Докажите что функция является возрастающей f x sinx x 3 x

Возрастание и убывание функции

Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале.

Для того чтобы дифференцируемая на интервале $(a,b)$ функция $f(x)$ была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
$$
f'(x)\geq 0\ при \ всех\ x\in(a,b).\label
$$
Аналогично, условие
$$
f'(x)\leq 0\ при \ всех \ x\in(a,b)\label
$$
является необходимым и достаточным для убывания дифференцируемой функции $f(x)$ на интервале $(a,b)$.

$\circ$ Ограничимся доказательством теоремы для случая возрастающей функции.

Необходимость. Пусть $x_0$ — произвольная точка интервала $(a,b)$. Из определения возрастающей функции следует, что
$$
\forall x\in (a,b):\ x > x_<0>\ \rightarrow f(x)\geq f(x_<0>),\nonumber
$$
$$
\forall x\in (a,b):\ x < x_<0>\ \rightarrow f(x)\leq f(x_<0>),\nonumber
$$
Следовательно, если $x\in(a,b)$ и $x\neq x_0$, то выполняется неравенство
$$
\frac)>\geq 0.\label
$$
Так как левая часть \eqref имеет при $x\rightarrow x_0$ предел, равный $f'(x_<0>)$, то из неравенства \eqref по свойству сохранения знака нестрогого неравенства при предельном переходе получаем
$$
f'(x_0)\geq 0\ для \ любого \ x_<0>\in (a,b).\nonumber
$$

Достаточность. Пусть выполняется условие \eqref и пусть $x_1, x_2$ — произвольные точки интервала $(a,b)$, причем $x_1 < x_2$. Применяя к функции $f(x)$ на отрезке $[x_1,x_2]$ теорему Лагранжа, получаем
$$
f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1),\nonumber
$$
где $f'(\xi)\geq 0$, так как $\xi\in(a,b)$. Отсюда следует, что
$$
\forall x_<1>,x_<2>\in (a,b):\ x_ <2>> x_1\rightarrow f(x_2) \geq f(x_<1>).\label
$$
Это означает, что функция $f(x)$ является возрастающей на интервале $(a,b).\ \bullet$

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.

Если для всех $x\in (a,b)$ выполняется условие
$$
f'(x) > 0,\label
$$
то функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(a,b)$, а если для всех $x\in (a,b)$ справедливо неравенство
$$
f'(x) < 0,\label
$$
то функция $f(x)$ строго убывает на интервале $(a,b)$.

$\circ$ Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда выполняется условие \eqref. Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные точки интервала $(a,b)$ такие, что $x_1 < x_2$. По теореме Лагранжа
$$
f(x_<2>)-f(x_<1>)=f'(\xi)(x_<2>-x_1),\ где \ \xi\in(a,b).\nonumber
$$
Отсюда и из условия \eqref следует, что $f(x_2) > f(x_<1>)$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(a,b)$. $\bullet$

Доказать, что функции $\operatornamex$ и \(\operatorname

x\) строго возрастают на $\mathbb$.

$\triangle$ Так как $(\operatornamex)’=\operatornamex > 0$ и \((\operatorname

x=\displaystyle \frac<1><\operatorname^<2>x> > 0\) для всех $x\in\mathbb$, то по теореме 2 функции $\operatornamex$ и \(\operatorname

x\) являются строго возрастающими на $\mathbb$. $\blacktriangle$

Условие \eqref не является необходимым для строгого возрастания функции. Например, функция $f(x)=x^<3>$ строго возрастает на $\mathbb$, но условие \eqref не выполняется, так как $f'(0)=0$.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, дифференцируема на интервале $(a,b)$ и удовлетворяет условию \eqref, то эта функция строго убывает на отрезке $[a,b]$.

$\circ$ Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы конечных приращений Лагранжа. $\bullet$

$\triangle$ Рассмотрим функцию $f(x)=\displaystyle \frac<\sin x>,\;f(0)=1$. Эта функция непрерывна на отрезке $\left[0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right]$ и дифференцируема на интервале $\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)$, причем $f'(x)=\displaystyle \frac<\cos x>>(x-\operatornamex) < 0$, так как на интервале $\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)$ выполняются неравенства $\cos x > 0,\ \operatornamex > x$. По теореме 3 функция $f(x)$ строго убывает на отрезке $\left[0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right]$, и поэтому $f(x) > f(\displaystyle \frac<\pi><2>)$ для $x\in\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)$, то есть выполняется неравенство $\displaystyle \frac<\sin x> > \frac<2><\pi>$, равносильное на интервале $\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)$ неравенству \eqref. Геометрическая интерпретация неравенства \eqref: на интервале $\left(0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right)$ график функции $у=\sin x$ лежит выше графика функции $y=\displaystyle \frac<2><\pi>x$ (рис. 20.1).

Отметим, что
$$
\sin x\geq \displaystyle \frac<2><\pi>x \ при \ x\in \left[0,\displaystyle \frac<\pi><2>\right],\label
$$
причем при $x=0$ и $x= \displaystyle \frac<\pi><2>$ неравенство $\sin x\geq \displaystyle \frac<2><\pi>x$ обращается в равенство.$\blacktriangle$

Возрастание (убывание) функции в точке.

Будем говорить, что функция $f(x)$ строго возрастает в точке $x_0$ если существует $\delta\;>\;0$ такое, что
$$
\begin
\forall x\in (x_<0>-\delta,x_0)\rightarrow f(x) < f(x_<0>),\\
\forall x\in (x_<0>,x_0+\delta)\rightarrow f(x) > f(x_<0>),
\end\label
$$

Заметим, что условие \eqref равносильно условию
$$
\frac)>> > 0,\quad x\in\dot_<\delta>(x_<0>).\label
$$
Аналогично вводится понятие строгого убывания функции $f(x)$ в точке $x_0$. В этом случае
$$
\frac)>> < 0,\quad x\in\dot_<\delta>(x_<0>).\nonumber
$$

Если $f'(x_0) > 0$, то функция $f(x)$ строго возрастает в точке $x_0$, а если $f'(x_0) < 0$, то функция $f(x)$ строго убывает в точке $x_0$.

$\circ$ Пусть, например, $f'(x) > 0$. Из определения производной следует, что по заданному числу $\varepsilon=f'(x_0) > 0$ можно найти $\delta > 0$ такое, что для всех $x\in\dot_<\delta>(x_0)$ выполняется неравенство $\left|\displaystyle \frac)>>-f'(x_<0>)\right| < f'(x_<0>)$, откуда следует утверждение \eqref.

Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи

На этом уроке мы продолжим изучение тригонометрической функции у = sin х и решим типовые задачи. Вначале рассмотрим основные точки этой функции на промежутке [-π/2;π/2] на графике и на круге и выясним основные особенности функции на этом промежутке. Решим несколько примеров на чтение графика и сформулируем типовую прямую и обратную задачу для этой функции на рассматриваемом промежутке. Подробно рассмотрим монотонность функции на заданном промежутке и решим задачи с ее использованием. Далее рассмотрим модификации графика функции, а именно: сдвиг кривой вправо и влево, а также вверх и вниз. Решим несколько примеров на построение графика.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Рассматривая произвольное действительное число Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Таким образом, мы установим соответствие между множеством действительных чисел и множеством значений синусов углов. Каждому действительному числу соответствует единственное значение синуса. Такое соответствие определяет тригонометрическую функцию Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Определение функция y=sin x

Определение:

Зависимость, при которой каждому действительному числу Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений соответствует значение называется функцией

Рассмотрим свойства функции и построим ее график:

Область определения функции y=sin x

Областью определения функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является множество всех действительных чисел, так как для любого существует

Графически это означает, что для любой абсциссы найдется точка графика функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Множеством значений функции y=sin x

Множеством значений функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является промежуток так как ординаты точек единичной окружности (значения синусов чисел) изменяются от -1 до 1.

Графически это означает, что график функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений расположен в полосе между прямыми (рис. 74).

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Периодичность функции y=sin x

Периодичность функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Точки единичной окружности совпадают для любого (рис. 75), значит, значения синусов этих углов также совпадают, т. е. Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Говорят, что число Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является периодом функции

Определение:

Функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений называется периодической функцией с периодом если для любого значения из области определения функции числа Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений также принадлежат области определения и при этом верно равенство

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Чтобы определить, является ли функция периодической с периодом Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений необходимо проверить:

принадлежат ли области определения функции числа если принадлежит области определения функции;
выполняется ли равенство

Определим, верно ли, что число Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является периодом функции

Числа принадлежат области определения функции, так как
Проверим, выполняется ли равенство для всех

Пусть Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Значит, число Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений не является периодом функции

Периодом функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений являются числа вида Число является наименьшим положительным периодом функции

Функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является периодической с наименьшим положительным периодом (рис. 76). Это означает, что ее график состоит из повторяющихся частей, поэтому достаточно его построить на отрезке длиной Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений (например, а затем повторить построение на каждом следующем отрезке длиной

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Четность (нечетность) функции y=sin x

Четность (нечетность) функции y=sin x Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений — симметрична относительно нуля. Так как точки единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс для любого Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений то ординаты этих точек противоположны, т. е. (рис. 77). Значит, функция нечетная.

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Для построения ее графика достаточно построить его часть для неотрицательных значений аргумента и отобразить эту часть симметрично относительно начала координат.

Нули функции y=sin x

Нули функции. Ординаты точек Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений и равны нулю. Значит, в точка (рис. 78), т. е. график функции пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Промежутки знакопостоянства функции y=sin x

На промежутках Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений функция принимает положительные значения, так как ординаты точек единичной окружности положительны в первой и во второй четвертях (рис. 79, а).

На промежутках Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений функция принимает отрицательные значения, так как ординаты точек единичной окружности отрицательны в третьей и четвертой четвертях (рис. 79, б).

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Монотонность функции y=sin x

Монотонность функции. Так как ординаты точек единичной окружности увеличиваются от -1 до 1 при изменении угла от Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений (рис. 80, а) и уменьшаются от 1 до -1 при изменении угла от (рис. 80, б), то с учетом периодичности определим промежутки возрастания функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений и промежутки убывания функции

Функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений возрастает на промежутках и убывает на промежутках
Наибольшее значение функции равно 1 и достигается в точках Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Наименьшее значение функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений равно и достигается в точках

На основании проведенного исследования построим график функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений на отрезке от длина которого равна т. е. длине периода функции

На этом периоде функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

равна нулю в точках
достигает значений, равных 1 и -1, соответственно в точках
принимает положительные значения при значениях аргумента от 0 до а отрицательные — при значениях аргумента от до 0;
возрастает от и убывает от

На рисунке 81 изображена часть графика функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений на промежутке от

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Перенесем эту часть на другие периоды и получим график функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений (рис. 82). График функции называется синусоидой.

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Примеры заданий и их решения

Пример №1

Определите, принадлежит ли графику функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений точка:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) Подставим в формулу Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значение аргумента найдем соответствующее значение функции

Полученное значение функции равно ординате точки Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значит, точка принадлежит графику функции

б) При Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений получим Точка не принадлежит графику функции

в) При Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений получим Точка принадлежит графику функции

г) При Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений получим Точка не принадлежит графику функции

Пример №2

Найдите область определения и множество значений функции:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) Так как область определения функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений все действительные числа, т.е значит, Таким образом,

Множеством значений функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является отрезок значит, Тогда по свойству неравенств Таким образом,

б) Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Поскольку то по свойству неравенств

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений т.е.

Пример №3

Найдите наибольшее значение функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

Так как Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значит, тогда Таким образом, имеем: Наибольшее значение функции равно 7.

Пример №4

Найдите значение выражения, используя свойство периодичности функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

Так как число Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является наименьшим положительным периодом функции Тогда:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пример №5

Найдите значение выражения, используя свойство нечетности функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

Так как функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений нечетная, то

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пример №6

Исследуйте функцию на четность (нечетность):

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

a) Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений — область определения симметрична относительно нуля;

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значит, функция является нечетной.

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений область определения симметрична относительно нуля;

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значит, функция является четной.

Пример №7

Найдите нули функции:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) Пусть Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Нулями функции являются числа Тогда значит, Таким тобразом, числа являются нулями функции

б) Пусть Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Нулями функции являются числа Тогда значит,

Таким образом, числа Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений являются нулями функции

Пример №8

Определите знак произведения Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

Так как Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений то т. е. угол 4 радиана принадлежит промежутку на котором функция принимает отрицательные значения, значит,

Углы 2 радиана и 1 радиан принадлежат промежутку Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений на котором функция принимает положительные значения, т. е. Значит,

Пример №9

Что больше: Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений или

Решение. Так как функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений возрастает на промежутке то из того, что следует, что

Пример №10

Постройте график функции:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) График функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений получаем из графика функции сдвигом его вдоль оси абсцисс на влево (рис. 84).

б) График функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений получаем из графика функции сдвигом его вдоль оси ординат на 2 единицы вверх (рис. 85).

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Докажите что функция является возрастающей f x sinx x 3 x

Возрастание и убывание функции

Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале.

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.

Возрастание (убывание) функции в точке.

Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Определение функция y=sin x

Область определения функции y=sin x

Множеством значений функции y=sin x

Периодичность функции y=sin x

Четность (нечетность) функции y=sin x

Нули функции y=sin x

Промежутки знакопостоянства функции y=sin x

Монотонность функции y=sin x

Примеры заданий и их решения

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Пример №4

Пример №5

Пример №6

Пример №7

Пример №8

Пример №9

Пример №10

Добавить комментарий Отменить ответ