Когда ставится двойной значок суммы

Простые и двойные суммы

В математике часто приходится рассматривать суммы большого количества чисел или элементов некоторого множества с операцией сложения в нем, когда слагаемые имеют одинаковый вид и различаются лишь индексами, например суммы вида

Кратко такие суммы записывают следующим образом:

где символ ? — символ суммы: г — индекс суммирования.

Индекс суммирования можно обозначать любой буквой, т.е.

Множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно выносить за знак суммы, т.е.

Часто также приходится суммировать слагаемые по двум индексам, каждый из которых независимо пробегает определенные значения. Это приводит к двойным суммам типа

При действиях с двойными суммами можно изменять порядок суммирования, т.е.

Отмеченное правило распространяется на случай суммирования по любому конечному числу индексов.

Перестановки и подстановки

Пусть дано конечное множество М, состоящее из п элементов. Элементы этого множества можно перенумеровать натуральными числами 1, 2, п. Поскольку нас не будут интересовать свойства элементов множества, то можно принять, что элементами множества М являются сами эти числа. Всякое расположение чисел 1, 2, . п в определенном порядке называют перестановкой из п чисел (или из п символов). В общем случае перестановку из п символов записывают в виде i . in, где каждое число i_s, s = 1, 2. п, есть одно из чисел 1, 2, . п и ни одно из этих чисел не повторяется.

Теорема 1.1. Общее количество различных перестановок из п символов равно n! = 1 • 2 • 3 •. • п.

> Действительно, в перестановке ii2—i_n за i можно принять любое из чисел 1, 2, . п. Таких возможностей всего п. При выбранном значении i за г 2 можно принять одно из п — 1 не совпадающих с i чисел. Значит, различных возможностей выбора пары символов i и %2 существует п(п — 1). Продолжая подсчет вариантов, через п шагов получим общее количество перестановок, равное п-(п —1)-. -3-2-1 = п. ?

Говорят, что числа г и j, стоящие в перестановке, составляют инверсию, или беспорядок, если i > j, в то время как i в этой перестановке стоит раньше (левее) числа j. Так, в перестановке 2 15 4 3 числа 2 и 1, 5 и 4, 4 и 3, 5 и 3 составляют инверсии.

Перестановку называют четной, если число всех инверсий в ней четно, и нечетной, если число всех инверсий в ней нечетно.

Подсчет числа инверсий в перестановке удобно проводить следующим образом. Сначала подсчитывают, сколько чисел в перестановке, больших единицы, стоит левее единицы. Затем подсчитывают, сколько чисел, больших двух, стоит левее двойки и т.д. Пусть левее единицы стоит к чисел, больших единицы, левее двух — чисел, больших двух и т.д. Наконец, пусть левее числа п — 1 стоит к_п— чисел, больших п — 1. Тогда общее число инверсий в перестановке будет равно

Так, при подсчете числа инверсий в перестановке 3 2 1 5 4 получим: к = 2, к2 = 1, к’з = 0, = 1. Поэтому общее число инверсий в этой

перестановке равно 2 + 1 + 0+1 = 4, а перестановка является четной.

Перемену местами каких-либо двух символов в перестановке (не обязательно соседних) называют транспозицией этих символов. Транспозицию символов г и j в перестановке обозначают через (i,j). Транспозиция в перестановке из п символов приводит к другой перестановке из тех же символов. При помощи последовательности транспозиций можно перейти от одной перестановки из п символов к любой другой перестановке из тех же символов.

Теорема 1.2. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

О Рассмотрим случай транспозиции рядом стоящих символов г и j, т.е. случай транспозиции этих символов в перестановке вида Aij В, где А — группа символов, стоящих в перестановке слева от символа г, а В — группа символов, стоящих в перестановке справа от символа

j. Транспозиция (г, j) переводит данную перестановку в перестановку Aj iB. В обеих перестановках символ г составляет одни и те же инверсии с символами из групп А и В. То же самое справедливо и для символа j. Если в данной перестановке символы г и j не составляли инверсии, то в новой перестановке появится одна новая инверсия, т.е. число инверсий увеличится на единицу. Если же символы г и j в данной перестановке составляли инверсию, то в новой перестановке она пропадет, т.е. число инверсий уменьшится на единицу. В обоих случаях четность перестановки меняется.

Теперь рассмотрим общий случай, когда символы г и j в перестановке разделены группой из s символов (s > 0). Здесь перестановка имеет вид:

После транспозиции (г, j) эта перестановка примет вид:

Такое преобразование можно рассматривать как последовательность транспозиций, сперва символа г с символами ki, k,2, . k_s, j, a затем символа j с символами k_s, . ki, поэтому рассматриваемая транспозиция эквивалентна последовательности из 2 s + 1 транспозиций стоящих рядом символов. При этом четность перестановки будет меняться нечетное число 2 s + 1 раз, т.е. данная и полученная перестановки имеют разную четность. ?

Теорема 1.3. Число четных перестановок из п символов при п > 2 равно числу нечетных перестановок из п символов и составляет п!/2.

math serfer .narod.ru

где — функция целочисленного аргумента. Здесь символ (большая греческая буква «сигма») означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .

1) .

2) . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти

3) .

4) .

5) .

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

( 14 .2)

где для трехмерного пространства , для плоскости .

Для единообразия будем считать, что

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

в правой части никакой буквы />нет, значит, и результат от />не зависит.

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

( 14 .3)

Это предложение является частным случаем следующего утверждения.

( 14 .4)

Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим сумму элементов при всех допустимых значениях индексов суммирования. Слагаемые сгруппируем по-другому, а именно, сначала соберем все слагаемые, у которых первый индекс равен 1, потом, у которых первый индекс равен 2 и т.д. Получим

Заменив в этом равенстве в левой части его выражением через знаки суммирования, получим формулу (14.4).

Нужно помнить, что двойная сумма означает сумму элементов для всех допустимых значений индексов суммирования. По этой же причине, если встречается запись, содержащая подряд три или более символов суммирования, то порядок расстановки этих символов можно менять произвольно.

Если границы изменения всех индексов суммирования одинаковы, то можно для суммирования по нескольким индексам использовать запись вида

Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, налагаемые на индексы суммирования. Так запись

означает, что в сумму не включаются величины , . , то есть с равными индексами.

Иногда в записи суммы не указываются границы изменения индексов, например,

Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут оговорены сразу после окончания формулы.

Как поставить знак суммы в Ворде?

Если знак суммы нужен не сам по себе, как греческая буква, а как элемент математической формулы суммирования, то простые способы не подойдут, надо будет честно вставлять формулу: Вставка — Объект — Формула (Insert — Object — Equation) для версия 2003 или Вставка — Формула (Insert — Equation) для более поздних версий. Там есть инструменты для создания полноценной формулы суммы, с обозначениями индекса суммирования и верхнего предела и с автоматической подгонкой знака суммы под размер общего члена суммируемого ряда.

Знак суммы в ворде

Сумма в математике обозначается греческой буквой "сигма".

Очень часто вверху и внизу сигмы пишутся границы суммирования (начальное и конечное значение), поэтому для вставки этого символа в документ Ворд правильнее всего использовать встроенный редактор формул.

1) Сначала откройте вкладку (панель инструментов) "Вставка" и нажмите на "Формула".

Другой способ вставить формулу — это комбинация клавиш "Alt" и "+".

2) Отобразится панель "Конструктор", на которой можно найти различные структуры.

В нашем случае нам будет нужна структура, которая называется "Крупный оператор".

3) Если щёлкнуть по этой структуре левой кнопкой мыши, то появится выпадающее меню, в котором будет несколько вариантов знака суммы.

Можно выбрать сумму как без границ суммирования, так и с границами суммирования.

4) Щёлкаем левой кнопкой мыши на нужной сумме, она отобразится в документе.

5) Теперь остаётся в специальных пунктирных квадратиках написать границы суммирования (если это нужно) и то, что суммируется.

Все, ну или почти все знаки математических действий, можно найти в Таблице символов. Если и тех не хватает можно пополнить с сайта производителя Ворда.

Открываем вкладку Символы и в таблице находим знак суммы, нажимаем его и вставляем.

Есть несколько способов поставить знак суммы — греческой буквы сигма.

• Не самый удобный, но работающий способ. Поскольку речь идет о греческой букве, то можно установить греческий алфавит и ввести букву просто с клавиатуры;
• Выбираем меню Вставка — Символ — Символы — Другие символы. В открывшемся окне ищем необходимый значок. Для этого стоит выбрать набор Математические операторы. Выбираем, копируем и вставляем — ∑.
• Нажимаем Пуск — Программы — Стандартные — Служебные — Таблица символов. Аналогично ищем там необходимый значок, нажимаем его, выбираем Копировать и вставляем в нужное место;
• Вводим с помощью Alt и цифр на дополнительной клавиатуре. Нажимаем и удерживаем Alt, набираем на клавиатуре код — 931;
• Вводим с помощью кода и Alt + X. Набираем кода — 2211. Затем, не перемещая курсом и находясь на английской раскладке клавиатуры, нажимаем Alt и удерживаем, а затем нажимаем X и отпускаем обе кнопки. Такой метод работает в программах Office, но редко — в браузерах.
• Вводим с помощью кода и Alt + X — способ 2. Набираем кода — 03A3. Затем, не перемещая курсом и находясь на английской раскладке клавиатуры, нажимаем Alt и удерживаем, а затем нажимаем X и отпускаем обе кнопки. Результат следующий — Σ. Как видите, он несколько отличается.

Для того, чтобы вставить знак суммы Σ в текстовом редакторе Microsoft word, существует 2 способа:

1. Надо пойти по панелям: Вставка — Символ — Другие символы. Там есть знак суммы Σ, код знака — 2211. При использовании нового символа он попадает в категорию "Ранее используемые символы" в меню "Символ". Там тоже можно брать нужные символы.
2. Нажать на: Пуск — Все программы — Стандартные — Служебные — Таблица символов. Выбрать знак суммы, его код: U+03A3. Затем нажать "Выбрать" и "Копировать". Далее нужно вставить его в нужную строку в тексте.

Знак суммы Σ — это большая буква "Сигма" в греческом алфавите (большие греческие буквы).

В программе Ворд есть несколько видов символов, которые обозначают "знак суммы". Существует 5 вариантов написания. Ответ на Ваш вопрос зависит от того что нужно получить в итоге. Если символ нужен в качестве декоративного элемента, то есть реальный расчёт не требуется, то достаточно воспользоваться вставкой символа. Для этого ставим курсор в нужное место — нажимаем — Вставка — символы — ищем нужный нам значок.

А вот если знак суммы нужен для реально расчёта, то это уже другая история. Тогда обратился к формулам. Устанавливаем курсор в нужном месте при помощи мыши, ждём — Вставка — конструктор — выбираем формулу.