Отрицательная степень
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
Например, a n — степень, где:
- a — основание степени,
- n — показатель степени.
Читается такое выражение как a в степени n.
Если говорить проще, то степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 3 = 2 · 2 · 2, где:
- 2 — основание степени,
- 3 — показатель степени.
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Степень с отрицательным показателем
Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:
К примеру, 4 в минус 2 степени — это 1/4 2 , 2 в минус 3 степени — это 1/2 3 , 3 в минус 1 степени — это 1/3, 10 в минус первой степени — это 1/10 или 0,1.
Степени с отрицательным показателям помогают компактно записывать крайне малые или постоянно уменьшающиеся величины. Например, одну миллиардную долю (0, 000 000 001) можно записать как 10 в минус 9 степени (10 -9 ). В школьной программе такие величины — редкость: чаще всего используют 10 в минус 1 степени или 2 в минус 1 степени.
Чтобы разобраться, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями.
Деление степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
Поэтому если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
a 3 : a 6 =a 3 — 6 = a -3
Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
Действия с отрицательными степенями
Умножение отрицательных степеней
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, так же как и при умножении положительных степеней:
a m · a n = a m + n
Деление отрицательных степеней
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя, так же как и при делении положительных степеней:
Возведение дроби в отрицательную степень
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
Возведение произведения в отрицательную степень
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель произведения отдельно: 
Калькулятор степеней
Предлагаем попробовать наш калькулятор степеней, который поможет возвести в степень онлайн любое число.
Использовать калькулятор очень просто — введите число, которое вы хотите возвести в степень, а затем число — степень и нажмите на кнопку «Посчитать».
Примечательно то, что наш онлайн калькулятор степеней может возвести в степень как положительную, так и отрицательную. А для извлечения корней на сайте есть другой калькулятор.
Как возвести число в степень.
Давайте рассмотрим процесс возведения в степень на примере. Пусть нам необходимо возвести число 5 в 3-ю степень. На языке математики 5 — это основание, а 3 — показатель (или просто степень). И записать это можно кратко в таком виде:
Возведение в степень
А чтобы найти значение, нам будет необходимо число 5 умножить на себя 3 раза, т. е.
5 3 = 5 x 5 x 5 = 125
Соответственно, если мы хотим найти значение числа 7 в 5 степени, мы должны число 7 умножить на себя 5 раз, т. е. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Другое дело когда требуется возвести число в отрицательную степень.
Как возводить в отрицательную степень.
При возведении в отрицательную степень необходимо использовать простое правило:
как возводить в отрицательную степень
Все очень просто — при возведении в отрицательную степень мы должны поделить единицу на основание в степени без знака минус — т. е. в положительной степени. Таким образом, чтобы найти значение
2 -3
Отрицательная степень
Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».
Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.
Как возвести число в отрицательную степень
Запомните! 
Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:
- «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
- заменить отрицательную степень на положительную ;
- возвести число в положительную степень.
Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.
a −n =
| 1 |
| a n |
,где a ≠ 0, n ∈ z ( n принадлежит целым числам).
Примеры возведения в отрицательную степень.
- 6 −2 =
1 6 2 =
1 36 - (−3) −3 =
1 (−3) 3 =
1 −27 = −
1 27 - 0,2 −2 =
1 0,2 2 =
1 0,04
Запомните!
Любое число в нулевой степени — единица.
Примеры возведения в нулевую степень.
- (
2 3 ) 0 = 1
- (−5) 0 = 1
Как найти 10 в минус 1 степени
В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:
Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему « 10 » в минус первой степени равно « 0,1 ».
Возведем « 10 −1 » по правилам отрицательной степени. Перевернем « 10 » и запишем её в виде дроби «
| 1 |
| 10 |
» и заменим отрицательную степень « −1 » на
положительную степень « 1 ».
10 −1 =
| 1 |
| 10 1 |
Возведем « 10 » в « 1 » степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.
10 −1 =
| 1 |
| 10 1 |
=
| 1 |
| 10 |
Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.
10 −1 =
| 1 |
| 10 1 |
=
| 1 |
| 10 |
= 0,1
По такому же принципу можно найти « 10 » в минус второй, третьей и т.д.
Запомните!
Для упрощения перевода « 10 » в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один ».
Проверим правило выше для « 10 −2 ».
Т.к. у нас степень « −2 », значит, будет всего один ноль (положительное значение степени « 2 − 1 = 1 ». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним « 1 ».
Рассмотрим « 10 −1 ».
Т.к. у нас степень « −1 », значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени « 1 − 1 = 0 ». Сразу после запятой ставим « 1 ».
То же самое правило работает и для « 10 −12 ». При переводе в десятичную дробь будет « 12 − 1 = 11 » нулей и « 1 » в конце.
Как возвести в отрицательную степень дробь
Запомните!
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:
- «перевернуть» дробь;
- заменить отрицательную степень на положительную ;
- возвести дробь в положительную степень.
Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.
Перевернем дробь «
| 10 |
| 3 |
» и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
(
| 10 |
| 3 |
) −3 = (
| 3 |
| 10 |
) 3
Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель « 3 », и знаменатель « 10 » в третью степень.
(
| 10 |
| 3 |
) −3 = (
| 3 |
| 10 |
) 3 =
| 3 3 |
| 10 3 |
=
| 27 |
| 1000 |
Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.
(
| 10 |
| 3 |
) −3 = (
| 3 |
| 10 |
) 3 =
| 3 3 |
| 10 3 |
=
| 27 |
| 1000 |
= 0,027
Как возвести отрицательное число в отрицательную степень
Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.
Запомните!
Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное .
Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .
Перевернем число « −5 » и заменим отрицательную степень « −2 »
на положительную « 2 ».
(−5) −2 = (−
| 1 |
| 5 |
) 2 =
Так как степень « 2 » — четная , значит, результат возведения в степень будет положительный . Поэтому убираем знак минуса при раскрытии скобок.
Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель « 1 »,
и знаменатель « 5 ».
(−5) −2 = (−
| 1 |
| 5 |
) 2 =
| 1 2 |
| 5 2 |
=
| 1 |
| 25 |
Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень
Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.
Запомните!
Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная .
Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная .
Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь « (−
| 2 |
| 3 |
) » в « −3 » степень.
По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
(−
| 2 |
| 3 |
) −3 = (−
| 3 |
| 2 |
) 3 =
Теперь определим конечный знак результата возведения в « 3 » степень.
Степень « 3 » — нечетная , значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь останется отрицательной .
Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель « 3 », и знаменатель « 2 » в третью степень.
(−
| 2 |
| 3 |
) −3 = (−
| 3 |
| 2 |
) 3 = −
| 3 3 |
| 2 3 |
= −
| 27 |
| 8 |
Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.
(−
| 2 |
| 3 |
) −3 = (−
| 3 |
| 2 |
) 3 = −
| 3 3 |
| 2 3 |
= −
| 27 |
| 8 |
= − 3
| 3 |
| 8 |
Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.
Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная , значит, результат возведения будет положительным .
(−
| 9 |
| 11 |
) −2 = (−
| 11 |
| 9 |
) 2 =
| 11 2 |
| 9 2 |
=
| 121 |
| 81 |
= 1
| 40 |
| 81 |
Свойства отрицательной степени
Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.
В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.