Число сочетаний
Число сочетаний из n по k элементов очень важное понятие в комбинаторике. Оно показывает сколько существует вариантов выбора k элементов из множества n элементов. При нахождении числа сочетаний используют формулу:
Формула числа сочетаний
Читается обозначение следующим образом — «C из n по k».
В сочетаниях не имеет значение порядок, в котором расставлены элементы множества k. Для быстрого нахождения сочетаний в режиме онлайн используйте наш калькулятор:
Найти число сочетаний онлайн
Рассмотрим понятие сочетаний на примере.
Пример нахождения числа сочетаний
Вспомним известную лотерею «5 из 36» и ответим на вопрос, сколько возможных комбинаций в ней существует. Итак, из множества в 36 элементов мы выбираем множества элементов по 5. Подставив значения в формулу получим результат:
Далее, вспомним, что такое факториал и упростим выражение. Так как 36! = 1 * 2 * 3 * … * 36, а 31! = 1 * 2 * 3 * … * 31, то числитель и знаменатель можно упростить.
Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики
Комбинаторика (комбинаторный анализ) — раздел дискретной математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Например, сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды, состоящей из 36 карт, или сколькими способами можно составить очередь, состоящей из10 человек и т.д. Каждое правило в комбинаторике определяет способ построения некоторой конструкции, составленной из элементов исходного множества и называемой комбинацией. Основная цель комбинаторики состоит в подсчете количества комбинаций, которые можно составить из элементов исходного множества в соответствии с заданным правилом. Простейшими примерами комбинаторных конструкций являются перестановки, размещения и сочетания.
Рождение комбинаторики связано с работами Б. Паскаля и П. Ферма по поводу азартных игр, большой вклад внесли Лейбниц, Бернулли, Эйлер. В настоящее время интерес к комбинаторике связан с развитием компьютеров. Нас в комбинаторике будет интересовать возможность определения количественно различных подмножеств конечных множеств для вычисления вероятности классическим способом.
Для определения мощности множества, которое соответствует тому или иному событию, полезно разобраться с двумя правилами комбинаторики: правило произведения и правило суммы (иногда их называют принципами умножения и сложения соответственно).
Правило nроизведения: пусть из некоторого конечного множества
1-й объект можно выбрать k1 способами,
Тогда произвольный набор, перечисленных n объектов из данного множества можно выбрать k1, k2, …, kn способами.
Пример 1. Сколько существует трехзначных чисел с разными цифрами?
Решение. В десятичной системе исчисления десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. На первом месте может стоять любая из девяти цифр (кроме нуля). На втором месте — любая из оставшихся 9 цифр, кроме выбранной. На последнем месте любая из оставшихся 8 цифр.
По правилу произведения 9·9·8 = 648 трёхзначных чисел имеют разные цифры.
Пример 2. Из пункта в пункт ведут 3 дороги, а из пункта в пункт – 4 дороги. Сколькими способами можно совершить поездку из в через ?
Решение. В пункте есть 3 способа выбора дороги в пункт , а в пункте есть 4 способа попасть в пункт . Согласно принципу умножения, существует 3×4 = 12 способов попасть из пункта в пункт .
Правило суммы: при выполнении условий (1.1), любой из объектов можно выбрать k1+k2+…+kn способами.
Пример 3. Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, содержащей 5 красных, 7 синих, 3 зеленых карандаша.
Решение. Один карандаш, по правилу суммы, можно выбрать 5+7+3 = 15 способами.
Пример 4. Пусть из города в город можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города в город ?
Решение. Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3 = 6 способов.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий различие принципов умножения и сложения.
Пример 5. В магазине электроники продаются три марки телевизоров и два вида видеомагнитофонов. У покупателя есть возможности приобрести либо телевизор, либо видеомагнитофон. Сколькими способами он может совершить одну покупку? Сколько различных комплектов, содержащих телевизор и магнитофон, можно приобрести в этом магазине, если покупатель собирается приобрести в паре и телевизор, и видеомагнитофон?
Решение. Один телевизор можно выбрать тремя способами, а магнитофон – другими двумя способами. Тогда телевизор или магнитофон можно купить 3+2=5 способами.
Во втором случае один телевизор можно выбрать тремя способами, после этого видеомагнитофон можно выбрать двумя способами. Следовательно, в силу принципа умножения, купить телевизор и видеомагнитофон можно 3×2 = 6 способами.
Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.
Пример 6. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин. После чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?
Решение. Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин – 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор способами.
Пример 7. Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. В данной задаче мы должны рассмотреть три случая:
а) все письма рассылаются по разным адресам;
б) все письма посылаются по одному адресу;
в) только два письма посылаются по одному адресу.
Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n1 = 6×5×4 = 120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n2 = 6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами, и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n3=3×6×5=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно
Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору наудачу k элементов из n. При этом элементы: а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращений); б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).
1. Схема выбора без возвращений
Размещением из n элементов по k называют любой упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n — элементному множеству. Различные размещения отличны друг от друга или порядком элементов, или составом.
Число размещений из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле
Пример 8. В соревнованиях участвует 10 человек, трое из них займут 1, 2, 3 место. Сколько существует различных вариантов?
Решение. В этом случае важен порядок распределения мест. Число различных вариантов равно
Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n. Число перестановок из n элементов обозначают Pn и вычисляют по формуле
Пример 9. Сколько существует способов расстановки 10 книг на полке?
Решение. Общее число способов расстановки определяется как число перестановок (1.3) из 10 элементов и равно Р10 = 10! = 3628 800.
Сочетанием из n элементов по k называется любой набор из k элементов, принадлежащих n — элементному множеству. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом.
Число сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле
Пример 10. Сколько существует способов выбора трех человек из десяти.
Решение. В данном случае при выборе для нас важен только состав наборов по три человека, порядок выбора роли не играет, поэтому, в отличие от предыдущего примера, число способов выбора подсчитаем по формуле сочетаний (1.4)
2. Схема выбора с возвращениями
Если при выборе k элементов из n, элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с nовторениями.
Число размещений с повторениями:
Пример 11. В гостинице 10 комнат, каждая из которых может разместить четырех человек. Сколько существует вариантов размещения, прибывших четырех гостей?
Решение. Каждый следующий гость из 4 может быть помещён в любую из 10 комнат, так как рассматривается идеализированный опыт, поэтому общее число размещений, по формуле размещений с повторениями (1.5), равно
Если при выборе k элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с nовторениями. Число сочетаний с повторениями из n элементов по k определяется:
Пример 12. В магазине продается 10 видов тортов. Очередной покупатель выбил чек на три торта. Считая, что любой набор товаров равновозможен, определить число возможных заказов.
Решение. Число равновозможных заказов по формуле (1.6) равно
Примеры решений задач по комбинаторике
Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать 3 дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв. В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).
Как наука комбинаторика возникла еще в 16 веке, а теперь ее изучает каждый студент (и зачастую даже школьник). Начинают изучение с понятий перестановок, размещений, сочетаний (с повторениями или без), на эти темы вы найдете задачи и ниже. Наиболее известные правила комбинаторики — правила суммы и произведения, которые чаще всего применяются в типовых комбинаторных задачах.
Ниже вы найдете несколько примеров задач с решениями на комбинаторные понятия и правила, которые позволят разобраться с типовыми заданиями. Если есть трудности с задачами — заказывайте контрольную по комбинаторике.
Калькуляторы онлайн и примеры
Задачи по комбинаторике с решениями онлайн
Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой — 6 мужчинам, по третьей — 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.
Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?
Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?
Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?