Доказать что линейный оператор простого типа

Доказать что линейный оператор простого типа

Начнем со следующей леммы.

Лемма. Собственные векторы соответствующие попарно различным характеристическим числам, всегда линейно независимы.

Применяя к обеим частям этого равенства оператор получим:

Умножим обе части равенства (61) на , и вычтем почленно (61) из (62). Тогда получим:

Можно сказать, что равенство (63) было получено из (61) путем почленного применения оператора . Применяя к (63) почленно операторы , мы придем к следующему равенству:

откуда . Так как в (61) любое слагаемое может быть поставлено на последнее место, то в (61)

т. е. между векторами нет линейной зависимости. Лемма доказана.

Если характеристическое уравнение оператора имеет различных корней и эти корни принадлежат полю , то на основании леммы собственные векторы, соответствующие этим корням, линейно независимы.

Определение 11. Линейный оператор в называется оператором простой структуры, если имеет в линейно независимых собственных векторов, где — число измерений.

Таким образом, линейный оператор в имеет простую структуру, если все корни характеристического уравнения различны между собой и принадлежат полю . Однако это условие не является необходимым. Существуют линейные операторы простой структуры, у которых характеристический многочлен имеет кратные корни.

Рассмотрим произвольный линейный оператор простой структуры. Обозначим через базис в , состоящий из собственных векторов оператора, т. е.

Другими словами, воздействие оператора простой структуры на вектор может быть описано следующим образом:

В -мерном пространстве существует линейно независимых «направлений», вдоль которых оператор простой структуры осуществляет «растяжение» с коэффициентами . Произвольный вектор может быть разложен на компоненты, идущие вдоль этих собственных направлений. Эти компоненты подвергаются соответствующим «растяжениям», после чего они в сумме дают вектор .

Нетрудно видеть, что оператору в «собственном» базисе соответствует диагональная матрица

Если мы через обозначим матрицу, отвечающую оператору в произвольном базисе , то

Матрицу, подобную диагональной, будем называть матрицей простой структуры. Таким образом, оператору простой структуры в любом базисе отвечает матрица простой структуры и наоборот.

Матрица в равенстве (64) осуществляет переход от базиса к базису . В -м столбце матрицы стоят координаты (в базисе ) собственного вектора, соответствующего характеристическому числу матрицы (). Матрица называется фундаментальной матрицей для матрицы .

Равенство (64) перепишем так:

Переходя к -м ассоциированным матрицам (), получим (см. гл. I, § 4):

— диагональная матрица -го порядка (), у которой на главной диагонали стоят всевозможные произведения по из . Сопоставление (65) с (64′) дает нам теорему:

Теорема 3. Если матрица имеет простую структуру, то при любом ассоциированная матрица также имеет простую структуру; при этом характеристическими числами матрицы являются всевозможные произведения по () из характеристических чисел матрицы , а фундаментальной матрицей матрицы является ассоциированная для фундаментальной матрицы матрицы .

Следствие. Если характеристическому числу матрицы простой структуры отвечает собственный вектор с координатами и , то характеристическому числу () матрицы отвечает собственный вектор с координатами

Произвольную матрицу можно представить в виде предела последовательности матриц , каждая из которых не имеет кратных характеристических чисел и поэтому имеет простую структуру. Характеристические числа матрицы в пределе при переходят в характеристические числа матрицы , т. е.

Так как, кроме того, , то из теоремы 3 вытекает

Теорема 4 (Кронекера). Если — полная система характеристических чисел произвольной матрицы , то полная система характеристических чисел ассоциированной матрицы состоит из всевозможных произведений по из чисел .

В этом параграфе мы исследовали операторы и матрицы простой структуры. Изучение структуры операторов и матриц общего типа будет произведено в главах VI и VII.

© 2022 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Линейные Операторы (Задачи для подготовки к экзамену — Решение), страница 3

Файл «Линейные Операторы» внутри архива находится в папке «Прорешанные задачи для подготовки к экзамену». Документ из архива «Задачи для подготовки к экзамену — Решение», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «линейная алгебра и аналитическая геометрия» из раздела «», которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «к экзамену/зачёту», в предмете «алгебра и геометрия» в общих файлах.

Онлайн просмотр документа «Линейные Операторы»

Текст 3 страницы из документа «Линейные Операторы»

3.32. В пространстве Р₂ многочленов степени не выше 2 оператор А действует по правилу . Найти его матрицу в каноническом базисе, собственные значения и собственные векторы. Является ли оператор оператором простого типа?

Если , то

т.е. вектор переводится данным оператором в вектор .

Следовательно, матрица данного оператора в каноническом базисе имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:

Получаем единственное собственное значение , которому соответствуют два собственных вектора: .

По определению, линейный оператор называется оператором простого типа (или простым оператором), если из собственных векторов этого оператора можно составить базис линейного пространства. Данный оператор имеет всего два собственных вектора, размерность пространства Р₂ равна 3, следовательно, данный оператор не является оператором простого типа.

3.33. Оператор А действует на матрицы второго порядка по правилу , где . Показать, что А – линейный оператор на подпространстве симметрических матриц второго порядка, найти его собственные значения и собственные векторы.

Условие некорректно: определение оператора фактически определяет для каждого вектора одно и то же значение , а такой оператор нелинеен.

3.34. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора из задачи 3.22.

Матрица линейного оператора из задачи 3.22 в базисе имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:

Получаем три собственных вектора: .

3.35. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора из задачи 3.23.

Матрица линейного оператора из задачи 3.23 в базисе имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:

Получаем три собственных вектора: .

3.36. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора из задачи 3.24.

Матрица линейного оператора из задачи 3.24 в базисе имеет вид:

Находим собственные значения и собственные векторы матрицы:

Т.е. собственному значению соответствуют два собственных вектора собственному значению — один собственный вектор .

Доказать что линейный оператор простого типа

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Линейный оператор Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

Глава 5
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В этой главе исследуются так называемые линейные отображения линейных и евклидовых пространств, т. е. такие отображения, при которых образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента. При этом мы будем рассматривать комплексные линейные и евклидовы пространства. Результаты, относящиеся к вещественным пространствам, будут оговорены специально.

§ 1. Понятие линейного оператора. Основные свойства

1. Определение линейного оператора. Пусть V и W — линейные пространства, размерности которых равны соответственно n и m. Мы будем называть оператором А, действующим из V в W, отображение вида А: V —> W, сопоставляющее каждому элементу х пространства V некоторый элемент у пространства W. При этом будем использовать обозначение у = А (х) или у = Ах.
Определение. Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых элементов x₁ u x₂ пространства V и любого комплексного числа λ выполняются соотношения:
1°. λ ( x₁ u x₂) = λ x₁+ λ x₂ (свойство аддитивности оператора);
2°. А ( λ х) = λ Ах (свойство однородности оператора).
Замечание 1. Если пространство W представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор A, действующий из V в W, называется линейной формой или линейным функционалом.
Замечание 2. Если пространство W совпадает с пространством V, то линейный оператор, действующий в этом случае из V в V, называют также линейным преобразованием пространства V.
2. Действия над линейными операторам. Пространство линейных операторов. В множестве всех линейных операторов, действующих из V в W, определим операции суммы таких операторов и умножения оператора на скаляр.
Пусть А и В — два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем линейный оператор А + В, определяемый равенством

(А + В)х = Ах + Вх. (5.1)

Произведением линейного оператора А на скаляр λ назовем линейный оператор λ А, определяемый равенством

Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W.
Иными словами, оператор О действует по правилу Ох = 0.
Для каждого оператора А определим противоположный оператор -А посредством соотношения

Легко проверить справедливость следующего утверждения.
Множество L(V, W) всех линейных операторов, действующих из V в W, с указанными выше операциями суммы и умножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство.
3. Свойства множества L (V, V) линейных операторов. Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из V в V, т. е. изучим подробнее множество L(V, V).
Назовем тождественным (или единичным) оператором линейный оператор I, действующий по правилу Iх = х (здесь х — любой элемент V).
Введем понятие произведения линейных операторов из множества L(V, V).
Произведением операторов А и В из L(V, V) называется оператор АВ, действующий по правилу

Отметим, что, вообще говоря, АВ ≠ ВА.
Справедливы следующие свойства линейных операторов из L(V, V):
1°. λ (АВ) = ( λ А)В;
2°. (А + В)С = АС + ВС;
3°. А(В + С) = АВ + АС;
4°. (АВ)С = А(ВС).
Первое из свойств 1°-4° следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см. 5.2)) и определения произведения операторов (см. 5.3)).
Перейдем к обоснованию свойства 2°. Имеем, согласно (5.1), (5.2) и (5.3),

((А + В)С)х = (А + В)(Сх) = А(Сх) + В(Сх) = (АС)х + (ВС)х = (АС + ВС)х. (5.4)

Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство (А + В)С = АС + ВС. Свойство 2° установлено.
Совершенно аналогично доказывается свойство 3°.
Свойство 4° справедливо, поскольку, согласно определению (см. (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их п оследовательном действии, и поэтому линейные операторы (АВ)С и А(ВС) совпадают и, следовательно, тождественны.
Замечание 1. Свойство 4° позволяет определить произведение АВ. С любого конечного числа операторов из L(V, V) и, в частности, n-ю степень оператора А с помощью формулы

Очевидно, справедливо соотношение A n+m = A n A m .
Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из L(V, V).
Определение 1. Линейный оператор В из L(V, V) называется обратным для оператора А из L(V, V), если выполняется соотношение
АВ = ВА = I.
Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А -1 .
Из определения обратного оператора А следует, что для любого х Є V справедливо соотношение А -1 Ах = х.
Таким образом, если А -1 Ах = 0, то х = 0, т.е. если оператор А имеет обратный, то из условия Ах = 0 следует, что х = 0.
Мы будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам x₁ и x₂ отвечают различные элементы y₁ = Ax₁ и у₂ = Аx₂.
Если оператор А действует взаимно однозначно из V в V, то отображение А: V —> V представляет собой отображение V на V, т. е. каждый элемент у Є V представляет собой образ некоторого элемента x Є V:

Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что n линейно независимых элементов x₁,x₂. x_n пространства V отображаются посредством оператора А в n линейно независимых Ax₁,Ax₂. Ax_n элементов этого же пространства.
Итак, пусть x₁,x₂. x_n — линейно независимые элементы V.
Если линейная комбинация α₁ Ax₁ + α₂ Ax₂. + α_n Ax_n представляет собой нулевой элемент пространства V:

то из определения линейного оператора (см. п. 1 этого параграфа) следует, что A( α₁ x₁ + α₂ x₂. + α_n x_n) = 0.
Так как оператор А действует из V в V взаимно однозначно, то из последнего соотношения вытекает, что α₁ x₁ + α₂ x₂. + α_n x_n = 0. Но элементы x₁,x₂. x_n линейно независимы. Поэтому α₁ = α₂ = . = α_n = 0. Следовательно, элементы Ax₁,Ax₂. Ax_n также линейно независимы.
Отметим следующее утверждение.
Для того чтобы линейный оператор А из L(V, V) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.
Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V.
Это означает, что некоторым различным элементам x₁ и x₂, x₂ — x₁ ≠ 0 из V отвечает один и тот же элемент у = Ax₁ = Ах₂. Но тогда А(x₂ — x₁) = 0, и поскольку оператор А имеет обратный, x₁ — x₂ = 0. Но выше было отмечено, что x₂ — x₁ ≠ 0 . Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения.
Докажем достаточность этого условия.
Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из V в V.
Тогда каждому элементу у Є V отвечает элемент х Є V такой, что у = Ах. Поэтому имеется оператор А , обладающий тем свойством, что А -1 у = А (Ах) = х. Легко убедиться, что оператор А линейный. По определению А — обратный оператор для оператора А.
Достаточность условия утверждения также доказана.
Введем понятия ядра и образа линейного оператора.
Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства V, для которых Ах = 0. Ядро линейного оператора А обозначается символом ker А.
Если ker A = 0, то оператор А действует взаимно однозначно из V в V. Действительно, в этом случае из условия Ах = 0 вытекает х = 0, а это означает, что различным x₁ и x₂ отвечают различные у₁ = Ax₁ и у₂ = Ах₂ (если бы y₁ = у₂, то А(x₂ — x₁) = 0, т. е. x₁ = х₂ и элементы x₁ и x₂ не были бы различны).
Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие ker A = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Определение 3. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов у пространства V, представимых в виде у = Ах. Образ линейного оператора А обозначается символом im A (Символ im следует отличать от символа Im, используемого для обозначения мнимой части комплексного числа).
Замечание 2. Отметим, что если ker А = 0, то im A = V, и наоборот. Поэтому наряду с отмеченным выше условием ker A = 0 условие im A = V также является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Замечание 3. Очевидно, ядро ker А и образ im A — линейные подпространства пространства V. Поэтому можно рассматривать размерности dim (ker А) и dim (imA) этих подпространств.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.1. Пусть размерность dimV пространства V равна n, и пусть А — линейный оператор из L(V, V). Тогда

dim (im А) + dim (ker A) = n.

Доказательство. Так как ker А представляет собой подпространство V, то можно указать такое подпространство V₁ пространства V, что V₁ будет представлять собой прямую сумму V и ker A. Согласно теореме 2.10 dim V₁ + dim (ker A) = n. Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что dim V₁ = dim (im A).
Пусть dimV₁ = р, dim(im A) = q и y₁,y₂. y_q — базис в im A. Так как линейный оператор А действует взаимно однозначно из V₁ в im А, то каждому элементу у из im А можно поставить в соответствие единственный элемент х Є V₁ такой, что Ах = у. Поэтому в V₁ определены элементы x₁,x₂. x_q такие, что Ах_k = у_k, к = 1, 2. q. Элементы x₁,x₂. x_q линейно независимы, ибо если α₁ x₁ + α₂ x₂ + . + α _qx_q = 0, то A( α₁ x₁ + α₂ x₂ + . + α _qx_q) = α₁y ₁ + α₂y ₂ + . + α_qy _q = 0, а так как элементы y₁,y₂. y_q линейно независимы, то α₁ = α₂ = . = α_q = 0, т. е. и x₁,x₂. x_q линейно независимы. Таким образом, в V₁ имеется q линейно независимых элементов. Следовательно, р ≥ q (напомним, что р = dim V₁).
Предположим, что р > q. Добавим к линейно независимым элементам x₁,x₂. x_q элементы x_q+1,x_q+2. x_p так, что x₁,x₂. x_p образуют базис в V₁. Так как р > q и q = dim (im A), то элементы Ax₁,Ax₂. Ax_p , принадлежащие im A, линейно зависимы, и поэтому существуют не все равные нулю числа λ₁,λ₂. λ_p такие, что λ₁ Ax₁ + λ₂ Ax₂ + . + λ_p Ax_p = 0. Отсюда следует, что A( λ₁ x₁ + λ₂ x₂ + . + λ_p x_p) = 0. Так как А действует из V₁ в im A взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем λ₁ x₁ + λ₂ x₂ + . + λ_p x_p = 0.
Но x₁,x₂. x_p — базис в V₁. Поэтому λ₁ = λ₂ = . = λ_p = 0.
Выше указывалось, что не все λ₁,λ₂. λ_p равны нулю. Следовательно, предположение р > q ведет к противоречию. Таким образом, р = q.
Теорема доказана.
Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1.
Теорема 5.2. Пусть V₁ и V₂ — два таких подпространства n-мерного пространства V, что dimV₁ +dimV₂ = dim V. Тогда существует такой линейный оператор А из L(V, V), что V₁= im A и V₂ = ker А.
Доказательство. Пусть dim V₁ = p, dim V₂ = q. Выберем в пространстве V базис е₁, е₂. е_n так, чтобы элементы е₁, е₂. е_n принадлежали V₂. Далее в пространстве V₁ выберем некоторый базис g₁, g₂. g_p.
Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах е₁, е₂. е_n пространства V следующим образом:

Далее, если х = x₁e₁ + x₂e₂ + . + x_pe_p + x_p+1e_p+1 + . +x_ne_n,
то Ах = x₁g₁ + x₂g₂ + . + x_pg_p. Очевидно, оператор А линейный и обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана.
Введем понятие ранга линейного оператора А.
Назовем рангом линейного оператора А число, обозначаемое символом rang А и равное rang A = dim(im A).
Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта.
Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы оператор А из L(V, V) имел обратный А -1 необходимо и достаточно, чтобы rang A = dim V = n.
Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V). Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.3. Имеют место следующие соотношения:

rang AB ≤ rang A, rang AB ≤ rang В.

Доказательство. Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, im AB im A. Поэтому dim(im AB) ≤ dim(im A), т.е. rang AB ≤ rang А.
Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением (Так как АВ и ВА различные, вообще говоря, операторы, то включение im AB im B может не иметь места, и поэтому для доказательства второго соотношения rang AB ≤ rang В требуются специальные рассуждения): ker В ker AB.
Из этого включения следует, что dim (ker В) ≤ dim (ker AB).
Из последнего неравенства, в свою очередь, следует неравенство dim V — dim (ker AB) ≤ dimV— dim (ker В), а из него, согласно теореме 5.1, получаем dim(im AB) ≤ dim(im B), т.е. rang AB ≤ rang В.
Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов.
Теорема 5.4. Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V) и n — размерность V. Тогда rang AB ≥ rang A + rang В — n.
Доказательство. Согласно теореме 5.1

dim (im AB) + dim (ker AB) = n. (5.5)

Так как rang AB = dim(im AB), то из (5.5) получаем

rang AB = n — dim (ker AB). (5.6)

Поскольку, согласно теореме 5.1,

dim (ker A) + dim (ker В) = 2n — (rang A + rang В), (5.7)

то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство

dim (ker AB) ≤ dim (ker A) + dim (ker B). (5.8)

Действительно, из этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство

rang AB ≥ n — (dim (ker A) + dim (kerВ)),

из которого, согласно (5.7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы.
Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8). Пусть

dim (ker В) = q. (5.9)

Согласно теореме 5.3 dim (ker AB) ≥ q. Поэтому справедливо соотношение

dim (ker AB) = p + q, где р > 0. (5.10)

Так как ker В ker AB, то в подпространстве ker AB можно выб р ать базис x₁,x₂. x_p+q так, что элементы x_p+1. x_p+q образуют базис в ker В. При таком выборе x₁,x₂. x_p+q элементы Bx₁,Bx₂. Bx_p линейно независимы (если линейная комбинация , а это может быть, в силу выбора x₁,x₂. x_p, лишь при λ_k , = 0, к = 1, 2. р). Поэтому элементы Bx₁,Bx₂. Bx_p принадлежат ker А, т.е. р ≤ dim (ker А). Из этого неравенства и соотношений (5.9) и (5.10) вытекает требуемое неравенство (5.8). Теорема доказана.
Следствие из теорем 5.3 и 5.4. Если rang А = n (n — размерность V), то rang AB = rang ВА = rang В.
Указанное следствие вытекает из неравенств

rang AB ≤ rang В (теорема 5.3),

rang AB ≥ rang В (теорема 5.4 при rang А = n).

Из этих неравенств получим, что rang AB = rang В. Аналогично доказывается соотношение rang ВА = rang В.