Какова вероятность того что наудачу взятое целое число из диапазона 0 999 больше 449

Какова вероятность того, что наудачу взятое целое число из диапазона $0$—$999$ бол…

Какова вероятность того, что наудачу взятое целое число из диапазона $0$—$999$ больше $449$?

Объект авторского права ООО «Легион»

Вместе с этой задачей также решают:

В некотором городе из $5000$ появившихся на свет младенцев $2075$ мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до сотых.

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем $36.9°C$, равна $0.84$. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени …

В секции 21 спортсмен, среди них два друга — Андрей и Михаил. Спортсменов случайным образом делят на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Михаил окажутся в одной…

На рисунке изображён лабиринт. Мышка заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и идти назад она не может, поэтому на каждом разветвлении мышка выбирает один из путей, по ко…

Какова вероятнсть того, что наудачу взятое целое число из диапазона 0 — 999 больше 499?

Какова вероятнсть того, что наудачу взятое целое число из диапазона 0 — 999 больше 499.

Экзаменационные задачи по математике, которые писали абитуриенты при поступлении в институт, зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно?

Экзаменационные задачи по математике, которые писали абитуриенты при поступлении в институт, зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно.

Какова вероятность того, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11?

Из числа шаров , занумерованных всеми двузначными числами, наудачу берется один?

Из числа шаров , занумерованных всеми двузначными числами, наудачу берется один.

Какова вероятность того, что номер взятого шара, оканчивается нулем?

Какова вероятность того что, наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?

Какова вероятность того что, наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?

Какова вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число содержит хотя бы одну тройку?

Какова вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число содержит хотя бы одну тройку?

Лотерейные билеты пронумерованы целыми числами от 1 до 200 включительно?

Лотерейные билеты пронумерованы целыми числами от 1 до 200 включительно.

Какова вероятность того что номер наудачу взятого билета кратен 7 или 5.

Из последовательности целых чисел от 1 до 10 наудачу выбирают два числа?

Из последовательности целых чисел от 1 до 10 наудачу выбирают два числа.

Какова вероятность того, что одно из них меньше 6, а другое больше 6?

Какова вероятность того, что у наудачу взятого четырехзначного числа сумма первых двух цифр равна 4?

Какова вероятность того, что у наудачу взятого четырехзначного числа сумма первых двух цифр равна 4?

Какова вероятность что наудачу взятое трехзначное число будет четным?

Какова вероятность что наудачу взятое трехзначное число будет четным.

В хлопке число длинных волокон составляет 80 %?

В хлопке число длинных волокон составляет 80 %.

Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 волокон длинных окажется а) три, б) не более двух.

На 500 шариковых ручек в среднем приходится 15 браковынныч?

На 500 шариковых ручек в среднем приходится 15 браковынныч.

Какова вероятнсть что взятая наугат ручка окажется исправной.

На этой странице сайта, в категории Математика размещен ответ на вопрос Какова вероятнсть того, что наудачу взятое целое число из диапазона 0 — 999 больше 499?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

В указанном диапазоне 1000 целых чисел, из них 999 — 449 = 550 чисел больших 449. Наудачу взятое из указанного диапазона число будет 550

Больше 449 с вероятностью 1θθθ = 0,55.

893. Последней с равной вероятностью окажется любая из карточек, по­этому вероятность того, что последней будет карточка с цифрой 3, равна 1 = 0,25.

894. Картинок нет на 400 — 36 = 364 страницах. Вероятность открыть книгу на одной из этих страниц равна 400 = 0,91.

895. Вероятность вытянуть выученный билет равна — = 0,4.

896. В партии 1050 — 630 = 420 деталей типа Б. Искомая вероятность

897. Вероятность того, что директор вызовет Свету или Диму, равна

898. Исходом в данном эксперименте будем считать упорядоченную чет­вёрку результатов каждого броска, например, решка, орёл, орёл, решка. Всего таких четвёрок 24= 16, из них 4 благоприятствуют событию «орёл выпал 1 раз». Искомая вероятность равна 146 = 0,25.

899. Под исходом в данном эксперименте будем понимать упорядоченную тройку чисел — очки, выпавшие на 1-й, 2-й и 3-й кости. Всего таких троек 63= 216. Событию «в сумме выпало 12 очков» удовлетворяют исходы:

(1;5;6), (1;6;5), (2; 4; 6), (2; 5; 5), (2; 6; 4), (3; 3; 6), (3;4;5), (3;5;4),

(3;6;3), (4; 2; 6), (4;3;5), (4; 4; 4), (4;5;3), (4; 6; 2), (5;1;6), (5; 2; 5),

(5;3;4), (5;4;3), (5; 5; 2), (5;6;1), (6;1;5), (6; 2; 4), (6;3;3), (6; 4; 2),

(6; 5; 1). Всего таких исходов 25. Искомая вероятность равна 2-57 ¼ 0,12.

900. 13-м равновозможным образом может выступать любой из спортс-

12 менов. Вероятность выступления 13-м спортсмена из России равна — =

901. Вероятность промаха при одном запуске равна 1 — 0,9 = 0,1. По формуле произведения событий вероятность промаха во всех четырёх за­пусках равна 0,1 ■ 0,1 ■ 0,1 ■ 0,1 = 0,0001.

Ответ: 0;0001.

902. Под исходом в данном эксперименте будем понимать упорядоченную пару чисел: очки, выпавшие на первой кости, и очки, выпавшие на второй кости. Всего имеется 36 равновозможных исходов — пары (1; 1), (1;2), (1; 3),…, (1; 6), (2; 1), (2; 2),…, (6; 6). Событию «в сумме выпало не менее 11 очков» благоприятствуют три исхода: (5; 6), (6; 5) и (6; 6). Вероятность этого события равна 36 = -∣1j ¼ 0,08.

903. Исправных парашютов 75 — 6 = 69. Вероятность того, что наугад взятый парашют будет исправен, равна 69 = 0,92.

904. Вероятность отсутствия брака в первой детали равна 15_ 8 = -7.

Если первая деталь исправна, то вторая деталь выбирается из 14-ти, сре­ди которых 6 без брака. Вероятность отсутствия брака во второй детали 6

(при отсутствии брака в 1-й) равна —. Вероятность исправности обеих

Деталей равна — ■ у^ = 0,2. C вероятностью 1 — 0,2 = 0,8 мастер прекра­тит работу на заводе.

905. Первый пропущенный урок — урок математики с вероятностью

6 = 2. Если первый пропущенный урок действительно по математике, то остаются пять уроков, и среди них 2 урока математики, вероятность про­пуска 2-го урока математики равна 2. Вероятность того, что оба пропу-

12 щенных урока — по математике, равна — ■ — = 0,2.

907.B10. Из 30 билетов по физике 6 содержат вопросы по механике, то­гда вероятность выбора билета с содержанием вопроса по механике равна — = 0 2

908.B10. 12 = 0,48 — вероятность того, что в случайно выбранном на 25

Экзамене билете школьнику достанется вопрос, касающийся Евразии. Ответ: 0;48.

909.B10. 20>2— 7 = !о = 0,65 — вероятность того, что в случайно вы­бранном билете нет вопроса по XVII веку.

910.B10. 404—— = 30 = 0,8 вероятность того, что в случайно выбранном

Билете не будет вопроса по тригонометрии.

911.B10. Участниц из России 36 — (6 + 3) = 27. Вероятность того, что 27 3

Первой будет выступать гимнастка из России, равна — = ^ = 0,75.

912.B10. Всего выступающих в соревнованиях 4 + 6 + 11 + 9 = 30 спортс­

Менов. Из Дании — 6 спортсменов, следовательно, вероятность того, что 61

Последним будет выступать спортсмен из Дании равна — = — = 0,2.

913.B10. Всего приехало выступать 5 + 3 + 4 = 12 учёных. Вероятность того, что пятым будет выступать учёный из России, равна 12 = 0,25.

914.B10. Всего выступают 16 спортсменов, из них 6 из Бразилии. Найдём

915.B10. Всего ламп 1200, неисправных 6. Тогда вероятность выбрать ис — 6

Правную лампу 1 — 1200 = 0,995.

Ответ: 0;995.

916.B10. Вероятность выбора телевизора без

1 — 73^ = 1 — 0,02 = 0,98.

917.B10. Вероятность выбрать утюг без дефекта 1 —

918.B10. При подбрасывании монеты два раза всего возможно 4 варианта при двух бросках монеты — ОР, РО, РР, OO. Из них решка выпала один раз в двух вариантах. Значит, вероятность равна 2:4 = 0,5.

919.B10. Четыре раза бросают монету Вероятность того, что орёл выпа­дет все четыре раза, равна (2) = ⅛ = 0,0625.

Ответ: 0;0625.

920.B10. В четвёртый день запланировано прочесть 50 — 3 ■ 14 = 8 (до­кладов).

Возможно, что доклад профессора Н. окажется в числе восьми остав­шихся докладов, потому вероятность того, что доклад профессора Н. ока­жется запланированным на последний день конференции, равна

921.B10. Вероятность того, что представитель России не выступает в пер­ют поровну, то есть по 28 : 4 = 7 человек. Вероятность того, что предста­витель России выступит во второй день, равна = 0,25.

Искомая вероятность равна 0,7 ■ 0,25 = 0,175.

Ответ: 0,175.

922.B10. Всего соревнуются 36 спортсменов. Василий Петров с равной вероятностью может в первом туре сыграть с любым из 35 остальных спортсменов, из которых 7 — россияне.

Искомая вероятность равна — = 0,2.

923.B10. Последней с равной вероятностью окажется любая из карточек, поэтому вероятность того, что последней будет карточка с цифрой 3, равна 1 = 0,25.

924.B10. Возможны 6 разных исходов при бросании первой кости, и столько же — при бросании второй, значит при бросании двух костей возможно 6 ■ 6 = 36 исходов. При этом, сумма 12 может вы­

Пасть только в одном случае — выпало 6 + 6. Значит, вероятность равна ⅛ = 0,027… ¼ 0,03.

925.B10. Под исходом в данном эксперименте понимаем двойку чисел — очки, выпавшие на 1-ой, 2-ой кости. Всего таких двоек 62= 36. Событию «в сумме выпадет 4 очка» удовлетворяют исходы: (1; 3), (3; 1), (2; 2). Всего таких исходов 3. Искомая вероятность равна 36 = 12 ¼ 0,08.

926.B10. По условию задачи из представленных (50 + 7) компьютеров только 50 качественных, то есть вероятность выбора наугад качествен — 50

Ного компьютера равна — ¼ 0,88.

927.B10. В числе участников конкурса 12 — 3 = 9 девочек. Следо­вательно, вероятность того, что первой будет выступать девочка, равна

928.B10. Всего задач 50, повышенного уровня — 12, тогда вероятность того, что наудачу взятая задача повышенного уровня, равна 12 = 0,24.

929.B10. 20 — 15 = 5 шаров красного цвета. Так как для всех шаров воз­можность быть вытащенными одинакова, то искомая вероятность равна

930.B10. У Максима всего 12 + 5 + 3 + 4 = 24 монеты. Из них досто­инством 5 рублей — 3 штуки. Вероятность того, что выпадет пятирублё­вая монета равна 24. Для любой фиксированной монеты вероятность то­го, что выпадет орёл, равна 1. Искомая вероятность равна произведению

2 • 234=0∙0625.

Ответ:0,0625.

931.B10. Так как было запланировано в первые два дня по 20 докладов, а в 3-й, 4-й и 5-й дни — остальные 24 доклада, т. е. по 8 докладов в день, то вероятность того, что доклад Васи П. окажется запланированным на 81

Предпоследний день конференции, равна 64 = 1 = 0,125.

Ответ: 0;125.

932.B10. На штрафстоянку не вывезли 48 — 12 = 36 автомобилей. Веро­ятность того, что автомобиль Маши не вывезли на штрафстоянку, равна

933.B10. Андрей Васильев — участник чемпионата из команды России, следовательно, он может играть с одним из 18 членов его команды, а всего участников без него 46—1 = 45. В первый день А. Васильев может сыграть с любым из них с равной вероятностью.

Отсюда, вероятность того, что он будет играть с каким-либо спортс — 18

Меном из России, равна 15∙ = 0,4.

934.B10. 400 — 48 = 352 (страницы), где нет картинок. Отсюда вероят-

Ность того, что на открытой странице картинок нет, равна ^^ = 0,88.

935.B10. 3 + 5 = 8 (три Светы и пять Дим).

В классе 20 человек, тогда вероятность вызова Светы или Димы равна

936.B10. Вероятность указанного события равна — = 0,15, так как все

Спортсмены имеют равную вероятность оказаться семнадцатыми.

937. Тетрадей в линию 15 — 9 = 6 штук. Вероятность того, что наугад…. … 6 2 Л.

Взятая тетрадь — в линию, равна — = — = 0,4.

938. Вероятность купить бракованный ноутбук равна 19 = 0,38.

939. Всего в магазине было 9 + 11 = 20 упаковок мороженого. Из них 11 упаковок — сливочного мороженого. Вероятность покупки сливочного мороженого равна: 21 = 0,55.

940. Всего на остановке стояло 16 + 9 = 25 автобусов и троллейбусов. Из них было 16 автобусов. Вероятность того, что Оля села в автобус равна отношению. z,1θ = 16 = 0;64.

941. C зелёным чаем 80 — 32 — 14 — 12 = 22 пакетика. Искомая вероятность равна 22 = 0,275.

942. В среднем 25 опечаток встречаются на 75 + 25 = 100 страницах, по­этому вероятность обнаружения опечатки на наугад выбранной странице равна120 = 0;25.

943. Вероятность того, что в пятницу последним будет обслуживаться клиент, посещавший эту парикмахерскую раньше, равна отношению

944. В концерте школьной самодеятельности выступают

945. + 7 + 8 + 4 = 25 учащихся, из них 7 девятиклассников. Вероятность того, что четвёртым не будет выступать девятиклассник, равна:

945. Вероятность того, что Артём взял наудачу 1 упаковку йогурта с клуб­ничной или банановой начинкой, равна отношению 21 + 15 36 3 ∩

946. В пятой группе (25 — 7 — 6) : 3 = 4 (человека). Вероятность того, что Пончиков попадёт в пятую группу, равна 4 : 25 = 0,16.

947. ОДЗ: Y >—1, У= 0.

< — log2 y+ log2 (у + 1) = log2 3, <log2 (у + 1)’ x

I 22x+2y. 22y— 2y2= 0; I 22X+4y = 2^2;

< (У + 1) X =3; <у + Г <у + 1’

1, Λ 2 >У2— 4у >3у у2 — 4у Реш0мвто-

I 2x + 4у = у2; I X = —2—; I У+j -2 Y.

Рое уравнен0е С0стемы. +1 = у — 4у, 6у = у3— 4у2+ У2 — 4у,

У3— 3у2— 10у = 0. Так как у = 0, раздел0м обе часш уравнен0я на у.

У2 — 3у — 10 = 0; у1= 5, у2= —2 — не удовлетворяет услов0Ю у >—1.

Если у = 5, то X = 5.

Первое уравнен0е. log0;52 + Iog2(5 + 1) = — log22 + Iog26 =

= log23, log23 = log23.

Второе уравнен0е. 47;5∙ 45 — 225= 225— 225= 0, 0 = 0.

948. Х >0. Прологар0фм0руем βepBoe уравнен0е βθ основан0ю 2.

Г У log2 X = 6; Г y(y — 1) = 6;

I iog2 χ = y -1; I i0g2 χ +1 = У:

Реш0м βepвoe уравнен0е. Y2— у —6 = 0; Y1 =3, Y2= -2.

1) Если у = 3, то log2x = 3 — 1, x = 4. (4; 3) — решен0е С0стемы.

2) Если у = —2, то log2x = —3, x 1.

J У ∙ ylogy x2— 4Y2— 3у= 0; Г yx2— 4у2 — 3у= 0;

8 logχ (xy) = logy X2; I 1 + logχ у= 2 logy х;

<y(x2 —14у —3) = 0, ½ χ2 — 4у — 3 = 0 w;

: 1+^iogyx=2i°syχ; I logy x+1=2iogyX:

Реш0м второе уравнен0е. logyх + 1 = 2 logy х, 2 logy x — logyx — 1 = 0.

Пусть logyX = t, 2t2— t —1 = 0; t1=1, t2= — 2.

1) logy X = 1, X = У. Подставим X = У в уравнение (*). Y[20]— 4у —3 = 0, у1;2= 2 ±√4 + 3; ух= 2±√7, у2= 2 -√7 — не удовлетворяет условию у >0. x = 2 + √7, у = 2 + √7.

1 — 4у2 — 3у = 0, 4у2 + 3у — 1 = 0; ух = —1, у2 = 1. у = —1

11

Не удовлетворяет условию у >0. Если у = 4∙ ,то x = ——= области допустимых значений проведены равносильные преобразования.

(2 + √7; 2 + √7); ^2; 1) — решения системы.

950. ОДЗ: x >0. Рассмотрим второе уравнение системы.

Xy+1— 3χ2. x = 0, x(xy — 312) = 0. Так как x = 0, то xy — 312= 0, xy = 312.

Подставим xy = 312в первое уравнение. у2— log3312= у, у2— у —12 = 0, ух =4; у2 = —3.

1) Если у = 4, то x[21][22]= 312; x4= 274; x = ±27. Так как x >0, то (27; 4) — решение системы.

(x — у)2= 1, x + у = 3;

4<χ—Y)2+χ = 4χ+1 5χ+y—I = 52

Если a >0, a = 1, то показательное уравнение af (x)= ag(x)равносильно уравнению f (x) = g(x), поэтому

(2; 1); (1; 2) — искомые решения системы.

Ответ: (2;1), (1;2).

952. Обозначим 3x= A, A > 0; 2 2 = B, B > 0, тогда

( 3a2— 3b2= 231, a a2— b2= 77, ’( (a —B)(a + b) = 77,

½ 2α — 2b = 14; a — B = 7; ^a — B = 7;

7 7(a + b) = 77, a a + b = 11, fa = 9, ^a — B = 7; ^a — B = 7; b = 7.

Итак, 3x= 9, 3x= 32, X = 2, 2y = 2, У= 1, Y = 2.

Преобразования равносильны. (2; 2) — решение системы.

953. Выпишем ОДЗ: X>6.

Обозначим log2(х —5) через t, тогда t2+1 —20 = 0, откуда t1=4, t2=—5.

1) Iog2(х — 5) =4 ) х = 21, является корнем;

2) Iog2(х — 5) = —5 ) х = 5+ 32 — не принадлежит ОДЗ.

954. ОДЗ: —2 <х <6. На ОДЗ преобразуем исходное уравнение: log2(6 — х) • 1одз(2х + 4) + 3 = log2(6 — х) + 31од2(2х + 4);

Log2(6 — х) (р3(2х + 4) — X — Х^з(2х + 4) — 1) = 0;

(⅛(6 — х) — X (log3 (2х + 4) — X = 0;

Из двух найденных корней входит в ОДЗ только корень х = —0,5.

955. ОДЗ: —2∣<х <2. Преобразуем исходное уравнение на ОДЗ: log3(2 — х) • р2(3х + 7) + 4 = 4log3(2 — х) +р2(3х + 7);

Log3(2 — х) (log2(3х + 7) — X — (к^^х + 7) — X = 0;

(log3(2 — х) — X (log2(3х + 7) — X = 0;

Log3(2 — х) — 1 = 0, 2 — х = 31, х = —1,

Р2(3х + 7) — 4 = 0; |_3х + 7 = 24; [х = —3.

Из двух найденных корней вход0т в ОДЗ только корень x = —1.

956. 5 sin 6x — 5 cos 6x — 2 sin 12x + 4 = 0;

(5 sin 6x — 5 cos 6x) + 2(1 — sin 12x) + 2 = 0;

5(sin 6x — cos 6x) + 2 sin26x + cos26x — 2sin 6x cos 6x + 2 = 0;

2(sin6x — cos 6x)2+ 5(sin6x — cos6x) + 2 = 0. •амена sin6x — cos6x = t, где — vz2 6 T 6 χ∕2, βр0вод0т уравнен0е к в0ду 2t2 + 5t + 2 = 0; t1= —2,

T2= — 2. ∏реобра×уем разность sin6x — cos6x в βро0зведен0е:

T = sin 6x — cos 6x = 2sin 6x —

• cos ¼ = p2 sin ^6x

—2 2 [— p2; p2]. Имеем: p2sin(βx —

957. ОДЗ: x = ¼k, x = ¼ + ¼n, K;n 2 Z. cos x—1+ 2 cos x = 0; 2 cos x

2 cos2x + cos x — 1 =

= 0; cos x = t; —1 6 T 6 1; 2t2+1 —1 = 0; t1= —1, решен0я cos x = —1 —

Не βр0надлежат ОДЗ. t2= 1, cos x =21, x = §¼ + 2¼m, m 2 Z.

958. ОДЗ: [ sin X = 0; χ = ¼k, k 2 Z.

3 sin x — 2 sin x + 1 = 0; 3 sin2x — 2 sin x — 1 = 0; sin x = t; 3t2— 2t — 1 = 0; sin x

T1= 1 — не βр0надлеж0т ОДЗ, t2= — 3.

SinX = —1, X =(—1)n+1arcsin 3 + 2¼n, N 2 Z.

Ответ: x =(—1)n+1arcsin 1 + 2¼n, n 2 Z.

959. ОДЗ: x = ¼m, M 2 Z.

Учитывая, что sin2x = 2 sin x cos x и ctg x = cos x, получаем уравнение sin x

4 sin2x + 3 cos2x = 1 — 2 cos x, которое сводится к уравнению

Cos2x — 2 cos x — 3 = 0. Производим замену cos x = T,—1 ≤ T ≤ 1. Уравне­ние T2—2t —3 = 0 имеет корни T1 = —1, T2 = 3, из которых только первый удовлетворяет условию —1 ≤ T1≤ 1. Из равенства cos x = —1 следует x = ¼ + 2¼n, n 2 Z, однако эти значения x не являются допустимыми для данного исходного уравнения, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

960. ОДЗ: x = ¼k, K 2 Z.

4cos2x + 4 = 2cos2x — 9cosx. Пусть cosx = t, T 2 [—1;1], тогда 2t2+ 9t+4 = 0. t1= —4 — не удовлетворяет условию T 2[—1;1], t2= — 2.

Cos x = — 1; x = §2¼ + 2¼n, n 2 Z.

. 2 sin2x + 11 sin x — 6 r,

961. P——- = 0.

Исходное уравнение равносильно системе:

( 2 sin2x + 11 sin x — 6 = 0,

Решим первое уравнение системы. Обозначим sin x = t, ∣t∣ ≤ 1.

T = 1, , z, ……… 1.1

2 t = —6 — не удовлетворяет условию ∣t∣ ≤ 1.

T = —6;

Вернёмся к исходной переменной, sin x = 1, ,

Уравнение равнос0льно системе <1 tg X =Р;

Tg x = 1;

, tg x = —1 , x = — ¼ + ¼n, n 2 Z.

Cos x + = 0, откуда cos x = 1, cos x = -*2-.

Следовательно, x = 2¼k 0 x = §¼ + 2¼k, k 2 Z.

Так0м образом, решен0е 0сходного уравнен0я свод0тся к решен0ю уравнен0я tg3x — 1 = 0 на QQ∙: tg3x = 1 ) tg x = 1 )

X = 4 + ¼K; K 2 Z. Уч0тывая 0Q∙, βθ,πy40M, что x = — + 2¼K; K 2 Z.

22 sin x — = 0, откуда sin x = 1, sin x = —-i2-.

Taκ0M o6pa×θM, решен0е 0сходного уравнен0я свод0тся к решен0Ю уравнен0я ctg5x + 1=0 на QQ∙: ctg5x = —1 ) ctgx = —1 )

) x = — + ¼k; k 2 Z. Уч0тывая ОДЗ, βoлyч0м, что x = — +2¼k; k 2 Z.

¾mβem:3¼ + 2¼K, k 2 Z.

965. 2sin2χ—sinx—1 = о , (sinxp1Ksinx+2 — cos x — cos x

ОД^: sin x >0; то есть x 2 (2¼n; ¼ + 2¼n); n 2 Z. Реш0м уравнен0е 12 cos4x — 2 cos2x — 2 = 0.

Пусть Cos2X = t, t ∈ [0; 1), тогда уравнение примет вид 12t2— 2t — 2 = 0, t1= —1, t2= 1 — корни уравнения. t1= — 1 не удовлетворяет условию T ∈ [0; 1).

Учитывая ОДЗ, имеем x = 4 §4 + 2¼n, n ∈ Z.

967. Исходное уравнение равносильно системе

2 cos2 x — 2 cos x + √2-1 = 0, r, _ , _

2 ■ 2 =0 Производя замену cos x = TИ учиты­

Вая тождественное равенство sin2x = 1 — cos2x, получаем

Возвращаясь к исходной переменной, получаем уравнение cos x = 1 — ^22.

Так как 1 — ^22 ∈ [—1; 1], то решением последнего уравнения является
X =§ arccos(1 — 22) + 2¼n, N 2 Z.

Ответ: §Arccos(1 — ^2) + 2¼n, n 2 Z.

968. Исходное уравнение равносильно системе

Г 4 sin2X-4sin x + 2√3 — 3 = 0, r, ___________________ _ . , _

I • 2 3 2=0 Производя замену sin x = TИ учиты­

Вая тождественное равенство cos2x = 1 — sin2x, получаем

4t2— 4t + 2√3 — 3 = 0, t2— 3 + 3t2= 0;

Возвращаясь к исходной переменной, получаем уравнение sin x = 1 — -^3•

Так как 1 — ^32 [—1; 1], то решением последнего уравнения является

X = (—1)narcsin(1 — ^3) + ¼n, n 2 Z.

Ответ: (—1)narcsin(1 — ^3) + ¼n, n 2 Z.

969. А) 2 cos2x — 2 sin 2x+1 = 0; 2 cos2x—4sin x cos x+sin2x+cos2x = 0; sin2x — 4 sin x cos x + 3cos2x = 0. Так как значения x, при которых cos x = 0, не удовлетворяют уравнению, то, разделив на cos2x, получим равносильное уравнение tg2x — 4 tg x + 3 = 0. Пусть Z = tg x. Тогда урав­нение z2— 4z + 3 = 0 имеет корни z1= 1 и z2= 3. Значит, tg x = 1,

X = 4 + ¼n и tg x = 3, x = arctg 3 + ¼k, n, K 2 Z — две серии решений.

6) Для первой серии решений из условия 0 ≤ ¼ + ¼n ≤ ¼ следует

—1 ≤ n ≤ 1, отсюда n = 0 и x = ¼. 44 4

Для второй серии решений из рисунка196 Видно, что условию

0 ≤ arctg 3 + ¼k ≤ ¼Удовлетворяет только число arctg 3, то есть k = 0.

Таким образом, условию X ∈ |_0; -¼j удовлетворяют корни X1=—И X2= arctg 3.

Ответ: а) -+ -k, arctg 3 + -k, k ∈ Z; б) ¼4; arctg 3.

970. А) (2√3 — 4) cos2x — (2√3 + 1) sin 2x + 4 = 0;

(2√3 — 4) cos2x — 2(2√3 + 1) sin x cos x + 4 sin2x + 4 cos2x = 0;

2 sin2x — (2χ∕3 + 1) sin x cos x ∙∖∕3 cos2x = 0.

Так как значения x, при которых cos x = 0, не удовлетворяют уравне­нию, то, разделив на cos2x, получим равносильное уравнение

2tg2x — (2√3 + 1) tg x + √3 = 0. Пусть Z = tg x. Тогда уравнение 2z2—(2√3 + 1)z + √3 = 0 имеет корни Z1 = √3 и z2= 1. Значит,

Б) Для первой серии решений из условия — ≤ — + — k ≤ 3-следует 3 ≤ k ≤ 7, k = 1 и x = 4-. Для второй серии решений 0 ≤ arctg 2 ≤ -, — ≤ arctg 2 + — ≤ 3-и, ввиду arctg 1 ∈ корни arctg[23] + — n ∈ [-;3¼].

¾mβem: a) ¼ + ¼k, arctg 2 + ¼k, К2 Z.6) 4¼, arctg 2 + ¼.

971. А)ОДЗ:Г sin x=0; ) χ = ¼k, K 2 Z.

Sin 2x + sin 2x = 3 cos x sin 2x; sin 2x( 2 cos2x — 3 cos x + 1) = 0. tg x

1. sin 2x = 0 — корн0 не входят в ОД. З.

2. 2 cos2x — 3 cos x + 1 = 0; (cos x — 1)(2 cos x — 1)=0;

Cos x = 1 — корн0 не входят в ОД. З.

Cos x = 1 ) x = § ¼3 + 2¼η, n 2 Z.

6) Найдём корн0 0× сер0Й х = §¼ + 2¼n, n 2 Z на отрезке [2¼; 3¼].

2¼ 6 §¼ + 2¼n 6 3¼; 2 6 § 1 + 2n 6 3;

972. А) ^амет0м, что значен0я х, βp0 которых cos х = 0, не являются ре — шен0ям0 данного уравнен0я. Раздел0в обе част0 уравнен0я на cos2х, по — 2 sin2x Sin X Cos X 3 Cos2X

2 tg2х + tg х — 3 = 0. О6означ0м t = tg х, тогда 2t2 + t — 3 = 0 ,

3 . Возвращаясь к 0сходной βеpеменной, βолуч0м t= —2 1

2) tg X = —3 ) X = —Arctg 2 + ¼k, K ∈ Z.

4 2 4 4 4 4 4

Корни серии x = — arctg 2 + ¼k лежат во II-й и IV-й четвертях, по­этому не принадлежат отрезку ∣^2¼; 57¼j, лежащему в I-й четверти.

973. А) Найдём ОДЗ: cos X = 0, откуда x = ¼ + 2¼t, T ∈ Z.

Cos2 X—Sin2 x

1 — tg2∣ + 3tg 2 + 3 = 0, то есть tg22 — 3tg | — 4 = 0, откуда tg 2 = —1,

Уравнение tgX = —1 имеет решение X = — ¼ + ¼n, n ∈ Z, от­куда x = — 2 + 2¼n, n ∈ Z. Уравнение tg 2 = 4 имеет решение 2 = arctg 4 + ¼n, n ∈ Z, откуда x = 2 arctg 4 + 2¼n, N ∈ Z. Все эти корни принадлежат ОДЗ.

Исходное уравнение имеет корни x = — ¼ + 2¼n, x = 2 arctg 4 + 2¼n, n ∈ Z.

6) Найдём корни, принадлежащие отрезку [3¼; 4¼].

Серии x = — ¼ + 2—n, n 2 Z3— ≤ 2—n — ¼ ≤ 4—; 7≤ n ≤ 9, так г 2 2’44’

Как n — целое, то n = 2, x = 4— — —= 7¼.

В серии X = 2 arctg 4 + 2—n, n 2 Z 3— ≤ 2 arctg 4 + 2—n ≤ 4—; 2 — — arctg 4 ≤ n ≤ 2 — — arctg 4. Так как arctg 4 2 (θ; ¼0 ,то 1 < n <2, но n — целое, а значит, решений нет.

Ответ: а) ——+ 2—n, 2 arctg 4+ 2—n, n 2 Z; б) 7¼.

974. А) Найдём ОДЗ: sin X = 0, откуда x = 2—l, L 2 Z.

W cosx . ( , X 1

Уравнение. 2 x— 4 ^ctg ^ — 1

Ctg2 X—1 — 4 ctg X—1 = 0, то есть ctg2 X—4 ctg 2 + 3 = 0, откуда

Ctg 2 = 1 или ctg 2 = 3.

Уравнение ctg X = 1 имеет решение x = 2 + 2—n, n 2 Z. Уравнение

Ctg 2=3 имеет решение x = 2 arcctg 3 + 2—n, n 2 Z. Все эти корни принадлежат ОДЗ.

6) Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку [6—; 7—].

В серии x = 2 + 2—n отрезку [6—; 7—] принадлежит корень при n = 3, то есть x = 6— + 2 = 1|щ.

В серии x = 2 arcctg 3 + 2—n отрезку [6—; 7—] принадлежит корень при n = 3, так как 2 arcctg 3 2 (0; —), x = 6— + 2 arcctg 3.

Ответ: а) 2+2—n, 2arcctg3 + 2—n, n 2 Z; б) —22, 6— + 2arcctg3.

Пусть T = √x + 3 + 2, T > 2,Тогда T + √t2— 7 = 3; √t2— 7 = 3 — T. Данное уравнение разрешимо только при 3 — T > 0, то есть T ≤ 3. При T ≤ 3 имеем: t2— 7 = (3 — t)2; t2— 7=9 — 6t + t2, откуда T = 22. T = 2∣∙ удовлетворяет условию 2 ≤ t ≤ 3. Вернёмся к замене: √x + 3 + 2 = 22;

√X+3= 2; X + 3=4; X = — 23 = —25. 3 9 9 9

976. Область допустимых значений исходного уравнения находится из <4×2+ 14x — 98 >О, <(x + 7)(x — 3,5) >0,

Системы <8x + 2 = 0, o<x = —0,25,

: 2x — 7 = 0; : x = 3,5.

Таким образом, ОДЗ: (—1; —7] U (3,5; +∞).

Возвращаясь к уравнению, получим

Корни данного уравнения: X1 = —7, x2= 3,5, X3 = —1,5. Таким обра­зом, c учётом ОДЗ корнем данного уравнения является x = —7.

977. (2x — 5)√2×2— 9x + 4 + 10 = 4x; (2x — 5)√2×2— 9x + 4 = 2(2x — 5);

^f 2x — 5 = 0,

X = 0, x = 4,5.