Докажите что формула задает бинарную операцию на множестве

алгебра — Доказать формулу

Докажите, что m ◦ n = 2mn − 2m − 2n + 3 задаёт бинарную операцию R \ <1>и что (R \ <1>, ◦) является группой.

задан 2 Апр ’18 21:18

1 ответ

Один из способов решения состоит в проверке аксиом группы. Возможно, что полезно было бы решить задачу и таким длинным способом. Для начала надо проверить ассоциативность. Берём числа x, y, z. Находим xoy по формуле. Потом подставляем в ту же формулу найденное выражение в качестве m, и z в качестве n. Получается какое-то громоздкое выражение от трёх переменных. Это (xoy)oz. Потом таким же способом находим xo(yoz). Сравниваем два выражения, и проверяем, что они совпадают.

Потом доказываем существование нейтрального элемента. Здесь это будет число e=3/2. Можно взять любое m, полагая n=3/2, и далее проверить, что mon=m. Операция здесь коммутативна, и такой проверки достаточно. Само значение нейтрального элемента можно или угадать, или найти из уравнения 2mn-2m-2n+3=m, которое должно выполняться при любом m. В частности, при m=0, что сразу даёт n=3/2. А потом уже подставляем и проверяем.

Наконец, надо проверить наличие обратных элементов. Пусть m не равно 1. Мы хотим найти такое n (также не равное 1), чтобы выполнялось равенство 2mn-2m-2n+3=3/2. Решая уравнение относительно n, имеем n=(4m-3)/(4m-4). Такое число определено при любом m кроме 1, и не равно 1.

Но есть более короткий способ доказательства, основанный вот на каком факте. Пусть имеется какая-то известная нам группа G, операция в которой обозначается в виде умножения. Рассмотрим произвольную биекцию f множества G на произвольное множество X. Зададим операцию o на X, полагая f(a)of(b)=f(ab). Здесь мы используем то, что всякий элемент из X единственным образом представим в виде f(g), где g принадлежит G. Это так, поскольку мы имеем биекцию. В итоге мы имеем «точную копию» группы G в виде системы (X,o). Последняя, как алгебраическая система, изоморфна группе, а потому сама является группой.

Теперь осталось заметить, что 2(mon)-2=(2m-2)(2n-2) в силу тождества из условия. Это значит, что если мы в качестве G возьмём группу действительных чисел без нуля относительно умножения, и положим x=f(y)=1+y/2 (это обратная функция для y=2x-2), что даёт биекцию. При ней получится 1+0/2=1, то есть 1 удаляем, а 1+1/2=3/2 оказывается нейтральным элементом. Далее, для элемента y не равного нулю, в группе обратным будет 1/y, и для него f(1/y)=1+1/(2y)=(2y+1)/(2y)=(4x-3)/(4x-4), что даёт формулу для обратного элемента.

Алгебраическая операция. Коммутативные и ассоциативные операции. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа

В основе всех понятий изучаемых в различных разделах алгебры лежит понятие алгебраической операции.

1. Алгебраическая операция.

Пусть />– множество (элементами />могут быть числа или функции или объекты геометрической природы и т.д.).

Говорят, что на задана бинарная алгебраическая операция, если любой упорядоченной паре элементов ставится в соответствие однозначно определённый элемент этого же множества .

Иногда вместо пишут , а ещё чаще бинарную операцию на обозначают каким-нибудь специальным символом: *, º, ∙, +, так будем поступать и мы, называя (или просто , без знака между и ) произведением элементов . Таким образом, равенство

(1)

будет в дальнейшем иметь следующий смысл:

упорядоченной паре из ставится в соответствие элемент . Иногда (там, где это будет удобнее) вместо «произведение» будем говорить «сумма», обозначая это так:

(1´)

( конечно, во многих случаях названия «сумма» и «произведение» условны)

Замечание 1. Можно рассматривать бинарную операцию в «широком смысле»: некоторым упорядоченным парам элементов из ставится в соответствие элемент из один или много. Такой, более общий подход «имеет право на существование», он приводит к интересным результатам, однако мы, исходя из наших целей, будем придерживаться понятия алгебраической операции приведённого выше.

Замечание 2. Наряду с бинарными алгебраическими операциями имеет смысл рассматривать и более общие n-арные операции(унарные при n=1, тернарные при n=3 и т.д.), а также и их комбинации.[1] Нас же будут интересовать, за редкими исключениями, именно бинарные операции.

На множестве можно задать много различных операций. Если хотят выделить одну из них, то пишут и говорят, что операция * определяет на алгебраическую структуру или, что — алгебраическая структура (другое название: алгебраическая система).

1. На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения. Таким образом, заданы алгебраические структуры и .

2. На можно задать и другие операции: ; , получим структуры и и т.д.

3. На множестве невырожденных матриц порядка n (): а) матричное умножение – алгебраическая операция, б) матричное сложение – нет.

а) Пусть и — две невырожденные матрицы n-го порядка: , . Матрица — снова матрица n-го порядка, осталось доказать лишь её невырожденность. Поскольку, как известно, определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. , то . Итак, матрица является элементом того же множества, что и матрицы и .

б) Достаточно привести пример двух таких невырожденных матриц, сумма которых является вырожденной матрицей.

Пусть , . Тогда , , .

4. . Сложение не является бинарной алгебраической операцией (объясните, почему).

5. Рассмотрим множество векторов на плоскости. Скалярное произведение векторов не является алгебраической операцией (почему?).

6. Рассмотрим множество векторов на плоскости и определим сложение векторов по «правилу треугольника». Это – алгебраическая операция.

7. Векторное произведение векторов – алгебраическая операция.

Конструировать разные бинарные операции на множестве можно неограниченно, но задача изучения произвольных алгебраических структур слишком обща. Поэтому рассматривают структуры при некоторых естественных ограничениях.

Чаще всего нас будет интересовать выполнимость ассоциативного и коммутативного законов для операции.

2. Коммутативные и ассоциативные операции.

Бинарная операция * на множестве называется ассоциативной, если для всех .

Операция * называется коммутативной, если для всех .

Свойства ассоциативности и коммутативности независимы. Действительно, например операция на : является коммутативной (очевидно), но не ассоциативной, что легко показать: , а . Операция же умножения квадратных матриц порядка — ассоциативна, но не коммутативна.

1. Операции сложения и умножения на множестве действительных чисел коммутативны и ассоциативны.

2. Операция * на множестве натуральных чисел, задаваемая формулой — некоммутативна (например , ).

3. Операция на множестве , заданная формулой — коммутативна, но не ассоциативна.

Пусть — любые действительные числа. В силу коммутативности сложения на получим: , и коммутативность операции * доказана.

Далее, , и , и при равенство не верно.

3. Нейтральные и обратные элементы. Обратимые операции.

Пусть на множестве задана бинарная операция. Если существует такой элемент , что для любого элемента выполняются равенства:

и ,

Свойства бинарной алгебраической операции

Определение. Операция ◦ на множестве М называется ассоциативной, если для любых а, b, c M справедливо равенство

Определение. Пусть на М задана операция ◦. Элемент е называется нейтральным относительно операции ◦, если для любого а М справедливо равенство

Определение. Пусть на М задана операция ◦. Элемент аʹ называется симметричным к элементу а относительно операции ◦, если выполняется равенство

По сложению, аʹ обозначают –а и называют противоположным. По умножению, аʹ обозначают и называют обратным.

Определение. Пусть на М задана операция ◦. Операция ◦ называется обратимой, если для любых а, b M уравнения а ◦ x = b, y ◦ a = b имеют решение, причем единственное.

Пусть дано множество, на котором выполнимы две операции ◦ и *.

Определение. Операция ◦ называется дистрибутивной относительно операции *, если для любых a, b, c M выполняются равенства

Пример 1 Докажем, что на множестве R бинарная операция, заданная формулой a ◦ b = коммутативна, но не ассоциативна.

Решение. Пусть a, b, c – любые действительные числа. В силу коммутативности сложения на R получим:

a ◦ b = b ◦ a,

т.е. бинарная операция нахождения среднего арифметического на R коммутативна. Далее,

(a ◦ b) ◦ c = (1)

a ◦ (b ◦ c) = (2)

Из результатов (1) и (2) следует, что при а ≠ с равенство (a ◦ b) ◦ c=a◦(b ◦ c) не является справедливым. Следовательно, заданная операция не ассоциативна на R.

Пример 2 Докажем, что во множестве К, содержащем не менее двух элементов, на котором формулой a ◦ b = b задана бинарная операция, не существует нейтрального элемента.

Допустим, что в К существует нейтральный элемент е, и пусть а – любой элемент из К. По определению нейтрального элемента а◦ е = а, а из условия примера следует, что а◦ е = е, т.е. а = е. Это означает, что К состоит из одного элемента. Полученный результат противоречит условию, а потому сделанное допущение ошибочно.

Задачи для решения

1 Являются ли коммутативными и ассоциативными на множестве Z бинарные операции сложения, умножения и вычитания?

2 Докажите, что на множестве бинарная операция а ◦ b = нахождения среднего геометрического коммутативна, но не ассоциативна.

3 Обладает ли множество чисел вида а + b , где a и b – любые целые числа, нейтральным элементом относительно обычного умножения? Проверьте, имеются ли в данной алгебраической системе обратные элементы для элементов 2 + и 5 — 2 . Обратима ли на данном множестве операция умножения?

4 Какие из нижеприведенных бинарных операций:

а) a ◦ b = ;

б) a ◦ b = c, где с – наибольший общий делитель чисел а и b;

в) a ◦ b = m, где m – наименьшее общее кратное чисел а и b, коммутативны и какие ассоциативны на множестве N.

5 Покажите, что действие выполняемое по правилу a ◦ b = , является коммутативной, но не ассоциативной бинарной операцией на множестве R.

6 Докажите, что относительно обычного умножения множество А= x=3k, k Z> не содержит нейтрального элемента. Обратима ли операция умножения на множестве А?

7 Пусть I – множество подмножеств некоторого непустого множества М. Существует ли в I нейтральный элемент (если существует, то какой) относительно операции объединения подмножеств на I; пересечения подмножеств? Какие элементы множества I имеют симметричные относительно операций объединения и пересечения? Обратимы ли указанные операции на множестве I?

8 Докажите, что на множестве Q действие, выполняемое по правилу a◦b = = является бинарной, коммутативной, ассоциативной, но необратимой операцией. Обладает ли алгебраическая система < Z; ◦ > нейтральным элементом, и если обладает, то каким именно?

Виды алгебр

Определение. Алгеброй называется любое непустое множество А, на котором задана некоторая система операций

Обозначается (А, S), где А – множество, S – система операций.

Определение. Непустое множество М называется полугруппой, если в нем выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной.

Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция ◦, которая обладает свойствами:

1) ◦ ( b ◦ c ) = ( ◦ b ) ◦ c,

2) ◦ e = e ◦ = ;

3) ◦ ʹ = ʹ ◦ = e.

Группы по сложению называются аддитивными; группы по умножению – мультипликативными.

Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной и обратимой.

Определение. Если в группе G операция коммутативна, то группа G называется абелевой.

Определение. Непустое множество К называется кольцом, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение, удовлетворяющие условиям:

1)

2)

3)

4)

5)

Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел.

Определение. Непустое множество Р называется полем, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции сложение и умножение, удовлетворяющие аксиомам:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Пример 1 Доказать, что на множество Z образует группу относительно действия, заданного формулой

◦

1 Рассматриваемое на Z действие сводится к сложению или вычитанию целых чисел, а т.к. сложение и вычитание элементов из Z дает в результате элемент из Z, то на множестве Z рассматриваемое действие является бинарной операцией.

2 Проанализируем возможные случаи

a) Если a, b – четные числа, а с – любое число из Z, то

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

б) Если a – четное число, b – нечетное, а с – любое число из Z, то

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

в) Если a – нечетное число, b – четное, а с – любое число из Z, то нечетно и потому

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

г) Если a, b – нечетные числа, а с – любое число из Z, то четно и потому

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

Итак, во всех возможных случаях заданная на Z бинарная операция является ассоциативной.

3 Т.к. 0 – четное число, то 0 ◦ Кроме того, если , то ◦ 0 = если же нечетно, то ◦ 0 = . Итак, 0 ◦ ◦ 0, т.е. 0 является в Z нейтральным элементом относительно заданной операции.

4 Для любого элемента в Z существует обратный элемент: для четного обратным будет противоположное число , т.к. ◦ = ; для нечетного обратным будет само число , т.к. ◦ = .

Итак, Z является группой относительно заданной операции.

Задачи для решения

1 Является ли множество Z полугруппой относительно: а) сложения, б) вычитания?

2 Является ли множество N полугруппой относительно операции нахождения наибольшего общего делителя?

3 Почему множество R не является полугруппой относительно действия, выполняемого по правилу ◦ b = для любых , b

4 Выясните, какие из нижеприведенных множеств являются группами относительно нижеуказанных операций:

а) множество Z относительно вычитания;

б) множество четных чисел относительно умножения;

в) множество целых чисел, кратных любому заданному натуральному числу n, относительно сложения;

г) множество относительно умножения;

д) множество Q относительно умножения;

е) множество Q \ <0>относительно умножения;

ж) множество R \ <0>относительно умножения;

з) множество трехмерных (n-мерных) арифметических векторов относительно сложения;

и) множество чисел вида а + b относительно сложения, если а и b – любые рациональные числа;

к) множество многочленов одной и той же степени n от одного аргумента относительно сложения;

л) множество многочленов степени не выше n относительно сложения;

м) множество многочленов от одного аргумента относительно сложения;

5 На множестве Q <0>определено действие ◦ b = . Докажите, что относительно указанного действия данное множество является группой.

6 Является ли кольцом множество L чисел вида относительно обычных операций сложения и умножения?

7 Докажите, что если на Z задана операция a ʘ b = -ab, то алгебраическая система <Z; +, ʘ> является коммутативным кольцом с единицей. Каков единичный элемент этого кольца?

8 Докажите, что множество А чисел вида 2а + 2b где a, b – любые целые числа, является числовым кольцом.

9 Для каких чисел n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 существует поле из n элементов?

10 Почему кольцо <0>не является полем?

11 На множестве М = сложение и умножение определены следующим образом:

Выясните, обладает ли это множество нулем и единицей и является ли система <M, > полем относительно заданных бинарных операций.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.