Докажите что функция y

Как доказать что функция возрастает

В настоящее время существует противоречие между потребностью старшеклассников к проявлению творчества, активности, самостоятельности, самореализации и ограниченностью времени для этого на уроках математики. Начиная с 2006 года я использую учебники «Алгебра 7, 8, 9» с углубленным изучением математики Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюка, К. И. Нешкова для учащихся математических классов с целью совершения осознанного выбора учащимися профиля обучения, предоставления ученикам возможности работы на уровне повышенных математических требований, развития их учебной мотивации.
Как включить учеников в самостоятельную исследовательскую деятельность, чтобы они сами «открывали» новые свойства и отношения, а не получали их от учителя в готовом виде? Многолетний опыт работы и желание изменить в себе традиционные представления об обучении подтолкнули меня к применению исследовательской деятельности на своих уроках математики. Конечно, изменение метода работы, структуры урока и принятия на себя функции организатора процесса познания, функции обеспечивающего системное включение каждого ученика, независимо от интеллектуального уровня, в основные виды деятельности, потребовало от меня определенных знаний и готовности к саморазвитию.
Я думаю, что включение учащегося в деятельность влияет и на глубину и прочность усвоения ими знаний, и на формирование у него системы ценностей, то есть самовоспитание. Наличие у учеников способностей к саморазвитию и самовоспитанию позволит им успешно адаптироваться к постоянно изменяющимся внешним условиям, не вступая при этом в конфликт с обществом.

Тема раздела: «Свойства функций».

Тема урока: «Возрастание и убывание функций».

Тип урока: урок изучения и первичного применения нового материала.

Основные цели:

• Способствовать формированию у учащихся нового понятия монотонной функции;
• Воспитывать положительное отношение к знаниям, умение работать в парах;
• Способствовать развитию аналитического мышления, умений частично-поисковой познавательной деятельности.

I. Актуализация опорных знаний

– Дайте определение функции.
– Какой формулой задаются функции, графики которых изображены на чертеже. (Приложение 2)

II. Формирование новых знаний

На рисунке 1 (Рисунок 1, Приложение 1) изображен график некоторой функции у = f (х), область определения которой – промежуток [–5; 4].
При возрастании значений X от –5 до 1 значения Y возрастают, а при возрастании значений X от 1 до 4 значения Y убывают. Говорят, что функция у = f (х) на промежутке [–5; 1] возрастает, а на промежутке [1; 4] – убывает.

Эталоны: (Приложение 3)

• Функция f(х) называется возрастающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₂ >х₁, выполняется неравенство f(х₂) >f(х₁).
• Функция (х) называется убывающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₂ >х₁, выполняется неравенство f(х₂) 0. Поэтому D(f) = [0; +).
  Пусть х₂ >х₁> 0. Рассмотрим разность f(х₂) – f(х₁) и преобразуем ее:

III. Работа в парах (карточки с элементами частично – поисковой деятельности):

• Выяснить характер монотонности линейной функции f(х) = k x + b, при k > 0 и k n , при четном n.
• Выяснить характер монотонности степенной функции f(х) = х n , при нечетном n.
• Выяснить характер монотонности обратной пропорциональности f(х) = при k > 0 и k 0 является возрастающей, а при k n с натуральным показателем n при четном n возрастает на промежутке [0; + ) и убывает на промежутке (– ; 0]. При нечетном n функция f(х) = х n возрастает на всей области определения, то есть на промежутке (– ; +). (Приложение 7)
  Обратная пропорциональность, то есть функция f(х) = в каждом из промежутков (– ; 0) и (0; + ) при k > 0 убывает, а при k 3 – + = 0.

Легко видеть, что х = 1 – корень уравнения. Покажем, что других корней это уравнение не имеет. Действительно, область определения функции у = х 3 – + – множество положительных чисел. На этом множестве функция возрастает, так как каждая из функций у = х 3 , у = – и у = на промежутке (0; +) возрастает. Следовательно, данное уравнение других корней, кроме х = 1, не имеет.

Задания для работы в парах: (Приложение 12)
Определите характер монотонности функции:

1. у = –
2. у = –
3. у = +
4. у = +

Работая в парах учащиеся проговаривают друг другу какие свойства монотонных функций использовали. (Приложение 13)
Решите уравнение: х 5 + х 3 + х = – 42.
Решите систему уравнений:

+ (х – у) 3 = 2, х 2 – 6у + 1 = 0.

V. Итог урока

Контрольные вопросы: (Приложение 14)

• Сформулируйте определение возрастающей и убывающей функций на множестве Х.
• Какая функция называется монотонной на множестве Х?
• Приведите примеры возрастающей и убывающей функций.

VI. Домашнее задание (Приложение 15)

1. Докажите, что функция g(х) является убывающей функцией:

2. Докажите, что функция f(х) является возрастающей функцией:

3. Решите уравнение: х 2 + – = 15.

• 5 – 9 классы
• Алгебра
• 10 баллов

Люи помогите пожалуйста,как можно письменно доказать возрастание или убывание функции?f(x)=x2 – 4x возрастающая нп промежутке строго от 2 до + бесконечности.И как доказать что функция убывающая что куда надо подставить,

1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

x_1 Rightarrow f(x_2 ) > f(x_1 ). ]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x₁;x₅]:

Кратко это записывают так:

3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).

4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.

Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.

Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.

Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k

Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x₁;x₂].

Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x₂;x₃].

Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.

Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?

группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:

Теперь выносим общий множитель (x₂-x₁) за скобки:

Так как x₂>x₁, то x₂-x₁>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Для x₁, x₂ ∈(-∞;-2) x₂+x₁+4

Докажите что функция y

данная функция линейная, графиком является прямая, т. к. перед х коэффициент отрицательный х=-2/5 поэтому функция убывающая

или если за 9 класс, то функция называется убывающей если при х1<х2, у1>у2, т.е.

пусть х1=0, х2=1, тогда у1=4-2*0/5=4 а у2=4-2*1/5=4-0,4=3,6 что и требовалося доказать.

Лучшие помощники

Этот сайт использует cookies. Политика Cookies Вы можете указать условия хранения и доступ к cookies в своем браузере.

Понятие четной и нечетной функции

Главное условие при исследовании функции на четность/нечетность — это симметричность области определения относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.

Четная функция

Функцию \(f(x)\) называют четной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=f(x).\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

График четной функции симметричен относительно оси Ох.

Возьмем произвольную точку \(M(x,\;f(x))\) из области определения \(f(x)\) , тогда точка \(M_1(-x,\;f(x))\) так же будет принадлежать графику, что следует из определения. Значит график данной функции будет симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция

Функцию \(f(x)\) называют нечетной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=-f(x).\)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).

Возьмем произвольную точку \(M(x,\;f(x))\) из области определения \(f(x)\) , тогда точка \(M_1(-x,\;-f(x))\) также будет принадлежать графику, что следует из определения. Значит график данной функции будет симметричен относительно начала координат.

Произведение четной и нечетной функции

Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.

Значит, \((f\cdot g)(-x)=-(f\cdot g)(x)\) , т.е. функция нечетная.

Исследование функций в примерах

Доказать, что функция \(y=x^2\) четная.

1. Найдем область определения: \(D(y):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

\(f(x)=f(-x)\) , значит функция четная.

Исследовать на четность и нечетность функцию \(f(x)=8x^3-7x.\)

1. Найдем область определения: \(D(f):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

\(f(x)\neq f(-x)\) , значит функция не является четной.

\(-f(x)=f(-x)\) , значит функция нечетна.

Исследовать на четность и нечетность функции \(f_1(x)=\frac\) и \(f_2(x)=\frac4\)

Рассмотрим первую функцию:

1. Найдем область определения: x — любое число, кроме 1. Она не симметрична относительно 0, значит \( f_1(x)\) относится к функциям общего вида, то есть не является ни четной ни нечетной.

Рассмотрим вторую функцию:

1. Найдем область определения: х — любое число кроме -1 и 1. Она симметрична относительно 0.