Как найти жорданову форму матрицы

Пример I. Найти жорданову нормальную форму матрицы

Следовательно, жорданова нормальная форма матрицы состоит из клеток Жордана с числами I и –I на диагонали. Количество всех клеток с числом I на диагонали равно . Количество всех клеток с числом –I на диагонали равно .

Пример 2. Найти жорданову нормальную форму матрицы

Следовательно, на диагонали стоят клетки Жордана с числами -I и 2. Количество всех клеток с числом -I на диагонали равно . Количество всех клеток с числом 2 на диагонали равно . Так как число является 3-кратным корнем характеристического многочлена, то на диагонали матрицы стоит одна клетка Жордана порядка и одна клетка Жордана порядка 2 с числом на диагонали. Значит,

Пример 3. Найти жорданову нормальную форму матрицы

Следовательно, по теореме Гамильтона-Кэли , т.е. линейный оператор с матрицей является нильпотентным.

Жорданова нормальная форма матрицы найдена в § 2. Она равна

Пусть — линейный оператор -мерного линейного пространства, — его матрица в некотором базисе. Укажем сейчас способ построения канонического базиса относительно , зная жорданову нормальную форму матрицы . Для этого достаточно найти матрицу перехода от данного базиса к искомому каноническому. Как известно, тогда

Матрица , удовлетворяющая равенству (I), может быть найдена следующим путем. Умножим обе части равенства (I) слева на и перенесем все члены полученного равенства в левую часть. Получим равенство

которое можно рассматривать как однородную систему линейных уравнений, в которой неизвестными являются элементы матрицы . Любое решение такой системы, удовлетворяющее дополнительному условию

дает нужную матрицу . Такое решение существует ввиду подобия и .

Упражнение. Известно, что матрицы с элементами из бесконечного поля подобны над расширением этого поля. Доказать, что они подобны над полем .

§ 5. Обобщенная жорданова нормальная форма.

Пусть — линейный оператор действительного -мерного линейного пространства. Так как характеристический полином оператора может иметь недействительные корни, то канонический базис относительно , вообще говоря, не существует. Тем не менее в действительном пространстве можно найти некоторую естественную замену жордановой нормальной формы матрицы оператора .

Пусть — неприводимый над полем полином, и – его корни, . Рассмотрим квадратную матрицу

порядка . Обозначим ее и назовем обобщенной клеткой Жордана . Эту матрицу можно записать в виде

повторяется на “диагонали” раз, а и — единичная и нулевая матрицы второго порядка.

Квазидиагональную матрицу , каждая “диагональная” клетка которой есть клетка Жордана или обобщенная клетка Жордана, назовем обобщенной жордановой матрицей . В частности, может быть .

Пусть — квадратная матрица над полем . Обобщенную жорданову матрицу, подобную матрице , назовем обобщенной жордановой нормальной формой матрицы . Целью этого параграфа является доказательство существования обобщенной жордановой нормальной формы и получение алгоритма построения такой формы.

Теорема 9. Для всякой квадратной матрицы над полем действительных чисел существует обобщенная жорданова нормальная форма. Она определена однозначно с точностью до порядка следования “диагональных” клеток .

Если характеристический полином матрицы имеет лишь действительные корни, то существует над полем жорданова нормальная форма матрицы . Она будет искомой. Поэтому будем рассматривать случай, когда характеристический полином матрицы имеет недействительные корни. Доказательству нашей теоремы для этого случая предпошлем несколько лемм, заметив предварительно, что над полем существует жорданова нормальная форма матрицы . Как и раньше, через будем обозначать количество клеток Жордана , стоящих на “диагонали” матрицы .

Доказательство. По формуле (*) § 4

Следовательно, нам достаточно показать, что — натуральное. Нетрудно убедиться, что и, значит, .

Жорданова нормальная форма матрицы. Характеристический многочлен жордановой клетки

Ужордановой клетки все диагональные элементы одинаковые, диагональ, параллельная главной и расположенная над ней или под ней, состоит из единиц, а все остальные элементы равны нулю.

Характеристический многочлен жордановой клетки выглядит так: . Таким образом, жорданова клетка имеет единственное характеристическое число , причем его кратность равна порядку этой клетки. В дальнейшем мы будем использовать жордановы клетки только первого вида. Примеры жордановых клеток:

Пусть матрица линейного оператора в некотором базисе

пространства совпадает с жордановой клеткой первого вида. Тогда:

Отсюда видно, что первый вектор этого базиса – собственный с собственным значением , а остальные – присоединенные к нему.

Жордановой матрицей называется блочно диагональная матрица , диагональными блоками которой являются жордановы клетки: . В этой матрице числа , также как и числа могут совпадать или быть различными. В частности, диагональная матрица является жордановой, все ее клетки имеют первый порядок.

Для любой комплексной квадратной матрицы А существует невырожденная матрица Т такая, что матрица – жорданова.

Матрица называется жордановой нормальной формой матрицы А. Жорданова нормальная форма матрицы определяется однозначно с точностью до порядка следования клеток. Жорданова нормальная форма действительной матрицы А может оказаться матрицей комплексной. Она будет действительной в том и только в том случае, когда матрица имеет только действительные характеристические числа.

Свойства жордановой матрицы. 1. Характеристический многочлен жордановой матрицы равен произведению характеристических многочленов составляющих ее жордановых клеток.

2. Диагональными элементами клеток, составляющих жорданову нормальную форму матрицы А, являются ее характеристические числа или собственные значения, что для комплексной матрицы одно и то же.

3. Сумма порядков всех клеток, соответствующих одному и тому же собственному значению, равна кратности этого собственного значения.

4. Число клеток, соответствующих одному и тому же собственному значению, равно количеству линейно независимых собственных векторов с этим собственным значением.

5. Число клеток порядка выше , соответствующих данному собственному значению, равно количеству линейно независимых собственных векторов с этим собственным значением, имеющих -е присоединенные векторы.

Пример 1. Записать жорданову нормальную форму матрицы пятого порядка в том случае, когда она имеет одно собственное значение кратности пять.

►Возможны следующие принципиально различные случаи:

1) . Это значит, линейный оператор имеет пять линейно независимых векторов, следовательно, жорданова форма имеет пять клеток. Так как сумма их порядков равна пяти, то все они имеют первый порядок, значит,

2) . Линейный оператор имеет четыре линейно независимых вектора, жорданова форма имеет четыре клетки, сумма их порядков равна пяти. Число пять можно разбить на четыре слагаемых только одним способом: одна двойка и три единицы. Соответственно жорданова форма имеет одну клетку второго порядка и три клетки первого порядка:

3) . Линейный оператор имеет три линейно независимых вектора, жорданова форма имеет три клетки. На три слагаемых число пять можно разбить двумя способами: а) тройка и две единицы, б) две двойки и единица. Чтобы эти случаи различить, надо знать количество линейно независимых собственных векторов, имеющих присоединенные. Если такой вектор один, имеем случай а), если два – то б):

4) . Жорданова форма имеет две клетки. Опять может быть два случая: а) по одной клетке четвертого и первого порядка, б) по одной клетке третьего и второго порядка. Если только один из собственных векторов имеет присоединенные, имеем случай а), если оба – то б):

5) . Жорданова форма имеет только одну клетку пятого порядка:

Для определения числа клеток го порядка, соответствующих собственному значению в жордановой нормальной форме матрицы, можно также воспользоваться следующей формулой:

Заметьте, что для определения числа клеток второго порядка пришлось бы вычислять куб матрицы (пятого порядка!). Используя свойства жордановой матрицы, мы прекрасно обошлись и без этой громоздкой формулы. Тем более что в практических задачах, требующих приведения матрицы к жордановой нормальной форме, используется и матрица , приводящая к этой форме. Матрица есть не что иное, как матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных и присоединенных векторов, поэтому их все равно приходится находить.

В примерах 2 – 7 требуется найти жорданову нормальную форму матрицы и невырожденную матрицу , приводящую к жордановой нормальной форме.

Пример 2.

►Составляем характеристический многочлен и находим его корни:

Все корни однократные, поэтому все клетки будут иметь первый порядок, матрица имеет диагональный вид:

Находим собственные векторы:

(используем алгебраические дополнения к элементам первой строки);

(координаты вектора – комплексно сопряженные числа к координатам вектора , см. пример § ). Матрица , приводящая к жордановой нормальной форме – это матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов:

Пример 3.

►1. Составляем характеристический многочлен и находим его корни:

Один из корней двукратный, ему может соответствовать одна или две клетки. Найдем для этого корня собственные векторы:

Так как , то , т.е. этому собственному значению соответствуют два линейно независимых собственных вектора, а значит, жорданова нормальная форма содержит две клетки с этим собственным значением. Сумма их порядков равна двум (кратности корня), поэтому они обе имеют первый порядок. Таким образом,