Какие трехзначные числа делятся на 11

Помогите . Найдите все трехзначные числа, делящиеся на 11, у которых сумма цифр делится на 11.

Признак деления на 11 — число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на чётных местах равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах.

Пусть сумма цифр числа равна 11, тогда средняя его цифра равна 0, а две крайние дают в сумме 11. Все такие числа — 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902 (8 чисел).

Пусть сумма цифр числа равна 22, тогда оно не делится на 11. Сумма цифр на нечётных местах меньше 22, а сумма цифр на чётных местах меньше 11, значит, ни 22, ни 0 разность цифр на чётных и нечётных местах равна быть не могла, значит, она равна 11. Пусть сумма крайних цифр — a, а средняя цифра — b, тогда (a — b = 11) и (a + b = 22), но b — целое число, значит, сумма цифр числа не может равняться 22.

Так же сумма цифр трёхзначного числа не может равняться 0 и быть больше 33.

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

• Признак делимости на 2
• Признак делимости на 3
• Признак делимости на 4
• Признак делимости на 5
• Признак делимости на 6
• Признак делимости на 7
• Признак делимости на 8
• Признак делимости на 9
• Признак делимости на 10
• Признак делимости на 11

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

• 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
• 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а .

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

• в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
• в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

• 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
• 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
• 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

• 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
• 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
• 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
• 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

• 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
• 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а .

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

• 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
• 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

• 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
• 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

• 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
• 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Признак делимости на 11

Делимость на 11 зависит от соотношения сумм цифр, стоящих на чётных и нечётных местах в записи числа.

Признак делимости на 11

Натуральное число делится без остатка на 11, если сумма цифр, стоящих в записи числа на чётных местах:

— равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах;

— отличается от неё на 11.

Например, для шестизначного числа признак делимости на 11 схематично выглядит так:

Определить, какие из чисел делятся на 11:

572; 415; 2673; 6395; 1529; 88132; 70811; 717541; 619109.

572 делится на 11, так как сумма цифр, стоящих на нечетных местах 5+2, равна числу 7, стоящему на чётном месте.

415 не делится на 11, так как сумма цифр 4+5=9, стоящих на нечётных местах, не равна числу 1, стоящему на чётном месте, и 1=(4+5)-8.

2673 делится на 11, потому что сумма цифр 6+3=9, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр 2+7=9, стоящих на нечётных местах.

6395 не делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 3+5=8. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 6+9=15. Суммы отличаются на 7.

1529 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 1+2=3. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 5+9=14. Суммы отличаются на 11: 1+2=(5+9)-11.

88132 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 8+3=11. Равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, 8+1+2=11.

70811 не делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 0+1=1. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 7+8+1=16. Суммы отличаются на 15.

717541 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 1+5+1=7. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 7+7+4=18. Суммы отличаются на 11: (7+7+4)=(1+5+1)+11.

Этот же признак делимости на 11 после изучения отрицательных чисел можно сформулировать иначе.

Если сумма цифр числа, взятых с чередующимися знаками, делится на 11, то и само число делится на 11.

Например, для шестизначного числа делимость на 11 в этом случае схематично можно изобразить так:

Для чисел из примера выше проверка делимости на 11, соответственно, выглядит так: