Сколько существует таких натуральных чисел n
Задание 18. Для действительного числа x обозначим через [x] наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, , так как .
а) Существует ли такое натуральное число n, что ?
б) Существует ли такое натуральное число n, что ?
в) Сколько существует различных натуральных n, для которых ?
а) Для суммы дробей можно записать неравенство:
б) Аналогично, имеем:
Необходимо подобрать такое n, чтобы:
в) Значение n должно больше или равно числу 1945∙306, покажем это:
А все возможные натуральные числа n можно представить в виде:
где p, q, r, s – остатки от деления на 2, 3, 9 и 17 соответственно. Очевидно, что величина p может принимать только значения 0 или 1 (при делении на 2). Аналогично величины: q = <0, 1, 2>; r = <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8>, s = <0, 1, …, 16>. Общее количество вариантов будет равно наименьшему общему кратному чисел 2, 9 и 17 (число 3 отбрасываем, т.к. оно учитывается числом 9). Имеем общее число вариантов:
Сколько существует таких натуральных чисел N,что среди чисел от 1 до N ровно 30% делятся на 3? а)0
б)1
в)2
г)3
д)бесконечно много
От 1 до 10n на 3 делятся [10n/3] чисел ([x] — целая часть x), и это равно 30% от 10n, т.е. 3n.
Заметим, что x — 1 < [x] <= x. Поэтому 10n/3 — 1 < [10n/3] <= 10n/3
10n/3 — 1 < 3n <= 10n/3
Решаем двойное неравенство. Нестрогое неравенство выполняется всегда, решаем строгое:
10n/3 — 1 < 3n
n/3 < 1
n < 3
Итак, n = 1 или 2. На всякий случай проверяем:
N = 10*1 = 10: на 3 делятся 3 числа (3, 6, 9), их 30% от 10.
N = 10*2 = 20: на 3 делится 6 чисел (3, 6, 9, 12, 15, 18), их 30% от 20.
Сколько существует таких натуральных N, больших 700
Сколько существует таких натуральных N, больших 700, что среди чисел 3N, N−700 , N+35, 2N ровно два четырехзначных?
2N и 3N всегда будут больше, чем N-35 и N-700. Рассмотрим три варианта.
1. Пусть 2N и 3N будут четырехзначными (2N>700*2 = 1400, 3N>700*3 = 2100) и 9999>=3N>2N → N<=3333
Значит нужно определить те числа, для которых N-700 и N+35 будут трехзначными.
999+700=1699>N, N<999-35=964
Таким образом, получаем, что удовлетворяющее условию N принадлежит отрезку [701, 964] 264 числа
2. Если 2N четырехзначное, а 3N — нет:
2N<10000, 3N>10000
n<5000, N>3333
Тогда для чисел из этого отрезка, N-700 принадлежит (2633, 4300) N-35 принадлежит (3298, 4965)
Получаем три четырехзначных числа
3. Пусть теперь и 2N, и 3N — более чем четырехзначные
N>=5000
Тогда 2N>=10000, 3N>=15000
N-700 принадлежит [4300, +inf)
N-35 принадлеит [4965, +inf)
Здесь нам подойдут те N, для которых N-35 всё ещё 4хзначное.
N-35<=9999, N<=9964
Так N-700<=9264, т.е. тоже четырехзначное
Итого N может принадлежать [5000, 9964]
4965 значений.