Дан параллелепипед abcda1b1c1d1 докажите что
Правильный ответ на задачу
300. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р — середины сторон ВС, АВ и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна с, боковое ребро равно b.
Правильный ответ на задачу
301. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины B до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.
Правильный ответ на задачу
302. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см к 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды.
Правильный ответ на задачу
303. Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее вы
Правильный ответ на задачу
304. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.
Правильный ответ на задачу
305. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h, плоский угол при вершине равен α. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Правильный ответ на задачу
306. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет угол φ с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Правильный ответ на задачу
307. В правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = a. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру MA, и найдите площадь сечения. б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости α.
Правильный ответ на задачу
308. Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см,проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты граней пирамиды.
Правильный ответ на задачу
309. Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону и середину высоты.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
Ещё пару задачек связанных с параллелепипедами. Данные задания от остальных, рассмотренных ранее, отличаются тем, что здесь требуется найти площадь сечения.
Сами вычисления минимальны. Основная трудность у некоторых может возникнуть именно в построении самого сечения. Что ж, все рекомендации даны ниже, приступим:
315131. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребро AB = 2, ребро AD равно корню из пяти, ребро AA 1 = 2. Точка K — середина ребра BB 1 . Найдите площадь сечения, проходящего через точки A 1 , D 1 и K.
Построим параллелепипед, обозначим вершины и точку К. Затем построим плоскость, проходящую через точки A1, D1 и K:
Сечением является прямоугольник с соседними сторонами A 1 D 1 и A 1 K (обозначен синим контуром). Для того, чтобы найти его площадь необходимо знать отрезок A 1 K.
Отрезок A 1 D 1 = AD, так как параллельные рёбра у параллелепипеда равны:
Найдём A 1 K. По теореме Пифагора:
Таким образом, можем найти площадь сечения:
*Плоскость сечения обычно задаётся тремя точками, поэтому есть «соблазн» по данным трём точкам построить треугольник и найти его площадь. Совет: мысленно представьте, что как будто бы вы делаете срез ножом. Запомните, что у фигуры, которая является сечением, все её стороны должны лежать на гранях и рёбрах заданного тела.
**И ещё. Если в прямоугольном параллелепипеде плоскость проходит через любое его ребро и рассекает этот параллелепипед, то сечением всегда будет являться прямоугольник.
316552. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 24, AD = 10, AA1 = 22. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A1, A1 и C.
Построим параллелепипед, обозначим вершины. Затем построим плоскость, проходящую через точки A1, А1 и С:
Сечением является прямоугольник (обозначен синим цветом). Для того, чтобы найти его площадь необходимо найти АС. Ребро AA 1 нам известно.
По теореме Пифагора:
Таким образом, можем найти площадь сечения:
Ещё раз повторюсь: для того, чтобы задать плоскость достаточно три точки (и в задачах, обычно, она так и задаётся), но само сечение может проходить и через 4 и через 5 и более точек, лежащих на рёбрах тела ( такие тела как призмы, пирамиды, параллелепипеды).
Поэтому будьте внимательны при построении сечения. Кроме того, помните, что сечение это всегда плоская фигура!
*Конечно, существуют и другие способы задания сечений, но об этом не здесь.
Дан параллелепипед abcda1b1c1d1 докажите что
ЕГЭ Решебник | Математика запись закреплена
Решение стереометрических задач формата второй части ЕГЭ из пособия Година Р.К. от Wild Mathing
§4. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости
4.3. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1.
а) Докажите, что плоскость CA1F1 делит ребро BB1 пополам.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой A1F1, если стороны основания призмы равны 5, а боковые рёбра равны 11.
4.9. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF — правильный шестиугольник ABCDEF. Высота пирамиды втрое больше стороны основания и проходит через точку E.
а) Докажите, что угол между боковой гранью ASB и плоскостью основания равен 60°.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости ASB, если сторона основания пирамиды равна 4.
4.16. Боковые рёбра пирамиды SABC с вершиной S попарно перпендикулярны, M — произвольная точка на ребре BC.
а) Докажите, что плоскости AMS и BSC перпендикулярны.
б) Высота SH пирамиды равна 12. Прямая AH пересекает ребро BC в точке K. Найдите расстояние от точки K до прямой AS, если AS = 20.
4.19. Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — равные ромбы, причём плоские углы при вершине C острые.
а) Докажите, что AA1 ⟂ BD.
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости A1B1C1, если плоские углы при вершине C равны 60°, а AA1 = √6.
4.21. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Боковые рёбра SA и SD равны. Точка M лежит на боковом ребре SC и не совпадает с его концами. Плоскость α проходит через точку M параллельно прямым BC и SA.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α — равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если боковая сторона этой трапеции равна меньшему основанию, а все рёбра пирамиды равны 1.
§5. Угол между прямой и плоскостью
5.3. Дана треугольная пирамида SABC с основанием ABC; O — точка пересечения медиан треугольника ABC.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через прямую AB и середину отрезка SO, делит боковое ребро SC в отношении 1: 3, считая от вершины S.
б) Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, если пирамида правильная, а её высота составляет 4 от высоты SM боковой грани SAB.
5.7. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с основаниями ABC и A1B1C1. Скрещивающиеся диагонали BA1 и CB1 боковых граней AA1B1B и BB1C1C перпендикулярны.
а) Докажите, что AB : AA1 = √2: 1.
б) Найдите угол между прямой BA1 и плоскостью BCC1.
5.11. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Точка M — середина ребра SD.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки A, B и M .
б) Найдите угол между прямой AM и плоскостью CSF, если AB : SA = 1 : √19.
5.15. Основание ABCD призмы ABCDA1B1C1D1 — равнобедренная трапеция с основаниями AB и CD. Боковые стороны равны меньшему основанию CD, а их продолжения пересекаются под углом 60°.
а) Плоскость CA1D1 пересекает ребро AB в точке M. Докажите, что прямая D1M проходит через середину диагонали A1C.
б) Найдите угол между боковым ребром BB1 и плоскостью CA1D1, если призма прямая, а AA1 : AD = √3 : 2.
5.20. Основания ABC и A1B1C1 призмы ABCA1B1C1 — равносторонние треугольники. Отрезок, соединяющий центр O основания ABC с вершиной C1, перпендикулярен основаниям призмы.
а) Докажите, что плоскости ABC1 и OCC1 перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ABC1, если боковое ребро призмы равно стороне основания.
§6. Расстояние между скрещивающимися прямыми
6.2. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно прямым SA и BC.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и SC, если сторона основания равна 30, а боковое ребро равно 5√34.
6.13. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
а) Постройте точку пересечения прямой AC1 с плоскостью BA1D.
б) Найдите расстояние между прямыми BA1 и CB1, если параллелепипед прямоугольный, AA1 = √5, AB = BC = 2√10.
6.15. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Точка M — середина бокового ребра CS.
а) Постройте точку пересечения прямой BM с плоскостью ESF.
б) Найдите расстояние между прямыми BM и EF, если сторона основания пирамиды равна 2√6, а высота пирамиды равна 3√2.
6.16. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Точка P — середина бокового ребра CC1.
а) Постройте точку пересечения прямой BP с плоскостью AA1F.
б) Найдите расстояние между прямыми BP и AB1, если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 2√3
6.23. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1. Точка E — середина ребра AD. Вершины M и N правильного тетраэдра MNPQ лежат на прямой ED1, а вершины P и Q — на прямой, проходящей через точку A1 и пересекающей прямую BC в точке R.
а) Докажите, что BR = 2BC.
б) Найдите расстояние между серединами отрезков MN и PQ, если ребро куба равно а.
§7. Площадь сечения
7.4. Плоскость α проходит через сторону AB основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 и середину ребра B1C1.
а) Пусть M — точка пересечения плоскости а с прямой CC1. Докажите, что C1 — середина отрезка CM.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если все рёбра призмы равны а.
7.8. Плоскость α перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны AB и BC основания пополам.
а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.
7.11. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCBA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 6EA. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 4√2, AD = 12, AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.
7.19. Основанием пирамиды SABCD с равными боковыми рёбрами является прямоугольник ABCD. Плоскость α проходит через сторону AB основания и середину высоты пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если AB = 6, AD = 8, а высота пирамиды равна 6.
7.22. Дана треугольная призма ABCA1B1C1. Плоскость α проходит через прямую BC1 параллельно прямой AB1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра AC.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если призма правильная, сторона её основания равна 2√3, а боковое ребро равно 1.
§8. Объём многогранника
8.3. Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 6, а площадь сечения, проходящего через ребро AB и середину бокового ребра CD, равна 6√6.
а) Докажите, что плоскость сечения образует с плоскостью основания угол 45°.
б) Найдите объём пирамиды ABCD.
8.5. Точки M и N — середины рёбер соответственно CC1 и B1C1 треугольной призмы ABCA1B1C1 с основаниями ABC и A1B1C1.
а) Докажите, что плоскость BA1M делит отрезок AN в отношении 4 : 3, считая от точки A.
б) В каком отношении плоскость BA1M делит объём призмы?
8.6. Основания ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 — правильные шестиугольники, M — точка пересечения BD и FC .
а) Докажите, что плоскость BDF1 делит отрезок FC1 в отношении 3 : 4, считая от точки F.
б) В каком отношении плоскость BDF1 делит объём призмы?
8.13. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Через середины рёбер SC и AB проведена плоскость, параллельная диагонали BD основания.
а) Докажите, что эта плоскость делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
б) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?
8.18. На диагонали BD1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечена точка M, причём BM : MD1 = 1 : 3. Через точку M проведена плоскость α, параллельная прямым AB1 и CB1.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A.
б) В каком отношении плоскость α делит объём параллелепипеда?