2.2. Преобразование уравнений
В этом параграфе мы поговорим о том, что можно делать с уравнениями, а чего делать нельзя. И что можно, но осторожно.
Весьма содержательный пример встретился в Задании 5:
В любой части уравнения (и слева, и справа) можно выносить множители за скобки и скобки раскрывать:
Части уравнения можно менять местами, они абсолютно равноценны:
Любое слагаемое можно перенести в другую часть, сменив у него знак:
Обе части можно умножать / делить на одно и то же число, отличное от нуля:
И обязательно проверка: подставим найденное значение в исходное уравнение :
– в результате получено верное равенство, значит, действительно является корнем данного уравнения. И здесь я хочу сформулировать вторую практическую аксиому:
Если что-то можно проверить, то стараемся это проверить
…прямо таки жизненный и даже философский принцип получился :). В важных задачах лучше проверять даже устные вычисления – например, с помощью калькуляторов, которые приложены к этому курсу. Ибо никто не застрахован от ошибок по «глюку».
Кроме того, есть многочисленные онлайн сервисы для решения различных задач. Но тут я должен предостеречь: 1) они могут работать с ошибками (а кто их вообще создал?), 2) машинное решение некоторых задач выглядит вычурно и неуклюже – так не станет решать ни один вменяемый человек, 3) и поэтому ответы могут быть представлены в другом, «нечеловеческом» виде :)) Однако для проверки такие сервисы (качественные) во многих случаях годятся.
Следующий момент касается уравнений вида (пусть и не равны 0). Для краткости я буду называть это правило правилом пропорции, сформулирую его в вольном стиле: множители, которые находятся вверху, можно «сбрасывать» на нижний этаж противоположной части. И обратно: множители, которые находятся внизу, можно «поднимать» в числитель противоположной части.
Крутим-вертим:
и так далее – смотря что вам нужно выразить в той или иной задаче.
Справка: – значок следствия («из этого следует это»)
На практике чаще выполняют «поднятие» множителей – для того, чтобы избавиться от дробей, при этом особое внимание следует проявить, если «поднимаемый» множитель может обращаться в ноль. Рассмотрим уравнение:
Первое действие очевидно – поднимаем сумму на верх правой части:
, но здесь следует иметь в виду, что значение не может являться корнем уравнения, ибо сумма-то была в знаменателе.
Берём это на заметку и продолжаем. Раскрываем скобки в правой части:
,
после чего собираем все «иксы» в левой части, а константы – в правой, не забывая при переносе слагаемых сменить у них знаки:
,
приводим подобные слагаемые:
и умножаем обе части на -1:
Проверка: подставим найденное значение в исходное уравнение:
– в результате получено верное равенство, значит, действительно является корнем уравнения .
Теперь о том, чего делать нельзя: нельзя сокращать на множитель, который содержит переменную. Это ведёт к потере корней. Запишите, запомните, зазубрите! Так, если мы сократим уравнение на «икс», то потеряем корень (который обращает уравнение в верное равенство ).
И даже здесь: – сокращать на НЕ НАДО – поскольку уравнение имеет два комплексных корня, которые мы потеряем. Хоть это и не принципиально для решения школьных задач, но все равно является дурным тоном.
Итак, множители с переменными не сокращаем!
Обе части уравнения можно возвести в степень, но при этом могут появиться посторонние корни. Так, чтобы решить уравнение нужно возвести обе его части в квадрат: , и полученное уравнение будет иметь два корня: . Однако исходному уравнению удовлетворяет лишь значение , что выясняется прямой подстановкой. Корень же является посторонним, ибо:
– неверное равенство. Этот корень также можно отфильтровать из тех соображений, что арифметический квадратный корень неотрицателен: .
Следует отметить, что посторонних корней может и не оказаться, всё зависит от того или иного примера. Но заморачивать тут не нужно – проверяем и выясняем!
Кстати, что это за уравнение и как отыскать его корни? …Многие вспомнили, что это мегапопулярное:
Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки
Вспомним для начала, что вообще можно делать с неравенствами и чего с ними делать нельзя.
При решении неравенств мы можем:
1. Умножать обе части неравенства на число или выражение, не равное нулю.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.
При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
2. Можем возводить обе части неравенства в квадрат при условии, что они неотрицательны
3. Имея дело с показательным или логарифмическим неравенством, мы можем «отбрасывать» основания или логарифмы. Если основание степени или логарифма больше единицы – знак неравенства будет тот же. Если основание степени или логарифма положительно и меньше единицы – знак неравенства меняется на противоположный.
Конечно, мы не просто «отбрасываем» основания степеней или логарифмы. Мы пользуемся свойствами монотонности соответствующих функций. Если основание степени больше единицы, показательная функция монотонно возрастает. Если основание положительно и меньше единицы – показательная функция монотонно убывает. Аналогично ведет себя и логарифмическая функция.
4. При решении показательных или логарифмических неравенств применяется метод рационализации (замены множителя).
5. Общее правило. Если неравенство можно хоть как-то упростить – это необходимо сделать! Иначе его решение может занять восемь страниц и два часа времени.
Чего нельзя делать при решении неравенств? Вот 7 ловушек, в которые часто попадают абитуриенты.
1. Нельзя умножать (или делить) неравенство на выражение, знака которого мы не знаем.
Например, в неравенстве > нельзя поделить левую и правую часть на . Правильный способ: перенести всё в левую часть неравенства, разложить на множители и решить неравенство методом интервалов.
Получаем, что < 0 или > . «Сократив» на , который может быть отрицательным, мы не получили бы правильного ответа.
2. Извлекать из неравенства корень тоже нельзя. Такого действия просто нет.
Как, например, решить неравенство
Перенесем все в левую часть неравенства, чтобы в правой остался ноль.
Разложим левую часть на множители.
Решим неравенство, пользуясь свойствами квадратичной функции , и запишем ответ: < или > .
Запомним: ответы типа « > » абсурдны.
Как решать неравенство > 0? Это типичная «ловушка для абитуриентов». Так и хочется сказать, что > 0 (то есть извлечь корень из неравенства). Но этого делать нельзя. Выражение положительно при всех , кроме нуля. Правильное решение неравенства: .
4. Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.
5. Помним о том, в каких случаях знак показательного или логарифмического неравенства меняется, а в каких – остается тем же. «Отбрасывая» логарифмы, делаем это грамотно.
6. Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.
7. Сложная тем для старшеклассников – задачи с модулем. Проверьте, умеете ли вы их решать.
При решении неравенств большое значение имеет правильное оформление. Рекомендуется оформлять решение как цепочку равносильных переходов: от исходного неравенства к равносильному ему неравенству или системе.
Обратите внимание на приемы, позволяющие решать неравенства легко, быстро и без лишних вычислений.
А теперь – полезный лайфхак для решения дробно-рациональных неравенств.
Что будет, если действовать «по шаблону» — то есть собрать всё в левой части неравенства и привести к одному знаменателю? — Будет много вычислений и выражение четвертой степени.
Тема урока: "Иррациональные уравнения"
Важным моментом в подготовке к итоговой аттестации является организация обобщающего повторения. Умения решать уравнения отрабатывается в течение всего школьного курса математики. Иррациональные уравнения, как правило, вызывают затруднения, поэтому требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.
Большинство ошибок связано с формальным и поверхностным усвоением учащимися основных понятий и методов решения иррациональных уравнений. У большинства учащихся единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, при этом часто забывают делать проверку найденных корней. Для многих этот метод является единственным.
- возместить отсутствие единого обобщения по данной теме в курсе алгебры 11-го класса;
- повторить основные теоретические понятия;
- закрепить основные способы решения иррациональных уравнений;
- закрепить нестандартные способы решения иррациональных уравнений.
Определение. Уравнение с одной переменной f(x)=g(x) называется иррациональным, если хотя бы одна функция f(x) или g(x) содержит переменную x под знаком радикала.
При решении иррациональных уравнений используют тождественные преобразования, применяют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, а также метод введения новых переменных.
Теорема. Если возвести обе части уравнения f(x)=g(x) в натуральную степень n, то полученное уравнение f n (x)=g n (x) является следствием данного уравнения.
Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др. По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения.
1. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
Сделав проверку, убеждаемся, что оба они являются его корнями. Это уравнение служит примером того, что возведение в квадрат исходного уравнения не всегда приводит к появлению посторонних корней.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Найдём область определения уравнения: [2; ?). Возведём обе части уравнения в квадрат, уединим затем полученный радикал и возведём ещё раз в квадрат. Получим корни уравнения
После проверки получим корень уравнения
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Уравнение перепишем так: Возведём обе части в квадрат, получим
x=2 проверить нетрудно, а проверять громоздко. Однако заметим, что при этом значении отрицательно. Значит, не является решением уравнения.
2. Метод введения новых переменных.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Умножив обе части уравнения на 2, получим:
Пример 5. Решить уравнение:
Решение. Обозначим тогда
Составим систему уравнений:
Решением системы является (0; 2) и (2; 0). Таким образом, решение данного уравнения свелось к решению следующей совокупности систем уравнений:
Решив эту совокупность, находим
3. Искусственные приёмы решения иррациональных уравнений.
Пример 6. Решить уравнение
Решение. Умножим обе части уравнения на выражение
После преобразования уравнение примет вид:
— корень уравнения. Теперь решим уравнение
Почленно сложив это уравнение с данным, придем к уравнению:
Решая это уравнение методом возведения в квадрат, получим Но, х=-4 посторонний корень.
Заменой неизвестной величины решение иррациональных уравнений можно свести к решению тригонометрических уравнений.
При этом полезно помнить:
Если в уравнение входит то замена или
Если в уравнение входит то замена
Если в уравнение входит то или
Пример 7. Решить уравнение
Решение. Сделаем замену получим:
Учитывая, что получим Поэтому,
4. Использование монотонности функции.
Иногда при решении уравнений не видно преобразований, которые позволяют увидеть замену или применить один из известных способов, хотя сразу виден один или более корней.
Пример 8. Решить уравнение
Можно решить это уравнение путем двукратного возведения в квадрат. Но рассмотрим другой метод:
Подберём один или несколько корней уравнения.
Докажем, что других корней нет или найти остальные корни.
После проверки — корень уравнения. Так как функция возрастает в области определения, а монотонная функция принимает каждое своё значения один раз, то других корней уравнение не имеет.
Пример 9. Решить уравнение
Решение. При проверке — корень уравнения. Для того, чтобы использовать свойство монотонности функции, преобразуем левую часть уравнения.
Так как функция убывает в области определения, то — единственный корень.
Доказать, что уравнения не имеют корней:
1. Ответ: 4. Новые переменные.
2. Ответ: 6. Возведение в квадрат.
3. Ответ: 0. Возведение в квадрат.
4. Ответ: -2; 2. Искусственный способ.
5. Ответ 0; 2. Замена.
7. Ответ: К тригонометрическому уравнению.
8. Сколько корней на имеет уравнение
9. Ответ: 1. Монотонность.
10. Ответ: 1. Монотонность.
Материалы этой статьи будут полезны при подготовке к итоговой аттестации и ЕГЭ, а также при изучении данной темы.