Потенциалы
В этой статье заряды перемещают из точки в точку, электроны и альфа-частицы разгоняются и тормозят, совершается работа. Мы научимся определять знак этой работы, знаак напряжения и знак разности потенциалов.
Задача 1. Какую работу совершает поле при перемещении заряда $q=20$ нКл из точки с потенциалом $\varphi_1=700$ В в точку с потенциалом $\varphi_2=200$ В?
Работа поля равна:
$$A=q \Delta \varphi=q(\varphi_1-\varphi_2)=20\cdot10^<-9>\cdot(700-200)=10^<-5>$$
Задача 2. В однородном электрическом поле напряженностью $E=1$ кВ/м переместили заряд $q=-25$ нКл в направлении силовой линии на расстояние $r=2$ см. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля и напряжение между начальной и конечной точками перемещения.
Так как заряд перемещают в направлении линии поля, следовательно, из точки с большим потенциалом в точку с меньшим. Если бы заряд был положительным, работа поля была бы положительной, но в случае отрицательного заряда при перемещении его по силовой линии (то есть как бы в сторону, где расположен отрицательный заряд) работа поля отрицательна.
$$A=F r=E q r=1000\cdot (-25)\cdot10^<-9>\cdot 0,02=-5\cdot10^<-6>$$
Так как $A= -q \Delta \varphi$, то
Так как заряд перемещают из точки с большим потенциалом в точку с меньшим, то разность потенциалов положительна (напряжение было бы отрицательным).
Ответ: $A=-5\cdot10^<-6>$, или $-5$ мкДж, $\Delta W=5$ мкДж, $\Delta \varphi=20$ В.
Задача 3. В однородном поле напряженностью $E=60$ кВ/м переместили заряд $q=5$ нКл. Перемещение $r=20$ см образует угол $\alpha=60^<\circ>$ с направлением силовой линии. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля и напряжение между начальной и конечной точками перемещения, а также разность потенциалов между ними.
Работа поля равна
$$\Delta \varphi =-U=-6000$$
Ответ: $A=30$ мкДж, $\Delta W=-30$ мкДж, $U=6000$ В, $\Delta \varphi=-6000$ В.
Задача 4. Под действием электрического поля электрон переместился из точки с потенциалом $\varphi_1=200$ В в точку с потенциалом $\varphi_2=300$ В. Найти кинетическую энергию электрона, изменение потенциальной энергии взаимодействия с полем и приобретенную скорость. Начальную скорость электрона считать равной нулю.
Кинетическая энергия электрона
Численно работа поля равна изменению кинетической энергии электрона. Работа поля отрицательна (перемещаем отрицательный заряд против линий поля):
$$A=-q \Delta \varphi=-q (\varphi_1-\varphi_2) =-(-1,6\cdot10^<-19>)\cdot(200-300)=-1,6\cdot10^<-17>$$
Тогда скорость электрона
Ответ: $\upsilon=5,9\cdot10^6$ м/с, или 5,9 Мм/c, $\Delta W=1,6\cdot10^<-17>$ Дж, $E_k=1,6\cdot10^<-17>$ Дж.
Задача 5. Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с $\upsilon_1=10^7$ м/с до $\upsilon_2=3\cdot10^7$ м/с. Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения.
Электрон увеличил скорость, следовательно, двигался против линий поля, а при движении отрицательного заряда против линий поля работа поля положительна. Зато изменение потенциальной энергии взаимодействия поля с зарядом – отрицательно. Заряд двигается из точки с меньшим потенциалом в точку с большим, поэтому разность потенциалов отрицательна.
Изменение кинетической энергии электрона равно:
$$\Delta E_k=-\Delta W$$
Ответ: $\Delta \varphi=-2275$ В.
Задача 6. Альфа-частица движется со скоростью $\upsilon=2\cdot10^7$ м/с и попадает в однородное электрическое поле, силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы. Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки? Какой должна быть напряженность электрического поля, чтобы частица остановилась, пройдя расстояние $s=2$ м?
Альфа-частица заряжена положительно, при движении против линий поля она будет тормозить, а работа поля будет отрицательной. Следовательно, изменение потенциальной энергии взаимодействия поля с зарядом – положительно. Когда частица остановится, это значит, что вся ее кинетическая энергия перейдет в потенциальную.
Заряд альфа-частицы равен удвоенному заряду электрона (но положительный), а масса равна учетверенной а.е.м.
Поэтому $\Delta \varphi=-U=4,2\cdot10^6$
Ответ: $E=2,1\cdot10^6$ В/м, $\Delta \varphi=4,2\cdot10^6$ В.
Задача 7. Величина напряженности электрического поля изменяется в некотором направлении по закону $E=Ar$, где $A=4$ В/м$^2$. Позитрон начинает двигаться из положения, в котором $r=0$. Какую скорость он приобретет, пройдя путь $s=1$ м вдоль этого направления?
Так как позитрон – частица с положительным зарядом, то двигался он вдоль направления линий поля и работа поля в этом случае положительна. Работа поля будет преобразована в кинетическую энергию частицы.
В качестве величины напряженности поля примем среднюю:
Ответ: $\upsilon=8,4\cdot10^5$ м/с.
Задача 8. В однородном электрическом поле выбраны точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $N$, расположенные вдоль одной прямой на одинаковых расстояниях друг от друга. Найти потенциалы точек $B$ и $D$, принимая поочередно $A$, $C$ и $N$ за точки нулевого потенциала, если разность потенциалов $\varphi_B-\varphi_D=50$ В.
Точки, как видно, расположены так, что от $A$ к $N$ потенциал убывает. Поэтому, так как точки расположены равномерно, на равных расстояниях, то сразу понятно, что между двумя соседними разность потенциалов 25 В (так как по условию между $B$ и $D$ – 50 В). Следовательно, если точка с нулевым потенциалом – точка $A$ – то у точки $B$ потенциал минус 25 В, а у $D$ – минус 75. Если точка с нулевым потенциалом – точка $C$ – то у точки $B$ потенциал 25 В, а у $D$ – минус 25. Если точка с нулевым потенциалом – точка $N$ – то у точки $B$ потенциал 75 В, а у $D$ – 25.