Сколько целых решений имеет неравенство -18
Для того, чтобы определить сколько целых решений имеет неравенство — 18 < х < 174 выполним следующие действия.
Алгоритм решения задачи
- вспомним определение целого числа;
- выясним входят ли концы отрезка в решение неравенства;
- найдем число отрицательных решений неравенства;
- найдем число положительных решений неравенства;
- найдем количество целых решений неравенства.
Определение целого числа
Давайте вспомним определение целого числа в математике.
Натуральные числа, противоположные им числа и 0 называются целыми числами.
Теперь выясним входят ли концы отрезка в решение неравенства.
Знаки в заданном неравенстве — 18 < х < 174 строгие и при изображении этих точек на координатной прямой они будут выколотыми и не будут являться решением неравенства.
Найдем количество целых решений неравенства — 18 < х < 174
Чтобы посчитать число целых решений неравенства можно поступить двумя способами:
1) выписать все целые числа удовлетворяющие неравенству и сосчитать их;
2) методом логических рассуждений вычислить число отрицательных решений, число положительных решений и не забыть про ноль.
Давайте решим наше задание вторым способом.
Рассмотрим отрезок (- 18; 0). На нем целых чисел, удовлетворяющих нашему неравенству будет 17 (так как -18 не входит и число 0 мы посчитаем отдельно).
0 будем считать за 1 решение неравенства.
Рассмотрим отрезок (0; 174). На нем целых чисел, удовлетворяющих неравенству 173.
Сложим число всех найденных решений на каждом из рассмотренных отрезков и получим:
102. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству x 2 — x — 30 < 0?
Решебник по алгебре за 9 класс (А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина и др., 2010 год),
задача №102
к главе «Неравенства и системы неравенств».
Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER
Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)
Нажмите на значок глаза возле рекламного блока, и блоки станут менее заметны. Работает до перезагрузки страницы.
математика — Неравенство в целых числах
По стройте область , заданную этими неравенствами , и посмотрите.
Область я построил, получается очень узкий и с вершинами имеющими большие координаты (-80; -60); (60; 40); (0; 0) и по графику точки не удается посчитать. Должен быть аналитический метод решения.
2 ответа
Количество точек на границе треугольника подсчитывается просто, и оно равно $%60$%. Далее, нетрудно подсчитать площадь этого треугольника — либо по общей формуле, через определитель, либо разбивая прямоугольник $%[-80;60]\times[-60;40]$% на несколько фигур, включая исследуемый треугольник, площадь которых легко вычисляется. Получается значение площади $%S=200$%. Далее можно применить известную формулу Пика, согласно которой площадь многоугольника в узлах целочисленной решётки равна $%B+\Gamma/2-1$%, где $%B$% — число внутренних целочисленных точек многоугольника, а $%\Gamma$% — число граничных. Мы знаем, что $%\Gamma=60$%, откуда $%B=200-60/2+1=171$%. В задаче нужно подсчитать значение $%B+\Gamma$%, и оно равно $%231$%.
Имеет смысл рассмотреть другое решение, на формулу Пика не опирающееся. Оно состоит в следующем. Будем использовать уже введённые обозначения $%A(0;0)$%, $%B(60;40)$%, $%C(-80;-60)$%. Построим прямоугольник $%CDBE$%, где $%D(-80;40)$%, $%E(60;-60)$%. В прямоугольнике имеется ровно $%(140+1)(100+1)$% точек (далее под точками понимаются целочисленные), и из них $%21$% лежит на диагонали $%BC$%. Поэтому выше и ниже неё лежат по $%\frac12((140+1)(100+1)-21)=7100$% точек. Нас не интересует то, что лежит ниже диагонали, поэтому имеем $%21+7100$% точек. Из них мы вычитаем то, что лежит выше диагонали $%AC$% в прямоугольнике с указанной диагональю; это будет $%\frac12((80+1)(60+1)-21)=2460$%, а также аналогичное количество для диагонали $%AC$%, которое равно $%\frac12((60+1)(40+1)-21)=1246$%. Наконец, надо вычесть ещё точки прямоугольника с диагональю $%AD$%, не считая его правой и нижней границ, а это $%80\cdot40=3200$%. В итоге получается $%21+7100-2460-1240-3200=231$%.
отвечен 22 Ноя ’13 18:59
Все множество, которое удовлетворяет даной системе, есть внутренняя часть треугольника (с границей) АВС, где А(0;0); В(60;40); С(-80;-60). Треугольник очень «худенький» и «длинный», т.к. растояние от точки А до прямой ВС равно $%5x-7y-20=0$% равно $%20/ \sqrt<74>=2,32..$%, т.е. точек там не так уж и много во внутренней части. На отрезке АВ лежат точки $%(3t; 2t), t<=20, t>=0$%, т.е. 21 точка. На отрезке АС $%(4t; 3t), t>=-20, t<=0$%, т.е. 21 точка. На отрезке BС $%(-80+7t; -60+5t), t<=20, t>=0$%, т.е. 21 точка. Осталось как-то оценить внутренние точки.
отвечен 22 Ноя ’13 14:48
Спасибо. Но точки на прямой найти не очень сложно, главная проблема определить количесиво целых решений внутри треугольника.
Можно попробовать сделать так: решить в целых числах совокупность неравенства 3y/2<=x<=4+7y/5 и 4y/3<=x<=4+7y/5. В первом неравенстве рассматривать значения у кратные 10 (общий знаменатель выражений 3у/2 и 7у/5). Аналогично для второго неравенства, только значения у, кратные 15.
Исходя из этих соображений, у меня получается количество целых пар 64. Хотелось бы, чтобы кто-нибудь проверил, если не сложно. Заранее спасибо.