбираем любые 2 стандартные изделия из 12-5=7 имеющихся в партии $C_7^2$ способами). Тогда всего способов выбрать 2 дефектных и 2 обычных изделия из партии будет $m = C_5^2 \cdot C_7^2$.
Нужная вероятность равна:
Пример 2. В ящике 16 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 4 стандартных детали.
Подставляем в формулу (1) значения: $K=16$ стандартных деталей, $N-K=7$ бракованных деталей, итого $N=16+7=23$ всего деталей в ящике. Из ящика извлекают $n=6$ деталей, из них должно быть $k=4$ стандартных и соответственно, $n-k=6-4=2$ бракованные. Получаем нужную вероятность:
Пример 3. В партии из 12 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых есть хотя бы одно нестандартное.
Эта задача самую малость сложнее предыдущих. В ней помимо исходного события
$A = $ (Среди 3 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное),
введем еще противоположное ему событие, которое можно записать как
$\overline = $ (Все три выбранные изделия стандартные).
Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы одно нестандартное изделие из 3), равна:
Пример 4. Мастер для замены получил 8 однотипных деталей, из которых 3 бракованные. Он заменил 2 детали. Найти вероятность того, что замененными оказались годные детали.
Подставляем в формулу (1) значения: $K=8-3=5$ годных деталей, $N-K=3$ бракованных, $N=8$ всего деталей у мастера. Выбираем для замены $n=2$ детали, и обе они должны оказаться годными, то есть: $k=2$, $n-k=0$. Приходим к ответу: