Семинар (5) (Семинары)
Файл «Семинар (5)» внутри архива находится в папке «Семинары». Документ из архива «Семинары», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «теория вероятностей и математическая статистика» из раздела «», которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа «Семинар (5)»
Текст из документа «Семинар (5)»
Семинар 4.
1. Распределение Пуассона.
Расчёт вероятностей в биноминальной схеме при больших 
затруднителен. Но в случае малой вероятности 
успеха, можно оценить вероятность какого-либо события следующим образом. Предположим, что 
и 
, тогда 
. Обозначим 
, распределение вероятностей приобретает вид: 
. Данная формула для вычисления вероятности называется распределением Пуассона. Причём, так как 
, то данное распределение вероятностей можно брать в качестве вероятностной меры при построении каких-либо вероятностных пространств. В распределении Пуассона используется параметр , который, как видно, равен некоторому среднему числу успехов в серии из испытаний, иными словами этот параметр равен ожидаемому числу успехов, где под понимается не вероятность, а частота успеха.
Пример 5.2:
Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 3 опечаток.
Можно ожидать, что на одной странице встретится 0.1 опечаток, причём количество букв на одной странице велико, таким образом можно воспользоваться распределением Пуассона с параметром 
. По другому, вероятность встретить опечатку при проверке одной буквы равна 
, где – число букв на странице. Проверяется букв, причём 
, то есть можно воспользоваться распределением Пуассона. Искомая вероятность будет равна:
Пример 5.4:
Сколько изюма в среднем должны содержать калорийные булочки для того, чтобы вероятность иметь в булочке хотя бы одну изюмину была не менее 0.99?
Пусть в среднем булочки содержат 
изюмин. Тогда искомая вероятность будет 
, по условию она должна быть больше 0.99. Таким образом 
Пример 5.7:
Предположим, что при наборе книги существует вероятность 
того, что любая буква может быть набрана неправильно. После набора гранки прочитывает корректор, который обнаруживает каждую опечатку с вероятностью 
. После корректора – автор, обнаруживающий каждую из оставшихся опечаток с вероятностью 
. Найти вероятность того, что в книге со ста тысячами печатных знаков останется после этого не более 10 незамеченных опечаток.
Для начала нам нужно найти вероятность успеха в одном испытании, в данном случае – это вероятность того, что останется опечатка.
Обозначим 
– буква набрана с опечаткой,
– корректор её исправил,
– опечатку исправил автор,
– опечатка осталась.
Тогда нам требуется найти 
.
Очевидно, что 
, отсюда
Искомая вероятность будет 
2. Локальная и интегральная предельная теоремы Муавра-Лапласа.
Для биноминального распределения существуют с помощью формулы Стирлинга 
можно получить приближённую формулу:
Данная формула называется локальной предельной теоремой Муавра-Лапласа.
Но при большом числе испытаний, как правило бессмысленно говорить о событии, заключающемся в наступлении ровно 
успехов. События, для которых имеет смысл искать вероятность, – это интервалы. Иными словами, такие события заключаются в том, что число успехов лежит в некотором интервале. Для таких интервальных событий справедлива интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа: 
. Где 
называется интегралом ошибок.
Пример 6.1:
Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0.515. Какова вероятность того, что среди десяти тысяч новорождённых мальчиков будет не больше, чем девочек?
Пример 6.2:
Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-ом году жизни равна 0.006. Застрахована группа в 10000 человек 20-летнего возраста, причём каждый застрахованный внёс 1.2 рубля страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного страховое учреждение выплачивает наследникам 100 рублей. Какова вероятность того, что:
а) к концу года страховое учреждение окажется в убытке;
б) его доход превысит 6000 рублей; 4000 рублей?
Семинары / Семинары / SEMINAR4
Расчёт вероятностей в биноминальной схеме при больших 
затруднителен. Но в случае малой вероятности 
успеха, можно оценить вероятность какого-либо события следующим образом. Предположим, что 
и 
, тогда 
. Обозначим 
, распределение вероятностей приобретает вид: 
. Данная формула для вычисления вероятности называется распределением Пуассона. Причём, так как 
, то данное распределение вероятностей можно брать в качестве вероятностной меры при построении каких-либо вероятностных пространств. В распределении Пуассона используется параметр 
, который, как видно, равен некоторому среднему числу успехов в серии из 
испытаний, иными словами этот параметр равен ожидаемому числу успехов, где под 
понимается не вероятность, а частота успеха.
Пример 5.2:
Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 3 опечаток.
Можно ожидать, что на одной странице встретится 0.1 опечаток, причём количество букв на одной странице велико, таким образом можно воспользоваться распределением Пуассона с параметром 
. По другому, вероятность встретить опечатку при проверке одной буквы равна 
, где 
– число букв на странице. Проверяется 
букв, причём 
, то есть можно воспользоваться распределением Пуассона. Искомая вероятность будет равна:
Пример 5.4:
Сколько изюма в среднем должны содержать калорийные булочки для того, чтобы вероятность иметь в булочке хотя бы одну изюмину была не менее 0.99?
Пусть в среднем булочки содержат 
изюмин. Тогда искомая вероятность будет 
, по условию она должна быть больше 0.99. Таким образом 
Пример 5.7:
Предположим, что при наборе книги существует вероятность 
того, что любая буква может быть набрана неправильно. После набора гранки прочитывает корректор, который обнаруживает каждую опечатку с вероятностью 
. После корректора – автор, обнаруживающий каждую из оставшихся опечаток с вероятностью 
. Найти вероятность того, что в книге со ста тысячами печатных знаков останется после этого не более 10 незамеченных опечаток.
Для начала нам нужно найти вероятность успеха в одном испытании, в данном случае – это вероятность того, что останется опечатка.
Обозначим 
– буква набрана с опечаткой,
– корректор её исправил,
– опечатку исправил автор,
– опечатка осталась.
Тогда нам требуется найти 
.
Очевидно, что 
, отсюда
и 
Искомая вероятность будет 
2. Локальная и интегральная предельная теоремы Муавра-Лапласа.
Для биноминального распределения существуют с помощью формулы Стирлинга 
можно получить приближённую формулу:
Данная формула называется локальной предельной теоремой Муавра-Лапласа.
Но при большом числе испытаний, как правило бессмысленно говорить о событии, заключающемся в наступлении ровно 
успехов. События, для которых имеет смысл искать вероятность, – это интервалы. Иными словами, такие события заключаются в том, что число успехов лежит в некотором интервале. Для таких интервальных событий справедлива интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа: 
. Где 
называется интегралом ошибок.
Пример 6.1:
Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0.515. Какова вероятность того, что среди десяти тысяч новорождённых мальчиков будет не больше, чем девочек?
Пример 6.2:
Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-ом году жизни равна 0.006. Застрахована группа в 10000 человек 20-летнего возраста, причём каждый застрахованный внёс 1.2 рубля страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного страховое учреждение выплачивает наследникам 100 рублей. Какова вероятность того, что:
а) к концу года страховое учреждение окажется в убытке;
б) его доход превысит 6000 рублей; 4000 рублей?
а) 
б) 
в) 
Книга в 500 страницах содержит 50 опечаток. Найдите вероятность того, что на первых 10 страницах меньше двух опечаток.
Интенсивность числа опечаток равна . Вероятность появления �� событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона Вероятность события �� − на первых десяти страницах (�� = 10) окажется меньше двух опечаток, равна:
Похожие готовые решения по теории вероятности:
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.