Расстояния между двумя точками
На данной странице калькулятор поможет рассчитать расстояние между двумя точками онлайн в плоскости и пространстве. Для расчета задайте координаты.
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, которая соединяет эти точки.
Расстояния между двумя точками
Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa; ya) и B(xb; yb) на плоскости:
Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa; ya; za) и B(xb; yb; zb) в пространстве:
Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости
Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат x и y.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:
Спомощью теоремы Пифагора, вычислим длину отрезка AB:
Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.
Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.
Расстояние между отрезками
Координаты концов первого отрезка: A(xa, ya), B(xb, yb).
Координаты концов второго отрезка: C(xc, yc), D(xd, yd).
Тогда t = Δ1/Δ, s = Δ2/Δ. Если 0 ≤ t,s ≤ 1 и Δ ≠ 0, то отрезки пересекаются и расстояние между ними min равно 0, иначе с каждого конца отрезка попытаемся опустить высоту на противоположный. Если отрезок, на который опускаем высоту вертикальный, то поменяем местами координаты каждого конца отрезка и точки, с которой опускаем высоту (таким образом сохраним расстояние между точкой и отрезком, а отрезок станет горизонтальным).
Пусть k и d — коэффициенты уравнения прямой, на которую опущена эта высота. Основание высоты будет находится на прямой в точке Z, координаты Z(xz, yz) можно найти по формуле yz = kxz + d. Поскольку высота перпендикулярна отрезку — скалярное произведение их векторов равно 0. Тогда (x2 — x1)(x3 — xz)+(y2 — y1)(y3 — yz) = 0, соответственно xz = (x3x2 — x3x1 + y2y3 — y1y3 + y1d — y2d)/(ky2 — ky1 + x2 — x1), где (x3, y3) — координаты точки, с которой была опущена высота, (x1, y1) и (x2, y2) — координаты концов отрезка, принадлежащего прямой на которую опущена высота.
Вычислим длину dl каждой высоты, основание которой принадлежит одному из данных отрезков: dl = √((x3 — xz) 2 + (y3 — kxz — d) 2 ).
Минимальная длина высоты и будет наименьшим расстоянием между отрезками. В случае, если невозможно опустить высоты из одного отрезка на другой: расстояние между ними будет равно минимальному расстоянию между концами двух отрезков: min = √((x1 — x3) 2 + (y1 — y3) 2 ), где (x1, y1) — координаты одного из концов первого отрезка, а (x3, y3) — координаты одного из концов второго отрезка.
Отрезок. Формула длины отрезка.
Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.
Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).
В данном примере вектор AB задан координатами (х2— х1, y2— y1). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:
Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек
Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х1y1) и (х2,у2).
Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.
Установим длину этих проекций.
На ось у длина проекции равна y2 — y1, а на ось х длина проекции равна х2 — х1. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)².
В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.
Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.