Прототип задания B10 (№ 320178)
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?
Решение.
На клавиатуре телефона 10 цифр, из них 5 четных: 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому вероятность того, что случайно будет нажата четная цифра равна 5 : 10 = 0,5.
Прототип задания B10 (№ 320179)
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
Решение.
Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на три делятся три числа: 12, 15, 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3:10 = 0,3.
Прототип задания B10 (№ 320180)
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение.
Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.
Приведем другое решение.
Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.
Прототип задания B10 (№ 320181)
В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
Решение.
Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна 2 : 5 = 0,4.
Решение задач по теории вероятностей
В презентации рассмотрено решение задач В10 — задач по теории вероятностей. Использован материал с сайта reshu ege.ru.
Простейшие вероятностные задачи:
N — общее число элементарных событий
N(A) — число элементарных событий, благоприятствующих событию А
На клавиатуре телефона 10 цифр (от 0 до 9). Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет четной?
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.
Содержимое разработки
Липлянская Татьяна Геннадьевна,
учитель математики МОБУ «СОШ №3»
город Ясный Оренбургская область
Задачи по теории вероятностей
В10 (2)
Простейшие вероятностные задачи:
N — общее число элементарных событий
N(A) — число элементарных событий, благоприятствующих событию А
На клавиатуре телефона 10 цифр (от 0 до 9). Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет четной?
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
Правило умножения
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.
Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.
Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.
(объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В
(пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.
Определение: Суммой А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из двух событий.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
Определение: Произведением А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает событие А, и событие В.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий
В10. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Р(батарейка исправна) = 1 – 0,06 = 0,94
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий
Ответ: 0,8836
В10 . На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D .
Вероятность выбора пути на развилке равна: один из двух
Ответ: 0,0625
Выбор пути на развилках — события независимые
В10 На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу А.
Выбор пути движения — события несовместны
Ответ: 0,15625
Ответ: 0,0545
Перестановки
Перестановкой называется множество из n элементов, записанных в определённом порядке.
Теорема о перестановках элементов конечного множества: n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n! способами.
Найдите количество всех способов, которыми можно составить трехцветный флаг из горизонтальных полос красного, белого и синего цветов.
В 6 классе в среду 6 уроков: математика, литература, русский язык, английский язык, биология и физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить?
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
8. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся.
9. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Германии и 10 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что одиннадцатым будет выступать прыгун из Германии.
10. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,038. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступили 42 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
11. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
12. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
13. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
14. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 12, но не дойдя до отметки 4 часа.
15.Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся
16. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
17. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25 этих стекол, вторая — 75 . Первая фабрика выпускает 4 бракованных стекол, а вторая — 2 . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
18. Игральная кость бросается один раз. Вероятность того, что появится не менее 4 очков, равна.
19. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из урны поочередно вынимаются два шара (без возврата) Вероятность того, что оба шара будут черными, равна.
20. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
Тест по теории вероятностей
(по остаточным знаниям за школьный курс математики из открытого банка заданий к ЕГЭ)
Вариант 3
1. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А : « сумма очков равна 5»?
2. Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.
3. В среднем на 90 карманных фонариков приходится два неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.
4. В среднем из каждых 50 поступивших в продажу аккумуляторов 43 аккумулятора заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.
5. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2514 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе.
6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОО (в первый и второй раз выпадает орёл).
7. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 20 до 49 делится на пять?
8. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первый раз промахнулся, а последние четыре раза попал в мишени.
9. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Германии и 10 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что одиннадцатым будет выступать прыгун из США.
10. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,048. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 52 проигрывателя. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
11. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
12. На тарелке 10 пирожков: 2 с мясом, 4 с капустой и 4 с вишней. Илья наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется не с вишней.
13. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что в упаковке одна батарейка окажется с дефектом, а одна — исправная.
14. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
15. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон попадет в муху.
16. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,04 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
17. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45 этих стекол, вторая — 55 . Первая фабрика выпускает 4 бракованных стекол, а вторая — 3 . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
18. Игральная кость бросается один раз. Вероятность того, что появится не менее 3 очков, равна.
19. В урне 7 белых и 3 черных шара. Из урны поочередно вынимаются два шара (без возврата) Вероятность того, что оба шара будут белыми, равна.
20. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу C.