Доказать что функция измерима по лебегу примеры

Измеримая функция

В математике и , в частности , теории меры , A измеримая функция является функцией от базовых наборов из двух измеримых пространств , что сохраняет структуру пространств: прообраз любого измеримого множества измеримо. Это прямо аналогично определению, что непрерывная функция между топологическими пространствами сохраняет топологическую структуру: прообраз любого открытого множества открыт. В реальном анализе измеримые функции используются в определении интеграла Лебега . В теории вероятностей, измеримая функция на вероятностном пространстве известна как случайная величина .

СОДЕРЖАНИЕ

Формальное определение

Варианты использования терминов

Выбор -алгебр в приведенном выше определении иногда является неявным и зависит от контекста. Например, для других топологических пространств обычно выбирается борелевская алгебра (содержащая все открытые множества). Некоторые авторы определяют измеримые функции как исключительно действительные по отношению к алгебре Бореля. [1] σ <\ displaystyle \ sigma>р , <\ displaystyle \ mathbb ,> C , <\ displaystyle \ mathbb ,>

Если значения функции лежат в бесконечномерном векторном пространстве , существуют другие неэквивалентные определения измеримости, такие как слабая измеримость и измеримость по Бохнеру.

Известные классы измеримых функций

• Случайные переменные по определению являются измеримыми функциями, определенными на вероятностных пространствах.
• Если и являются борелевскими пространствами , измеримая функция также называется борелевской функцией . Непрерывные функции являются функциями Бореля, но не все функции Бореля непрерывны. Однако измеримая функция — это почти непрерывная функция; см . теорему Лузина . Если функция Бореля оказывается частью карты, она называется сечением Бореля . ( Икс , Σ ) <\ displaystyle (X, \ Sigma)>( Y , Т ) <\displaystyle (Y,T)>f : ( X , Σ ) → ( Y , T ) <\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,T)>Y → π X , <\displaystyle Y\xrightarrow <

Свойства измеримых функций

• Сумма и произведение двух комплекснозначных измеримых функций измеримы. [3] То же самое и с частным, если нет деления на ноль. [1]
• Если и — измеримые функции, то и их композиция — тоже [1] f : ( X , Σ 1 ) → ( Y , Σ 2 ) <\displaystyle f:(X,\Sigma _<1>)\to (Y,\Sigma _<2>)> g : ( Y , Σ 2 ) → ( Z , Σ 3 ) <\displaystyle g:(Y,\Sigma _<2>)\to (Z,\Sigma _<3>)> g ∘ f : ( X , Σ 1 ) → ( Z , Σ 3 ) . <\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _<1>)\to (Z,\Sigma _<3>).>
• Если и являются измеримыми функциями, их композиция не обязательно должна быть -измеримой, если только две измеримые по Лебегу функции не могут быть построены таким образом, чтобы сделать их композицию неизмеримой по Лебегу. f : ( X , Σ 1 ) → ( Y , Σ 2 ) <\displaystyle f:(X,\Sigma _<1>)\to (Y,\Sigma _<2>)> g : ( Y , Σ 3 ) → ( Z , Σ 4 ) <\displaystyle g:(Y,\Sigma _<3>)\to (Z,\Sigma _<4>)> g ∘ f : X → Z <\displaystyle g\circ f:X\to Z>( Σ 1 , Σ 4 ) <\displaystyle (\Sigma _<1>,\Sigma _<4>)> Σ 3 ⊆ Σ 2 . <\displaystyle \Sigma _<3>\subseteq \Sigma _<2>.>
• (Точечно) верхняя грань , нижняя грань , верхний предел и нижний предел последовательности (а именно счетного числа) действительных измеримых функций также являются измеримыми. [1][4] предел последовательности измеримых функций измерим, где есть метрическое пространство (наделенная алгебра борелевском). В общем случае это неверно, если он неметризуем. Обратите внимание, что соответствующее утверждение для непрерывных функций требует более строгих условий, чем поточечная сходимость, таких как равномерная сходимость. [5][6] f n : X → Y <\displaystyle f_:X\to Y> Y <\displaystyle Y>Y

Неизмеримые функции

Действительные функции, встречающиеся в приложениях, обычно поддаются измерению; однако доказать существование неизмеримых функций несложно. Такие доказательства существенно опираются на аксиому выбора в том смысле, что теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора не доказывает существование таких функций.

В качестве другого примера, любая непостоянная функция неизмерима по отношению к тривиальной -алгебре, поскольку прообраз любой точки в диапазоне представляет собой некоторое собственное, непустое подмножество которого не является элементом тривиальной -алгебры. f : X → R <\displaystyle f:X\to \mathbb > σ <\displaystyle \sigma >Σ = < ∅ , X >, <\displaystyle \Sigma =\<\varnothing ,X\>,> X , <\displaystyle X,>Σ .

Глава 2. Интеграл Лебега.

Символом будем обозначать расширенное множество действительных чисел, т.е. множествос присоединенными несобственными числамии.

На множестве справедливы обычные правила арифметических действий, кроме следующих:

Сумма двух несобственных чисел иесть неопределенное число, также неопределенными являются результаты следующих операций,.

Пусть — некоторое подмножество. Будем рассматривать функции, определенные на множествеи принимающие значения в, т.е. функции могут принимать бесконечные значения.

Для произвольного введем множество

,

называемое Лебеговым множествомфункции.

Определение 2.1.1.Функцияназываетсяизмеримой по Лебегу, если

множество измеримо;

для любого множестваизмеримы.

Теорема 2.1.1.Следующие утверждения эквивалентны

функция измерима;

для любого множествоизмеримо;

для любого />множествоизмеримо;

для любого множествоизмеримо.

Доказательство.Теорема будет полностью доказана, если будет показана последовательность импликаций

Покажем, что из первого утверждения следует второе. Для произвольного справедливо представление. В силу измеримости функции, каждое множествоизмеримо, а пересечение счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество. Импликациядоказана.

Докажем . Для произвольного, справедливо представление. Отсюда следует вывод, что множествоизмеримо как разность двух измеримых множеств.

Импликация доказывается аналогично утверждению, используя представление. Каждый элемент пересечения является измеримым множеством, а так как элементов пересечения счетное число, то их пересечение есть измеримое множество.

Доказательство аналогично доказательству.

Теорема 2.1.1 утверждает, что в определении измеримой функции можно взять любое из множеств ,,,. Поэтому все перечисленные множества называютсяЛебеговыми множествамифункции.

Можно показать, что для измеримой функции множества вида,,,…измеримы для любых. При этом, из измеримости множествпри всехне следует измеримость функции.

Докажем справедливость некоторых свойств измеримых функций.

Теорема 2.1.2.Всякая функция, определенная на множестве нулевой меры, измерима.

Доказательство. Как известно, любое подмножество множества нулевой меры измеримо. Следовательно, Лебеговы множества функции имеют нулевую меру и потому измеримы.

Теорема 2.1.3.Пусть— измеримое подмножество и,, тогда функцияизмерима.

Теорема 2.1.4.Пустьизмерима и— измеримое подмножество. Тогда сужениеявляется измеримой функцией.

Доказательство.Справедливо равенство. Поэтому всякое Лебегово множество функцииизмеримо как пересечение двух измеримых множеств. Таким образом,измерима.

Теорема 2.1.5.Пусть функциязадана на объединении не более чем счетного числа измеримых множеств и имеет измеримое сужение на каждое из этих множеств. Тогдаявляется измеримой на объединении множеств.

Определение 2.1.2. Две функцииизаданные на одном и том же множестве называютсяэквивалентными, если мера множества, на которомине равны, равна нулю, т.е.

.

При этом говорят, что функции иравны почти всюду.

Теорема 2.1.6.Еслиизмерима и функцияэквивалентна, то функцияизмерима.

Доказательство.Множествопредставим в видеи обозначим. Сужениеявляется измеримой функцией. Сужение функциисовпадает с сужением, и потому измеримо. Так как, тоизмеримая функция. В итоге функцияопределена на объединении двух измеримых множеств и измерима на каждом из них. Применение теоремы 2.1.5 завершает доказательство.

Теорема 2.1.7. Функция непрерывная на отрезкеизмерима.

Доказательство.Множествоизмеримо. Для непрерывной функции прообразом любого замкнутого множества является замкнутое множество. Поэтому Лебеговы множестваизмеримы для любого.

Следствие 2.1.1.Всякая кусочно-непрерывная на отрезке функция измерима.

Следующая теорема утверждает, что множество всех измеримых функций, определенных на измеримом множестве , замкнуто относительно операций сложения и умножения на скалярный множитель.

Теорема 2.1.8.Пусть функциииизмеримы и— произвольный скаляр, тогдаиизмеримы на множестве.

Доказательство.Если, тоИными словами, Лебеговы множестваизмеримы при любом.

Для ненулевого , имеем

В силу измеримости функции оба множества измеримы. Таким образом, любая функция видаизмерима вместе с функцией.

Для доказательства второго утверждения покажем справедливость равенства

,

где — множество рациональных чисел.

Пусть , тогда. В силу всюду плотности множества рациональных чисел на прямой, найдется такое рациональное число, что. Тогдаи. Иными словами,и. Тогда. Включениепоказано.

Пусть , тогда найдется такое рациональное число, что. Отсюдаи. Следовательнои, тогда. Иными словами,. Обратное включение показано.

Применение теоремы 2.1.5 завершает доказательство.

Теорема 2.1.9.Если функцияизмерима, то измеримы функции,и, если функцияне обращается в нуль на множестве.

ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

В этой главе рассмотрим интеграл Лебега, представляющий собой далеко идущее обобщение интеграла Римана и, как следствие, обладающий гораздо большими, чем последний, возможностями. Основой для этого будет служить изложенная в предыдущей главе теория меры.

Измеримые функции

Опишем класс так называемых измеримых функций, играющих главную роль в теории интеграла Лебега. При этом мы будем рассматривать только вещественнозначные функции, т.е. функции со значениями из расширенного множества действительных чисел (значения -оо и +оо не исключаю гея).

Пусть Е некоторая сг-алгебра множеств (не обязательно на прямой), /z: Е R + а-аддитивная полная мера.

Символом Л(/ > с), где А € Е, будем обозначать множество тех х G А, для которых J(x) > с. Аналогичный смысл будут иметь символы А(/ > с), А(/ = с), A(f с). [1]

Замечание 1.2. Отметим, что, как следует из данного определения, измеримая функция определяется только па измеримом множестве. Поэтому, говоря об измеримой на некотором множестве функции, мы всегда будем предполагать это множество измеримым.

В дальнейшем слова » на этом множестве” будем опускать, если ясно, о каком множестве идет речь; ц-измери-мые функции и множества будем называть просто измеримыми.

Заметим также, что определение 1.1 заменится равносильным, если вместо множества А(/ > с) взять любое из множеств

А(/>с), Л(/ с). Покажем, что

Возьмем произвольное х G А(/ > с). Тогда найдется к € N 1 оо 1

такое, что х G А(/ > с -I- -), и потому х G (J А(/ > с + к ‘ *₌1 к

Пусть теперь х Е (J A(f > с + г). Тогда существует к=1 к

к € N такое, что х € А(/ > с-F-) и, тем более, х € А(/ > с), Л’

откуда следует, что

UA(/>c + i)CA(/>c), fc=l

и равенство (1) доказано.

По условию, множество A(f > с) измеримо при любом с € R. Следовательно, измеримы все множества, стоящие в правой части равенства (1), и, в силу теоремы 5.3.15, измеримо и множество Л(/ > с). Остальное очевидно.

Следующие утверждения доставляют многочисленные примеры измеримых функций.

Теорема 1.3. Любая функция, заданная на множестве нулевой меры, измерима.

Доказательство. Так как A(f > с) С Л, то, ввиду определения 1.1, остается учесть, что рассматриваемая нами мера полная, и потому любое подмножество множества нулевой меры измеримо. ?

Теорема 1.4. Если функция измерима на некотором множестве, то она измерима и на любом его измеримом подмножестве.

Доказательство. Пусть функция f измерима на множестве А. и G — его измеримое подмножество. Надо показать, что множество G(f > с) измеримо. Но это очевидно, поскольку G(f > с) = G Л Л(/ > с). ?

Теорема 1.5. Пусть функция f задана на множестве Л, представляющем собой объединение измеримых множеств Ak, образующих конечную или счетную совокупность. Тогда, если функция f измерима на каждом Л*, то она измерима и на всем множестве Л.

Доказательство. Прежде всего отметим измеримость множества Л.

Далее, так как функция f измерима на множествах Л*, то множества Ak(f > с) измеримы. Покажем, что

-4(/ > с) = U-М/ > 4

Возьмем произвольное х € А(/ > с). Тогда, поскольку А = (J А*, точка х будет принадлежать хотя бы одному к

А_к. А так как /(.г) > с, то имеем х € A_k(f > с), и, следовательно, х € IJ A_k(f > с).

Обратно, возьмем произвольное х Е U^(/ > о). Тогда к

поскольку Afc С А, то х € А(/ > с), и (2) имеет место. Отсюда следует, что множество А(/ > с) измеримо, и, по определению 1.1. функция / измерима на множестве А. ?

Пусть Е — ст-алгебра измеримых по Лебегу множеств на вещественной прямой. Рассмотрим несколько примеров измеримых (по Лебегу) функций, определенных па отрезке [ц,6]€Е.

Теорема 1.6. Любая непрерывная функция, определенная па отрезке [а, 6], измерима.

Доказательство. Вначале докажем замкнутость множества А = [a, b](f оо, в силу непрерывности f на [а, 6] получим /(xq) с). А поскольку отрезок [а, Ь] также измерим, то, по определению, функция f измерима на этом отрезке. ?

Введем понятие так называемой ступенчатой функции.

Определение 1.7. Заданная на отрезке [а, Ь] функция s называется ступенчатой, если существует разбиение отрезка [а, Ь]

а = Xq , x_k+i [ (А* = 0,1. п— 1) эта функция постоянна.

Теорема 1.8. Любая ступенчатая функция измерима.

Доказательство. Пусть А_к =]ггд.,^₊1[ и я (.г) = с_к при

х Е А^. Тогда поскольку множества

если с q, если с > Ck

измеримы, то, по теореме 1.5, измерима и функция з. ?

Пример 1. Ступенчатой является функция s, определенная на отрезке >0,1] правилом

О, если х = О,

1, если х 1]

Теорема 1.8 показывает, что измеримыми могут быть и разрывные функции. Приведем пример еще одной такой функции.

Пример 2. Функция Дирихле “0, определенная на отрезке [а, 6] правилом

, х _ ГО, если х иррационально, * х ) — ц, если х рационально,

Действительно, полагая А = [а, 6], будем иметь

[а, 6], если с 1.

И поскольку множество А(^ > с) измеримо, то измерима и функция Дирихле.

Приведем пример измеримой функции двух переменных.

Пример 3. Пусть А С [0,1] х [0,1]; х : [0,1] х [0,1] —> R — функция, определенная правилом

• 1, если х G А, О, если х А
• (она называется характеристической функцией множества А); // лебегово продолжение плоской меры Лебега т, описанной в примере 2 из § 5.2. Нетрудно видеть, что функция X будет //-измеримой, если //-измеримо множество А.

Пусть теперь снова Е — произвольная а-алгебра множеств, // — определенная на ней бг-аддитивпая полная мера. Покажем, что совокупность измеримых (по мере //) функций, заданных на произвольном множестве А € Е, замкнута относительно арифметических операций.

Лемма 1.9. Если заданная на множестве A G Е функция / измерима нк G. R произвольное число, то измеримы и функции f + А:, А;/, |/|, / , а если / ^ 0 на А, то измерима

Доказательство. Так как f — измеримая па множестве А функция, то измеримо множество А(/ > с — к) (ведь с произвольно). А поскольку А(/ + к > с) = A(f > с — к), то на множестве А измерима и функция f + к.

Измеримость функции к/ при к = 0 следует из теоремы 1.8. Ее измеримость при к 0 вытекает из очевидных равенств

-4(/ > |), если к > О, А(/ с) =

если с с) U А(/ 0.

Аналогично, функция f [2] измерима ввиду измеримости множества

., —₂ _ Г А если с с) — -4(1Л > если с >0.

Наконец, при / / 0 на множестве А имеем

А(/ > 0) А А(/ д).

Очевидно, нам достаточно рассмотреть случай, когда A(f д) 0. Пусть Г1, г₂. — все рациональные числа, расположенные в порядке возрастания. Покажем, что

-4(/ >д) = IJ [А(/ > г*) А А(д д), найдем рациональное число r_k €] r_k и д(х) r_k) А А(д д) С U [А(/ > г*) П А(д т>) П А(д г к) ПА(д r_k и д(х) д(х), и потому х € А(/ >д). Таким образом, имеет место включение

и [Ж/ > г к) n А(д д), к=1

а с ним и равенство (3), и множество A(f > д) измеримо.

Перейдем к основной части доказательства. По лемме 1.9, функция д + с измерима при любом с, и мы имеем две измеримые функции: f и д 4- с. Но тогда, в силу (3), измеримо множество А(/ > д + с) или, что то же, множество A(f — д > с). А это и означает измеримость функции f — д.

Измеримость функции f + д вытекает из тождества

• (Vz € Л) f(x) + д(х) = f [— 2 — [/(ж) — 2 > 4

Наконец, ввиду того, что

При изучении измеримых функций часто можно пренебречь их значениями на множестве нулевой меры. В связи с этим удобно пользоваться следующим определением.

Определение 1.11. Если некоторое свойство имеет место на множестве А € Е за исключением какого-либо его подмножества //-нулевой меры, то говорят, что это свойство имеет место д-почти всюду на множестве А.

Если ясно, о какой мере идет речь, то говорят просто ’’почти всюду”. Употребляют также выражения «почти везде, при почти всех х € А» и др.

Пример 4. Последовательность функций, определенных на отрезке [0.1] правилом

при п —> ос сходится почти всюду (по мере Лебега) на отрезке [0.1] к функции f = 0 (точнее, всюду, за исключением точки х = 1).

Теперь не будет вызывать вопросов

Определение 1.12. Заданные на одном и том же множестве А € Е функции / и д называются эквивалентными, если они равны па нем почти всюду.

При этом пишут f

д или f?=g.

Заметим, что на данном множестве эквивалентные функции могут бы ть равны и всюду, гак как //(0) = 0.

Теорема 1.13. Если функция / измерима на множество А € Е и f

д, то функция д также измерима на этом множество.

Доказательство. Положим G = A(f ф д’) и F = А G.

Так как функции f и д эквивалентны, то почти всюду на множестве А они равны, а значит, = 0. Но тогда измеримо множество F, откуда, в силу теоремы 1.4, следует, что функция f измерима на этом множестве.

Далее, поскольку на множестве F функции f и д равны, го на данном множестве измерима и функция д. Кроме того, по теореме 1.3, функция д измерима на множестве G. А так как А = G U F, то д измерима и на множестве А. ?

Выше нами показано, что класс измеримых на множестве А € Е функций замкнут относительно арифметических операций. Следующее утверждение устанавливает его замкнутость относительно операции предельного перехода.

Теорема 1.14. Пусть на множестве А € Е задана последовательность n] измеримых функций. Если в каждойточке х € А существует (конечный или бесконечный) lim /_п(х) = f(x), (4)

то f — измеримая на данном множестве функция.

Доказательство. Зафиксируем произвольное с и при натуральных fc, m, п положим

Множества Вп, очевидно, измеримы, и остается доказать равенство

Возьмем произвольное х Е А(/ > с). Тогда /(т) > с, и потому найдется т € N такое, что fix) > с Ч—. Но,

т ввиду (4), существует натуральное число к такое, что при всех п > к также будет f_nix) > сЧ—. Это означает, что

х € при всех п > к, а потому х € В^т и тем более х Е U ? Имеем включение

A(f > с) С (J /?« т,к

Обратно, пусть х € U В^ • Тогда существуют т,к, при тп,к

которых х Е Вт т.е. х Е Аш> при п > к. Это означает, что при п > к будет f_n(x) > сЧ—. Перейдем в этом неравенстве т

к пределу при п —> ос. Получим fix) > с Ч—. Отсюда

следует, что >(х) > с, т.е. х € А(/ > с), и потому имеет место включение

|Jb«C A(f>c). т,к

Таким образом, равенство (5), ас ни.м и теорема, доказаны. ?

Приведенное утверждение может быть усилено.

Теорема 1.15. Пусть на множестве А € S задана, последовательность n> измеримых функций и некоторая функция /. Если равенство

выполняется при почти всех х е А, то функция f измерима на этом множестве.

Доказательство. Пусть G множество тех х 6 А, при которых равенство (6) нарушается. По условию, ДС) = О, и. по теореме 1.3, функция f измерима на множестве G. Кроме того, в силу теоремы 1.14, эта функция измерима па множестве А (7, и, применяя теорему 1.5, получаем, что функция / измерима на множестве А. ?

Следующие несколько утверждений будут использованы при выяснении структуры измеримых функций.

Теорема 1.16 (.Лебег). Пусть на множестве А € Е задана последовательность измеримых и почти всюду конечных функций. Если эта последовательность почти всюду на А сходится к некоторой функции /, то при любом а > О

Доказательство. Прежде всего заметим, что, в силу теоремы 1.15, функция f измерима на множестве А. Поэтому, ввиду леммы 1.9 и теоремы 1.10. измеримы все функции /_п — /|, и, по определению 1.1, каково бы ни было о > 0, при п = 1,2. измеримы множества А(|/_п — /| > 0 и введем в рассмотрение множества

D = BU f|J В_п) U С, Л„(а) = .4(|/„ — /| > а),

ад = ия*Н, е=П л «(‘ 7 )-

Несложно убедиться в том, что все эти множества измеримы, a n(D) = 0.

Убедимся теперь в том, что

Возьмем х D. Тогда х С, и потому lim = /(#)• п—>оо

Кроме того, х В и х ? В_п. и, значит, величины f_n(x) (п = 1,2. ) и f(x) конечны. Поэтому для взятого 0 найдется no G N такое, что при п > По выполняется неравенство |Л(х) — f(x) По), а потому при указанных п имеем х R_n(&) и тем более х Е. откуда и следует включение (9).

Учтем еще, что А_п(а) С R_n(a), ввиду чего из (10) получим lim ii(A_n(a)) = 0. тг—>оо

А это и есть равенство (7), записанное в несколько ином виде. ?

Мы знаем различные виды сходимости последовательностей функций на множестве (поточечная, почти всюду, равномерная). Теорема 1.16 дает возможность ввести еще один важный вид сходимости.

Определение 1.17. Пусть на множестве А е Е задана последовательность измеримых функций. Говорят, что эта последовательность сходится к функции f по мере р, если для любого а > 0 выполняется равенство

При этом пишут f_n Л- f или просто f_n => /, если ясно, о какой мере идет речь.

С помощью понятия сходимости но мере теорему 1.16 можно сформулировать по-другому:

Теорема 1.18. Пусть на множестве A € Е задана последовательность n> измеримых и почти всюду конечных функций. Если эта последовательность почти всюду па А сходится к некоторой функции f, то опа сходится к этой функции и по мере. ?

Пример 5. На полуинтервале А = [0,1[ для каждого к € N определим к ступенчатых функций .

1, если х е —:—, — ;

j A i k _t (i = I,—,k).

если х € [0, -[, если х [0, -[; если х е [^,1[,

если х ? [-, 1[ и так далее.

Пронумеруем теперь данные функции, как указано ниже. Получим последовательность n> измеримых по мере Лебега функций, в которой

с _ г _ Д 2 ) f _ Д 2 ) f _ ДЗ) г _ ДЗ) f _ ДЗ)

Jl J1 ? J2 J1 ? J3 J2 •> J4 Ji •) Jb J2 » •/(> /3 ’

Покажем, что последовательность сходится на полуинтервале [0,1[ к функции f = 0 по мере Лебега д, т.е. f_n => 0.

Действительно, для любого а €]0,1[ имеем

A(fi > ст) = >а) = [0,1[= [ДА, |[ (г = 1, к = 1);

А(/₂ > а) = А(/ 2) > а) = [0, А[= [ДА, |[ (г = 1,к = 2);

A(fn > ст) = A(fi k) > 2,г > l,fc > 2);

,л — 1 г _г. г г — 1 1

при к ос, то /_п => 0 на полуинтервале [0,1[.

Замечание 1.19. Ни в одной точке х С [0,1[ последовательность , рассмотренная в примере 5, не сходится к 0, так как для любого т такое, что /_п(ж) = 1 > ст.

Таким образом, сходимость по мере сходимость более общего вида, чем сходимость почти всюду и тем более — всюду.

Естественно, возникает вопрос: если последовательность функций сходится по мере к некоторой функции /, то существуют ли еще функции, к которым сходится по мере данная последовательность? [4] Ответ дает

Теорема 1.20. Если последовательность функций сходится по мере /1 к некоторой функции /, то эта же последовательность сходится по этой мере и ко всякой функции г/, эквивалентной /.

Доказательство. Возьмем произвольное 0 и покажем, что при любом натуральном п имеет место включение

Если множество, стоящее в левой части (11), пусто, то доказывать нечего. Пусть это не так. Тогда возьмем произвольное х е A(f_n — д > ст), т.е. |/„(.т) — д(х) > а. Если при этом х е A(f 0 д), то включение (11) справедливо. Если же я A(f / д), т.е. f(x) = д(х), то из неравенства |/_п(^) — 9w > сг следует, что |/_Л(х) — f(x) > а, т.е. х € Л(|/_п — /| > ст)). Теперь из (11) получаем, что

МИ(|/» “ Sl > 0 и любого натурального п имеет место включение

Л(|/ — sl > J) и Д(|/„ — Sl > у). (12) —

Возьмем х, не принадлежащее правой части этого вклю-чения. Тогда х А(|/„ — /| > |) и х A(f_n — sl > т)Следовательно, f_n(x) — f(x) а), и включение (12) имеет место.

По условию, f_n => f и f_n => оо. А поскольку мера левой части (12) не превосходит меры его правой части, то ^(А(|/ — д > а)) = 0.

Ввиду произвольности а, при любом п € N теперь имеем 1 ©о 1

^(•4(|/ — -)) = 0. Поэтому д( U Л(|/ — р| > -)) = 0, и _п= 1 п

нам остается установить включение

• -4(/ / д) с U А(|/ — ,₉| > -).
• (13)

Возьмем произвольное х € А(/ д), т.е. f(x) 0 д(х).

Тогда найдется п € N такое, что |/(х) — д(х) | > —. Это

означает, что х A(f — д >—), и включение (13) становится очевидным. ?

Замечание 1.22. Ввиду теорем 1.20 и 1.21, можно сказать, что функция, к которой последовательность функций сходится по мере, единственна с точностью до множества нулевой меры.

Хотя из сходимости последовательности функций по мере, вообще говоря, не следует ее сходимость почти всюду, все же справедлива

Теорема 1.23 (Рисе). 1 Если последовательность n> измеримых функций сходится по мере к некоторой функции /, то данная последовательность содержит подпоследовательность k>, сходящуюся к f почти всюду.

’Фридьеш Рисе (1880 1956) — крупный венгерский математик.

Доказательство. Возьмем сходящуюся к 0 монотонную последовательность <гг_А.> положительных чисел и сходящий-00

ся положительный числовой ряд , с помощью которых А-1

построим некоторую подпоследовательность nk> последовательности •

А именно, в качестве /_П1 возьмем ту из функций этой последовательности, для которой

— /I > сг₂)) /). Таким образом, получим последовательность n._k> такую, что при k = 1,2. выполняется неравенство

II так как ряд ^2 s k сходится (в силу чего lim J2 ? к = 0), то А,-1 i->0 ° k=i

lim n(Ri) = 0, и, с учетом (15), получаем /z(Q) = 0.

г—>оо

Нам остается убедиться в том, что при х € А Q

к—>оо

и теорема будет доказана.

Пусть х G А Q. Тогда существует «о € N такое, что х $ Ri₀, т.е. х A(|/_tlfc — /| > а к) П Р И А: > г₀. Это означает, что при к. > г’о выполняется неравенство |/n_fc(^) — /(^)| оо равенство (16). ?

Замечание 1.24. Теперь мы можем сделать следующий вывод. Если последовательность n> измеримых функций сходится по мере к некоторой функции /, то эта функция также измерима. Действительно, по теореме Рисса, существует подпоследовательность nfc> данной последовательности, сходящаяся к f почти всюду. А так как она состоит из измеримых функций, то, в силу теоремы 1.15, измерима и функция /.

Теорема 1.16 (Лебега) позволяет доказать весьма важное утверждение.

Теорема 1.25 (Егоров). 1 Если на множестве А последовательность n> измеримых и почти всюду конечных функций сходится почти всюду к функции /, то для любого 8 > 0 существует измеримое множество Aj С А такое, что

1) м(40 > д(Л)- 0 выполняется равенство

и—>оо

Дмитрий Федорович Егоров (1869 1931) — крупный российский математик, один из основателей московской шкапы теории функций действител ьной перемен ной.

где R_n(o) = U .4(|Д — /| > а). Поэтому’, взяв, как и в к=п

теореме 1.23, сходящуюся к нулю монотонную последовательность <а*>положительных чисел и сходящийся поло-

жительный числовой ряд е*, можем найти множества к-1

Rn_k(Pk) (k = 1,2. ) такие, что

Возьмем теперь произвольное д’ > 0, и, воспользовав-00

шись сходимостью ряда 52 найдем ко € А г такое, что

Тогда для Q = |J ЯиДсц), ввиду (17) и (18), получим к=ко

^Q) р(А) — 6, поскольку, ввиду (19), ц<А) = ii(Q) + ц(А₉).

Далее, возьмем произвольное s > 0, и пусть х € Тогда х ? Q, и, следовательно, х R_nit(ak) при к > А:_о-Поэтому х $ A(f_n — /| > (7_k) при п > так что

Наконец, поскольку к > ко, а последовательность <гтд.>сходится к нулю, то к можем взять настолько большим, чтобы наряду с (20) выполнялось неравенство (аО — /(-г-)1 «*).

В этом неравенстве номер пд, не зависит от х € Л 0 существует измеримая и ограниченная на этом множестве функция д такая, что п) (п = 1,2. ),(? = А(|/| = оо).

.4, D -4₂ D . D .4„ D . и Q = Q ,4„,

то, ввиду замечания 5.2.13, lim ДЛ_п) = n(Q). Но, как сле-п—>оо

дует из условий теоремы, //-(Q) = 0. и потому lim /z(A_n) = 0.

Отсюда вытекает, что для произвольного е > 0 существует номер /го, при котором д(А_П0) если х е А

| 0, если х € А_по.

Ниже для удобства иногда будем полагать А = [а, Ь], а все свойства, связанные с мерой, будем понимать в смысле меры Лебега д.

Теорема 1.30 (Борель). Если f — заданная на отрезке [а, 6] измеримая и почти всюду конечная функция, то для любых а > 0 и 6 > 0 существует непрерывная на данном отрезке функция ip такая, что имеет место неравенство

М(А(|/ — V>| > а)) 0 некоторое число, то функцию ip можно выбрать так, что на этом отрезке окажется и |^| 0, найдем затем m € А г на-с

столько большое, что — f -c т

&2m — Ж—- с 0, после чего для каждого к = 1,2, . 2т построим замкнутое множество С Ak с мерой

и положим G = U Gk- Ясно, что [а, 6] G = |J (Ak G^), и,

ввиду (22), выполняется неравенство

/1([а,6]) — д(С) такую, что

//(А(| ст) С Л(/ / д) U 4(| ст), то и в данном случае имеет место неравенство (21). ?

Из теоремы Бореля вытекает

Следствие. Для всякой измеримой и почти всюду конечной на отрезке [а, 6] функции f существует последовательность непрерывных на [а, Ь] функций, сходящаяся к данной функции по мере р.

Доказательство. Возьмем сходящиеся к 0 монотонные последовательности <бг_п> и <г_п> положительных чисел и для каждого п € jV построим непрерывную на [а, Ь] функцию V’n такую, что выполняется неравенство

/4-4(1/ — 0_П| > СТ„)) 0 существует tiq € N такое, что при всех п > п₀ оказывается а_п ст„).

Отсюда, ввиду (25), и следует, что => /• ?

Применив к последовательности <ф_п> теорему 1.23 (Рис-са), выделим из этой последовательности подпоследовательность ’ сходящуюся к f почти всюду на [а, 6]. Таким образом, оказывается справедливой

Теорема 1.31 (Фреше). [6] Для всякой измеримой и почти всюду конечной на отрезке [а, Ь] функции f существует последовательность непрерывных на [а, Ь] функций, сходящаяся к данной функции на этом отрезке почти всюду. ?

Теперь мы можем доказать весьма важное утверждение, описывающее структуру измеримых на отрезке функций.

Теорема 1.32 (Лузин). Если f — заданная на отрезке [а, Ь] измеримая и почти всюду конечная функция, то для любого 6 > 0 существует непрерывная па этом отрезке функция р такая, что

/ 0 — некоторое число, то функцию ip можно выбрать так, что на этом отрезке оказывается и |(^| 0 найдется измеримое множество А$ С [а, Ь такое, что

причем на этом множестве последовательность <р_п> сходится к / равномерно. Следовательно, можем воспользоваться известной теоремой математического анализа [54, с. 430], согласно которой функция / оказывается непрерывной на множестве Л

Построим теперь замкнутое множество F С А$ с мерой

> р>(Аб) — -, что, ввиду (27), даст неравенство

//(F) > b — а — д’. (28)

Поскольку функция f непрерывна на А b — а — 6 4- д([а, b] F),

Похожие публикации:

1. Значения ячейки целевой функции не сходятся что это значит
2. Из двоичной в восьмеричную как переводить
3. Из чего состоит фунт
4. Известно что сосна выше березы а липа ниже березы изобрази стрелками отношение выше