Натуральное число на которое заданное натуральное число делится без остатка

натуральное число на которое заданное натуральное число делится без остатка

Все остальное — устройства компьютера.А сервер — компьютер.

<u>PascalABC.NET 3.3.5, сборка 1669 от 21.05.2018</u>
<u>Внимание! Если программа не работает, обновите версию!</u>

begin
var a:=ArrRandom(ReadInteger(‘n=’),-50,50); a.Println;
a.Reverse.Println
end.

<u>Пример</u>
n= 13
35 -29 -50 -32 -44 23 -47 -46 37 -34 11 -22 -11
-11 -22 11 -34 37 -46 -47 23 -44 -32 -50 -29 35

const
students = 20;

var
marks: <em>byte</em> := students;

begin
writeln(‘Все пришли?’);
var c: <em>string</em>;
readln(c);
if not (c in [‘Yes’, ‘1’, ‘True’, ‘Да’]) then
begin
writeln(‘Сколько не пришло?’);
var b: <em>byte</em>;
readln(b);
marks := (marks > b ? marks — b : 0);
end;
writeln(marks, ‘ оценок’);
<span>end.</span>

Какие признаки делимости чисел существуют

Признаки делимости чисел — это условия, правила, по которым можно определить, делится ли число на заданное нам значение, т.е. кратно ли число делителю.

Делителем является число, на которое делится заданное число без остатка — нацело.

Термин «кратно» — синоним слову «делится».

Правила с доказательствами, определение

1. Признак делимости на 10.

Любое натуральное число, которое оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, нужно отбросить нуль.

Если запись натурального числа заканчивается нулем, то число делится на 10 нацело.

Если запись натурального числа заканчивается любой другой цифрой, то число не делится нацело на 10.

Например, 370 делится нацело на 10, так как 370 : 10 = 37 .

Но 378 не делится без остатка на 10, потому что получим неполное частное: 378 : 10 = 37 (остаток 8 ).

На конце числа 378 стоит цифра 8 — она и будет остатком при делении на 10. Значит, 378 не делится нацело на 10.

Применение признака позволяет не производить расчеты, а сразу отвечать на вопрос, делится ли заданное число на десять.

1. Признак делимости на 5.

Число 20 можно представить в виде произведения: 20 = 4 * 5 .

Тогда число 5 является делителем числа 20, т. е. 20 делится на пять нацело, без остатка.

Число 15 представляют в виде произведения двух множителей: 15 = 3 * 5 .

Тогда число 5 является делителем числа 15, т. е. 15 делится на 5 нацело.

В разрядах единиц 20 и 15 стоят 0 и 5 соответственно.

Разряд — это место цифры в числе.

Если запись натурального числа заканчивается цифрами 0 или 5, то такое число делится нацело на 5.

Можно перефразировать признак:

Если в разряде единиц заданного числа стоит 0 или 5, то число делится на 5.

Если запись натурального числа заканчивается цифрой, отличной от нуля и пяти, то число на 5 нацело не делится.

Числа 645 и 760 делятся на 5, так как они заканчиваются 5 и 0 соответственно.

645 : 5 = 129 760 : 5 = 152 .

344 не делится нацело на 5 по признаку делимости:

344 : 5 = 68 ( о с т а т о к 4 ) .

1. Признаки делимости на 2.

Если число делится нацело на 2, то его называют четным. Если число не делится нацело на 2, то его называют нечетным.

Цифры 0, 2, 4, 6, 8 — четные, а 1, 3, 5, 7, 9 — нечетные. Тогда любое число будет четным, если в разряде единиц у него стоит четная цифра, а нечетным — в разряде единиц стоит нечетная цифра.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то число делится на 2 нацело.

Если натуральное число оканчивается нечетной цифрой, то не делится нацело на 2.

Числа 14 и 56 делятся нацело на 2, так как они заканчиваются четными цифрами — 4 и 6.

14 : 2 = 7 56 : 2 = 28 .

Число 13 не делится нацело на 2, так как запись натурального числа заканчивается нечетной цифрой 3.

13 : 2 = 6 ( о с т а т о к 1 ) .

1. Признак делимости на 9.

Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

Рассмотрим, делится ли 98 на 9.

Сумма цифр числа: 9+8=17.

17 не делится нацело на 9, тогда число 98 не делится нацело на 9.

Проверяем: 98 : 9 = 10 (остаток 8 ).

Возьмем число 468. Используя признак делимости на 9, считаем сумму цифр числа 468: 4 + 6 + 8 = 18 .

18 делится нацело на 9, значит, 468 делится нацело на 9:

1. Признак делимости на 3.

Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на три.

Число 27 делится нацело на 3, так как сумма цифр делится на 3 нацело.

2 + 7 = 9 9 : 3 = 3 .

И, соответственно, 27:3=9.

Число 261 делится на 3 по признаку делимости:

Девять делится на 3 нацело, значит, число 261 делится на 3 нацело.

Дополнительные признаки делимости:

1. Признак делимости на 4.

Натуральное число делится на 4 нацело в том случае, когда запись числа заканчивается двумя нулями или две последние цифры делятся на 4.

Например, по этому признаку число 144 делится на 4, так как 44 — две последние цифры — делится нацело на 4.

Проверка: 144 : 4 = 36 .

1. Признак делимости на 6.

Натуральное число делится на 6 нацело тогда, когда число делится нацело и на 2, и на 3.

Значит, признак делимости на 6 включает в себя применения признака делимости на два и признака делимости на три.

Например, число 438 делится на 6 нацело.

Используя признак делимости на 6, поочередно применяем признаки делимости на 2 и 3.

Если число заканчивается четной цифрой, то оно делится на 2: число 438 заканчивается четной цифрой 8.

Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3: 4 + 3 + 8 = 15 .

Значит, число делится и на 2, и на 3. Тогда 438 делится на 6 нацело.

Проверка: 438 : 6 = 73 .

1. Признак делимости на 8.

Натуральное число делится на 8 нацело, если запись числа заканчивается тремя нулями либо если три последние цифры образуют число, которое делится на 8.

Например, 58000 делится на 8 по признаку делимости, так как число заканчивается тремя нулями.

Проверка: 58000 : 8 = 7250 .

Остальные признаки делимости можно вывести самостоятельно.

Где применяется в жизни

В жизни признаки делимости удобно применять тогда, когда под рукой нет гаджетов. И процесс определения делимости чисел значительно упрощается. При этом не нужно даже высчитывать результат непосредственного деления, если в задаче необходимо просто определить, делится ли одно число на другое.

Области применения признаков делимости:

• торговля — например, определение примерной стоимости покупки, когда ограничены денежные ресурсы;
• строительство — примерное распределение стройматериала;
• математические игры и головоломки;
• бизнес — определение капитала и т. д.

Примеры решения задач

Назовите 3 числа, которые делятся на 2.

Вспоминаем признак делимости на 2:

Если число заканчивается четной цифрой, то оно делится на 2.

Тогда искомыми числами могут быть, например: 456, 768, 800.

Цифры 6, 8, 0 — четные: значит, числа 456, 768, 800 делятся на 2.

Какие из чисел 234, 450, 400, 3400, 35, 900, 235 000 делятся на 100?

Мы знаем признак делимости на 10:

Если число заканчивается 0, то число делится на 10.

Когда нужно определить, делится ли число на 100, действуем аналогично признаку делимости на 10. Только в этом случае нужно искать те числа, которые заканчиваются двумя нулями.

Тогда в ответе будут числа: 400, 3400, 900, 235 000.

Аналогично действуем тогда, когда нужно найти числа, которые делятся на 1000, 1000 и так далее. Ищем числа по количеству нулей после единицы в делителе.

Какие из чисел 100, 35, 450, 5680, 20 делятся и на 5, и на 10.

Число делится на 5, если заканчивается 0 или 5.

Число делится на 10, если заканчивается 0.

Тогда, чтобы число делилось и на 5, и на 10, нужно найти в признаках что-то общее. Общим будет окончание чисел на 0.

По признакам делимости на 5, и на 10 получаем в ответе числа: 100, 450, 5680 и 20.

Найдите три числа, которые делятся на 2 и на 9.

Чтобы число делилось и на 2, и на 9, должны выполняться условия обоих признаков.

Число делится на 2 тогда, когда оканчивается четной цифрой. Четные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8.

Число делится на 9 тогда, когда сумма цифр числа делится на 9.

Тогда искомыми числами могут быть: 18, 396 и 468.

В разряде единиц в 18, 396 и 468 стоят 8, 6 и 8 соответственно — четные цифры, значит числа 18, 396 и 468 делятся на 2.

Осталось проверить, делятся ли они на 9. Считаем сумму цифр в числах.

18 : 1 + 8 = 9 — 9 д е л и т с я н а 9 ; 396 : 3 + 9 + 6 = 18 — 18 д е л и т с я н а 9 ; 468 : 4 + 6 + 8 = 18 — 18 д е л и т с я н а 9 . .

Значит, числа 18, 396 и 468 делятся на 9.

Числа удовлетворяют условиям.

Ответ: 18, 396 и 468.

Какие из чисел 456, 567, 3453, 768 и 34500 кратны 3?

Слово «кратно» является синонимом «делится». Тогда нужно найти числа, которые делятся на 3.

По признаку делимости искомыми будут числа, сумма цифр которых делится на три нацело.

456 : 4 + 5 + 6 = 15 ; 567 : 5 + 6 + 7 = 18 ; 3453 : 3 + 4 + 5 + 6 = 18 ; 768 : 7 + 6 + 8 = 21 ; 34500 : 2 + 4 + 5 = 11 . .

Делители и кратные

Итак, допустим. У нас есть 20 яблок, которые необходимо поделить на 4равные части. В каждой части, видим, окажется по 5яблок, то есть 20 поделили на 4, получили 5. 20 : 4 = 5
В этом случае говорят, 4 — делитель числа 20

Если же нам необходимо поделить те же 20 яблок на 6частей, то в каждой части останется по 3 яблока, но при этом 2 яблока окажутся лишними, т. е. если мы поппытаемся поделить 20 на 6, не разрезая яблоки, то у нас это не получится. И в этом случае число 6 не является делителем числа 20.

Делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое a делится без остатка.

Число 12 имеет 6 делителей:
1, 2, 3, 4, 6 и 12

Число 1 является делителем любого натурального числа

Теперь допустим на столе у нас лежат 4 пачки печенья, в каждой из которых по 8 печений. Со стола мы можем взять, не раскрывая пачек, 8 печений, т. е. 1 пачку. Можно взять 16 печений, т. е. 2 пачки, 24 печенья, но взять 18 печений мы взять не можем.

Числа 8, 16, 24 кратны числу 8, т. е. они делятся на 8 без остатка
Число 18 не кратно числу 8, потому что число 18 на 8 не делится без остатка.

Кратным натурального числа a называют натуральное число, которое делится без остатка на a.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Числа, кратные 8:
8, 16, 24, 32, 40 и т. д. Т. е. все эти числа делятся на 8 без остатка. И чисел, которые делятся на 8 без остатка, бесконечно много.

Вопросы:

1. Какое число называют делителем данного натурального числа?
2. Какое число называют кратным натуральному числу а ?
3. Какое число является делителем любого натурального числа?
4. Какое число и кратно n, и является делителем n ?