Какие из перечисленных величин являются случайными величинами

Какие из перечисленных величин являются случайными величинами

• Open with Desktop
• View raw
• Copy raw contents Copy raw contents

Copy raw contents

Copy raw contents

1. Основной предмет изучения математической статистики — это:

• методы восстановления свойств случайных величин на основании конечных выборок из них

1. Предположим, что в некоторой популяции вероятность дожить до 60 лет равна 0.5, а вероятность дожить до 80 лет — 0.2. Какова вероятность, что случайно выбранный шестидесятилетний представитель популяции доживёт до восьмидесяти? Запишите ответ с точностью до одного знака после десятичной точки.

• 0.4

1. 1% женщин больны раком груди. У 80% женщин, больных раком груди, маммограмма верно выявляет наличие заболевания; кроме того, она даёт ложный положительный результат (то есть, неверно показывает наличие рака) для 9.6% здоровых женщин. У какого процента женщин, маммограмма которых дала положительный результат, есть рак груди? Запишите ответ с точностью до одного знака после десятичной точки (знак процента не нужен).

• 7.8%

1. Какова вероятность того, что при независимом подбрасывании двух симметричных шестигранных кубиков хотя бы на одном из них выпадет больше трёх очков? Запишите точный ответ в виде десятичной дроби.

• 0.75

1. Какие из перечисленных ниже распределений являются дискретными?

• биномиальное
• Бернулли
• Пуассона

1. Какое распределение точнее всего описывает число выпавших шестёрок при десяти независимых подбрасываниях симметричного шестигранного кубика?

• биномиальное с параметрами n = 10 , p = 1 / 6

1. Какие из приведённых величин, скорее всего, можно моделировать с помощью распределения Пуассона?

• количество изюма в булочках с изюмом
• количество людей в очереди на кассу в супермаркете

1. Распределение каких из приведённых величин, скорее всего, похоже на нормальное?

• выборочное среднее выборки объёма 100
• погрешность барометра
• срок службы батарейки

1. С помощью каких из приведённых функций можно задавать распределения непрерывных случайных величин?

• функция плотности вероятности
• функция распределения

1. Функция распределения случайной величины обладает следующими свойствами:

• если у случайной величины существует плотность, то в каждой точке x функция распределения равна интегралу от плотности от минус бесконечности до x
• она принимает значения на отрезке [0, 1]

You can’t perform that action at this time.

You signed in with another tab or window. Reload to refresh your session. You signed out in another tab or window. Reload to refresh your session.

Непрерывные случайные величины

В теории вероятностей приходится иметь дело со случайными величинами, все значения которых нельзя перебрать. Например, нельзя взять и «перебрать» все значения случайной величины $X$ — время службы часов, поскольку время может измеряться в часах, минутах, секундах, миллисекундах, и т.д. Можно лишь указать некоторый интервал, в пределах которого находятся значения случайной величины.

Непрерывная случайная величина — это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал.

Функция распределения непрерывной случайной величины

Поскольку перебрать все значения непрерывной случайной величины не представляется возможным, то задать ее можно с помощью функции распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$.

Свойства функции распределения:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3. $F\left(x\right)$ — неубывающая.

Пример 1. Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\<\begin
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end\right.$. Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(0,3;0,7\right)$ можем найти как разность значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала, то есть:

$$P\left(0,3 < X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Плотность распределения вероятностей

Функция $f\left(x\right)=‘(x)$ называется плотностью распределения вероятностей, то есть это производная первого порядка, взятая от самой функции распределения $F\left(x\right)$.

Свойства функции $f\left(x\right)$.

1. $f\left(x\right)\ge 0$.

3. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ — это $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^<\beta >_<\alpha >$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

Пример 2. Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\<\begin
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end\right.$. Тогда функция плотности $f\left(x\right)=‘(x)=\left\<\begin
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\ x>1
\end\right.$

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

Пример 3. Найдем $M\left(X\right)$ для случайной величины $X$ из примера $2$.

Дисперсия непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле

Пример 4. Найдем $D\left(X\right)$для случайной величины $X$ из примера $2$.

Тест с ответами по теории вероятности

1.Указать верное определение.Суммой двух событий называется:

а ) Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновменно;

б ) Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или оба вместе;+

в ) Новое событие, состоящее в том, что происходит одно но не происходит другое.

1. Указать верное определение.Произведением двух событий называется:

а ) Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновременно;+

б ) Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или оба вместе;

в ) Новое событие, состоящее в том, что происходит одно но не происходит другое.

1. Указать верное определение.Вероятностью события называется:

а ) Произведение числа исходов, благоприятствующих появлению события на общее число исходов;

б ) Сумма числа исходов, благоприятствующих появлению события и общего числа исходов;

в ) Отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события к общему числу исходов;+

1. Указать верное утверждение. Вероятность невозможного события:

а ) больше нуля и меньше единицы;

в ) равна единице;

1. Указать верное утверждение. Вероятность достоверного события:

а ) больше нуля и меньше единицы;

в ) равна единице;+

1. Указать верное свойство. Вероятность случайного события:

а ) больше нуля и меньше единицы;+

в ) равна единице;

1. Указать правильное утверждение:

а ) Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий;

б ) Вероятность суммы независимых событий равна сумме вероятностей этих событий;

в ) Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий;+

1. Указать правильное утверждение:

а ) Вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий;

б ) Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий;+

в ) Вероятность произведения несовместных событий равна произведению вероятностей этих событий;

1. Указать верное определение.Событие это:

а ) Элементарный исход;

б ) Пространство элементарных исходов;

в ) Подмножество множества элементарных исходов.+

1. Указать правильный ответ. Какие события называются гипотезами?.

а ) любые попарно несовместные события;

б ) попарно несовместные события, объединение которых образует достоверное событие;+

в ) пространство элементарных событий.

1. Указать правильный ответ Формулы Байеса определяют:

а ) априорную вероятность гипотезы,

б ) апостериорную вероятность гипотезы,

в ) вероятность гипотезы.+

1. Указать верное свойство. Функция распределения случайной величины Х является:

а) невозрастающей; б) неубывающей; +в) произвольного вида.

1. Указать верное свойство. Равенство справедливо для случайных величин:

а) независимых+; б) зависимых; в) всех.

1. Указать верное свойство. Равенство справедливо для случайных величин:

а) независимых;+ б) зависимых; в) всех.

1. Указать правильное заключение.Из того, что корреляционный момент для двух случайных величин Х и Y равен нулю следует:

а) отсутствует функциональная зависимость между Х и Y;

б) величины Х и Y независимы;+

в) отсутствует линейная корреляция между Х и Y;

1. Указать правильный ответ. Дискретную случайную величину задают:

а) указывая её вероятности;

б) указывая её закон распределения;+

в) поставив каждому элементарному исходу в соответствие

1. Указать верное определение. Математическое ожидание случайной величины — это:

а) начальный момент первого порядка;+

б) центральный момент первого порядка;

в) произвольный момент первого порядка.

1. Указать верное определение. Дисперсия случайной величины- это:

а) начальный момент второго порядка;

б) центральный момент второго порядка;+

в) произвольный момент второго порядка.

1. Указать верную формулу. Формула для вычисления среднего квадратического отклонения случайной величины:

1. Указать верное определение. Мода распределения –это:

а) значение случайной величины при котором вероятность равняется 0,5;

б) значение случайной величины при котором либо вероятность, либо функция плотности достигают максимального значения ;+

в) значение случайной величины при котором вероятность равняется 0.

1. Указать верную формулу. Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

1. Указатьвернуюформулу. Плотность нормального распределения случайной величины определяется по формуле:

1. Указать правильный ответ Математическое ожидание случайной величины распределенной по нормальному закону распределения , равно:

1. Указать правильный ответ. Математическое ожидание случайной величины распределенной по показательному закону распределения , равно:

1. Указать правильный ответ.Дисперсия случайной величины распределенной по показательному закону распределения , равна:

1. Указатьвернуюформулу. Для равномерного распределения математическое ожидание определяется по формуле :

1. Указать верную формулу. Для равномерного распределения дисперсия определяется по формуле :

1. Указать неверное утверждение. Свойства выборочной дисперсии:

а) если все варианты увеличить в одно и тоже число раз, то и дисперсия увеличится в такое же число раз.

б) дисперсия постоянной равняется нулю.

в) если все варианты увеличить на одно и тоже число, то выборочная дисперсия не изменится.+

1. Указать верное утверждение. Оценкой параметров называют:

а) Представление наблюдений в качестве независимых случайных величин имеющих один и тот же закон распределения.

б) совокупность результатов наблюдений;

в) всякую функцию результатов наблюдения.+

1. Указать верное утверждение. Оценки параметров распределений обладают свойством:

1. Указать неверное утверждение.

а) Метод максимального правдоподобия используется для получения оценок;

б) Выборочная дисперсия является смещенной оценкой для дисперсии;

в) В качестве статистических оценок параметров используются несмещённые, несостоятельные, эффективные оценки.+

1. Указать неверное утверждение. Для функции распределения двумерной случайной величины справедливы свойства:

1. Указатьневерноеутверждение:

а) По многомерной функции распределения всегда можно найти одномерные (маргинальные) распределения отдельных компонент.

б) По одномерным (маргинальным) распределениям отдельных компонент всегда можно найти многомерную функцию распределения.

в) По многомерной функции плотности всегда можно найти одномерные (маргинальные) плотности распределения отдельных компонент.

1. Указать правильное утверждение. Дисперсия разности двух случайных величин определяется по формуле:

1. Указать неверное утверждение. Формула вычисления совместной плотности :

1. Указать неверное утверждение. Случайные величины X и Y называются независимыми, если:

а) Закон распределения случайной величины X не зависит от того, какое значение приняла случайная величина Y.

в) коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y равен нулю.

1. Указать правильный ответ. Формула является:

а) аналогом формулы Байеса для непрерывных случайных величин;

б) аналогом формулы полной вероятности для непрерывных случайных величин;+

в) аналогом формулы произведения вероятностей независимых событий для непрерывных случайных величин.

1. Указать неверное определение:

а) Начальным моментом порядка двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения на , т.е.

б) Центральным моментом порядка двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения центрированных на , т.е.)

в) Корреляционным моментом двумерной случайной величины (X,Y) называется математическое ожидание произведения на , т.е. +

1. Указать правильный ответ. Дисперсия случайной величины распределенной по нормальному закону распределения , равна:

1. Указатьневерноеутверждение. Простейшими задачами математической статистики являются:

а) выборка и группировка статистических данных, полученных в результате эксперимента;