Не вычисляя выяснить какой из интегралов больше

Научный форум dxdy

Можно ли показать отличность интегралов не вычисляя их?

Возможно ли показать, что значения двух интегралов различны, не вычисляя самих интегралов? (интегрирование в обоих случаях по одной и той же переменной)

Понятно — просто сравнить подынтегральные выражения. Да?

Да не совсем. Вот например , хотя подинтегральные функции разные. Можно перейти к одинаковой области интегрирования и проинтегрировать разность функций. Если интеграл получится не равным нулю, то интегралы различны.

Вообще, вопрос слишком общий. Соответственно ответа нет, либо ответ будет слишком общий, чтобы он Вас устроил. Можно использовать всякие разные приемы (оценки например).

Последний раз редактировалось longstreet 15.12.2011, 11:40, всего редактировалось 1 раз.

А если интегралы заведомо неопределенные (без пределов интегрирования), дело не легче?

С константами в подынтегральном выражении — понятно что всё равно не выявить. Но что-нибудь проще будет?

Последний раз редактировалось Sonic86 15.12.2011, 11:45, всего редактировалось 1 раз.

— т.е. интегралы отличаются лишь на константу только если функции равны.

Да, бывает:

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Формула Ньютона-Лейбница.

Если $F(x) -$ одна из первообразных непрерывной на $[a, b]$ функции $f(x),$ то справедлива следующая формула Ньютона-Лейбница: $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a).$$

Примеры:

Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

6.324. $\int\limits_<-1>^2x^3\,dx.$

Решение.

Ответ: $-3,75.$

Решение.

Ответ: $1.$

6.335. $\int\limits_<1>^2\frac<2x-1>.$

Решение.

Ответ: $\ln 3.$

6.347. $\int\limits_0^<\pi/2>\cos^3\alpha\,d\alpha.$

Решение.

Ответ: $\frac<2><3>.$

Свойства определенного интеграла:

1) Если $f(x)\geq 0$ на отрезке $[a, b],$ то $\int\limits_a^bf(x)dx\geq 0.$

2) Если $f(x)\leq g(x)$ на $[a, b]$ то $\int\limits_a^bf(x)\,dx\leq\int\limits_a^b g(x)\,dx.$

3) $|\int\limits_a^bf(x)\,dx|\leq\int\limits_a^b |f(x)|\,dx.$

4) Если $f(x)$ непрерывна на $[a, b], \,\, m -$ наименьшее, $M -$ наибольшее значения $f(x)$ на $[a, b],$ то $$m(b-a)\leq\int\limits_a^bf(x)\,dx\leq M(b-a)$$ (теорема об оценке определенного интеграла).

5) Если $f(x)$ непрерывна, а $g(x)$ интегрируема на $[a, b],\,\, g(x)\geq 0.$ $m$ и $M -$ наименьшее и наибольшее значения $f(x)$ на $[a, b],$ то $$m\int\limits_a^b g(x)\,dx\leq\int\limits_a^bf(x)g(x)dx\leq M\int\limits_a^bg(x)\,dx.$$ (обобщенная теорема об оценке определенного интеграла)

6) Если $f(x)$ непрерывна на $[a, b],$ то существует такая точка $c\in(a, b),$ что справедливо равенство $$\int\limits_a^bf(x)dx=f(c)(b-a).$$ (теорема о среднем значении)

Число $f(c)=\frac<1>\int\limits_a^bf(x)\,dx$ называется средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a, b].$

7) Если $f(x)$ непрерывна а интегрируема на $[a, b]$ и $g(x)\geq 0,$ то существует такая точка $c\in(a, b),$ что справедливо равенство $$\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=f(c)\int\limits_a^bg(x)dx$$ (обобщенная теорема о среднем).

8) Если $f^2(x)$ и $g^2(x)$ интегрируемы на $[a, b],$ то $$|\int\limits_a^bf(x)g(x)dx|=\sqrt<\int\limits_a^bf^2(x)dx\int\limits_a^bg^2(x)dx>$$ (неравенство Коши-Буняковского).

9) Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах. Если функция $f(x)$ четная, то $\int\limits_<-a>^af(x)dx=2\int\limits_0^af(x)dx.$ Если функция $f(x)$ нечетная, то $\int\limits_<-a>^af(x)dx=0.$

10) Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b],$ то интеграл с переменным верхним пределом $$\Phi(x)=\int\limits_a^x f(t)dt$$ является первообразной для функции $f(x),$ т.е. $$\Phi'(x)=(\int\limits_a^x f(t)dt)’=f(x),\quad x\in[a, b].$$

11) Если функции $\phi(x)$ и $\psi(x)$ дифференцируемы в точке $x\in(a, b)$ и $f(t)$ непрерывна при $\phi(a)\leq t\leq \psi(b),$ то $$\left(\int\limits_<\phi(x)>^ <\psi(x)>f(t)dt\right)_x’=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x).$$

Примеры.

6.364. а) Определить знак интеграла, не вычисляя его: $\int\limits_<-2>^1\sqrt[3]\,dx.$

Решение.

Поскольку функция $\sqrt[3]x$ нечетная $(\sqrt[3]<-x>=-\sqrt[3]x),$ то, пользуясь 9-м свойством получаем $\int\limits_<-2>^2\sqrt[3]\,dx=0.$ Далее воспользуемся равенством $$\int\limits_<-2>^1\sqrt[3]\,dx=\int\limits_<-2>^2\sqrt[3]\,dx-\int\limits_<1>^2\sqrt[3]\,dx=-\int\limits_<1>^2\sqrt[3]\,dx.$$

Ясно, что $\sqrt[3]x>0$ при $x\in[1, 2].$ Поэтому из первого свойства определенных интегралов следует, что $\int\limits_<1>^2\sqrt[3]\,dx>0.$ Следовательно, $$\int\limits_<-2>^1\sqrt[3]\,dx=-\int\limits_<1>^2\sqrt[3]\,dx<0.$$

Ответ : $\int\limits_<-2>^1\sqrt[3]\,dx<0.$

6.365. б) Не вычисляя интегралов, выяснить какой из интегралов больше $\int\limits_1^2\frac$ или $\int\limits_1^2\frac.$

Решение.

Воспользуемся вторым свойством определенных интегралов. На отрезке $[1, 2]$ выполняется неравенство $\frac<1>\geq\frac<1>.$ Проверим это: $$\frac<1>\geq\frac<1>\Rightarrow x^3\geq x^2\Rightarrow x\geq1.$$ Следовательно, $$\int\limits_1^2\frac\geq\int\limits_1^2\frac.$$ Строгое неравенство легко получить, представив заданные интегралы как сумму $$\int\limits_1^2\frac=\int\limits_1^<3/2>\frac+\int\limits_<3/2>^2\frac;$$ $$\int\limits_1^2\frac=\int\limits_1^<3/2>\frac+\int\limits_<3/2>^2\frac.$$ На отрезке $[1, 3/2]$ выполняется неравенство $$\frac<1>\geq\frac<1>\Rightarrow\int\limits_1^<3/2>\frac\geq\int\limits_<3/2>^2\frac;$$ На отрезке $[3/2, 2]$ выполняется неравенство $$\frac<1>>\frac<1>\Rightarrow\int\limits_1^<3/2>\frac>\int\limits_<3/2>^2\frac.$$ Таким образом, $$\int\limits_1^2\frac=\int\limits_1^<3/2>\frac+\int\limits_<3/2>^2\frac>\int\limits_1^<3/2>\frac+\int\limits_<3/2>^2\frac=\int\limits_1^2\frac.$$ Ответ : $\int\limits_1^2\frac>\int\limits_1^2\frac.$

6.366. в) Найти среднее значение функции на данном отрезке: $\cos x,\quad 0\leq x\leq\pi/2.$

Решение.

Воспользуемся 6-м свойством определенных интегралов. Средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ называется ч исло $f(c)=\frac<1>\int\limits_a^bf(x)\,dx.$

Ответ: $\frac<2><\pi>.$

6.369. Оценить интеграл $\int\limits_0^<2\pi>\frac<\sqrt<5+2\sin x>>.$

Решение.

Оценим подынтегральную функцию:

$$-1\leq\sin x\leq 1\Rightarrow$$ $$3\leq 5+2\sin x\leq 7\Rightarrow$$ $$\sqrt 3\leq\sqrt<5+2\sin x>\leq 7\Rightarrow$$ $$\frac<1><\sqrt 7>\leq\frac<1><\sqrt<5+2\sin x>>\leq\frac<1><\sqrt 3>.$$

Отсюда и из второго свойства определенных интегралов следует, что

6.370. б) Оценить интеграл $\int\limits_0^1\sqrt<(1+x)(1+x^3)>\,dx,$ пользуясь неравенством Коши-Буняковского.

Решение.

Вычислим каждый интеграл, стоящей под корнем в правой части равенства:

6.374. Найти производную следующей функции: $\Phi(x)=\int\limits_0^x\frac<\sin t>\,dt.$

Решение.

Пользуемся свойством 10:

Ответ: $\frac<\sin x>.$

6.376. Найти производную следующей функции: $\Phi(x)=\int\limits_x^0\frac

<\sqrt<1+t^3>>.$

Определенный интеграл и интегральные суммы , страница 3

С учетом этого получаем исходную оценку определенного интеграла.

Свойство 8. (Теорема о среднем значении). Если функции f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка с, что справедливо следующее равенство:

Отметим, что геометрически теорема о среднем означает, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника со сторонами f(с) и (b–a). Поэтому эта теорема имеет огромное теоретическое значение в обосновании численных методов интегрирования, поскольку, по-существу, основная цель этих методов состоит в том, чтобы как можно точнее выбрать точку с.

3.4. Приближённые методы определённых интегралов

Приближенные методы вычисления определенных интегралов основан на том, что определенный интеграл можно рассматривать как площадь криволинейной трапеции. Площадь такой трапеции можно вычислить, если заменить ее более простой фигурой: суммой прямоугольников, трапецией или других фигурой. Практическая значимость таких методов заключается в том, что точно вычислить определённый интеграл не всегда удаётся. К тому же подынтегральная функция часто даётся в табличном или даже графическом виде. В этих случаях можно использовать только приближённые методы. Мы познакомимся с двумя из них – методом прямоугольников и методом трапеций.

3.4.1. Метод прямоугольников

Разделим отрезок интегрирования [a,b] на n равных частей точками:

где h=(b–a)/n – шаг интегрирования. Заменим данную криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей их n прямоугольников (см. рис. 3.2). Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла:

Полученное выражение называется формулой прямоугольников.

В качестве с_i можно выбирать как левые (с_i=x_i–1), так и правые (с_i=x_i) границы участков разбиения. В этом случае площадь криволинейной трапеции будет приближенно равна сумме площадей либо левых, либо правых прямоугольников. Методы левых и правых прямоугольников дают приближенное значение определенного интеграла с точностью, пропорциональной шагу интегрирования h. Причем один из методов дает значение интеграла с избытком, а другой с недостатком. Поэтому в качестве более точного значения интеграла можно взять среднее арифметическое обоих методов, а разность между ним даст погрешность вычисления. Такой способ мы рассмотрели в примере 3.1.

Обычно под методом прямоугольников понимается случай, когда в качестве точек с_i берутся середины участков разбиения, т.е. с_i=(x_i-1+x_i)/2. В этом случае погрешность вычисления определенного интеграла будет пропорциональна h 2 , т.е. на порядок выше, чем у методов левых или правых прямоугольников.

Пример 3.2. Найти по формуле прямоугольников приближенное значение интеграла

Решение. Разобьем отрезок [0; 1] на 10 равных частей. Найдём на каждом отрезке середину c_i и значение функции в этих точках. Составим таблицу

Похожие публикации:

1. Как вставить фото в ворд 2013
2. На сколько кубков появляется кнопка играть снова
3. На сушке горение включился ключик как убрать
4. На что влияет кэш 3 уровня в процессоре