Докажите что прямая проходящая через середины

Докажите что прямая проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника является его осью симметрии

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.

Свойства равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 4.4. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника

Признаки равнобедренного треугольника.

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Замечательное свойство трапеции

Существует несколько способов доказательства этого свойства. Надо доказать, что четыре данные точки лежат на одной прямой. Прямую можно провести через любые две точки. Выбирают две любые точки из четырёх, проводят через них прямую и доказывают, что две другие точки также лежат на этой прямой.

Сформулируем это свойство иначе:

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

zamechatelnoe-svojstvo-trapecii Дано:

ABCD- трапеция, AD||BC,

Доказать: K- середина AD,

serediny-osnovanij-trapecii-i-tochka-peresecheniya-diagonalej Рассмотрим треугольники AOK и COP.

∠OAK=∠OCP (как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей AC).

Значит, треугольники AOK и COP подобны (по двум углам).

$\frac{{AK}}{{CP}} = \frac{{KO}}{{PO}}.$

Аналогично, треугольники DOK и BOP подобны и

$\frac{{DK}}{{BP}} = \frac{{KO}}{{PO}}.$

Так как правые части этих равенств равны, то левые также равны:

$\frac{{AK}}{{CP}} = \frac{{DK}}{{BP}}, \Rightarrow AK = \frac{{CP \cdot DK}}{{BP}},CP = \frac{{BP \cdot AK}}{{DK}}.$

serediny-osnovanij-trapecii-tochka-peresecheniya Рассмотрим треугольники AFK и BFP.

∠KAF=∠PBF (как соответственные при AD||BC и секущей AF).

Следовательно, треугольники AFK и BFP подобны (по двум углам).

$\frac{{AK}}{{BP}} = \frac{{FK}}{{FP}}.$

Аналогично, треугольники DFK и CFP подобны и

$\frac{{DK}}{{CP}} = \frac{{FK}}{{FP}}.$

Правые части равенств равны, приравниваем левые части:

$\frac{{AK}}{{BP}} = \frac{{DK}}{{CP}}, \Rightarrow AK = \frac{{BP \cdot DK}}{{CP}},CP = \frac{{BP \cdot DK}}{{AK}}.$

$AK = \frac{{CP \cdot DK}}{{BP}},AK = \frac{{BP \cdot DK}}{{CP}},$

$\frac{{CP \cdot DK}}{{BP}} = \frac{{BP \cdot DK}}{{CP}}\_\_\_\_\_\left| {:DK} \right.$

$\frac{{CP}}{{BP}} = \frac{{BP}}{{CP}}$

$CP^2 = BP^2 ,$

а значит, CP=BP, то есть P — середина BC.

$CP = \frac{{BP \cdot AK}}{{DK}},CP = \frac{{BP \cdot DK}}{{AK}},$

$\frac{{BP \cdot AK}}{{DK}} = \frac{{BP \cdot DK}}{{AK}}\_\_\_\_\_\left| {:BP} \right.$

$\frac{{AK}}{{DK}} = \frac{{DK}}{{AK}},$

$AK^2 = DK^2 ,$

AK=DK, K — середина AD.

Что и требовалось доказать.

Докажем, что медиана, проведённая к стороне треугольника, делит пополам любой отрезок, параллельный этой стороне, с концами на двух других сторонах треугольника.
Докажем, что точка пересечения диагоналей трапеции и середина её меньшего основания лежат на прямой, проходящей через точку пересечения продолжения боковых сторон трапеции и середину большего основания

trapeciya-zamechatelnoe-svojstvo В нашем случае докажем, что точки O и P лежат на прямой FK.

FK — медиана треугольника AFD.

Проведём через точку O пересечения диагоналей трапеции отрезок QL с концами на боковых сторонах трапеции.

BC||AD (как основания трапеции), QL||AD (по построению).

Так как медиана, проведённая к стороне треугольника, делит пополам любой отрезок, параллельный этой стороне, с концами на двух других сторонах треугольника, то точки P и O лежат прямой FK.

Поскольку медиана FK, проведённая к AD, делит пополам любой отрезок, параллельный AD, с концами на сторонах AF и DF, то среднюю линию трапеции она также делит пополам. Таким образом, замечательное свойство трапеции можно дополнить:

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции, середины оснований трапеции и середина средней линии трапеции лежат на одной прямой.