Как найти предел арктангенса

Арктангенс, арккотангенс – свойства, графики, формулы

График функции y = arctg x .

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Определение и обозначения

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс

График функции y = arcctg x .

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(– x ) = arctg(–tg arctg x ) = arctg(tg(–arctg x )) = – arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(– x ) = arcctg(–ctg arcctg x ) = arcctg(ctg(π–arcctg x )) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x .

Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x . (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

y = arctg x	y = arcctg x
Область определения и непрерывность	– ∞ < x < + ∞	– ∞ < x < + ∞
Множество значений
Возрастание, убывание	монотонно возрастает	монотонно убывает
Максимумы, минимумы	нет	нет
Нули, y = 0	x = 0	нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = π/ 2
–	π
0

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

Пределы с тригонометрическими функциями

Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:

и его следствие с тангенсом $$\lim\limits_ \frac<\sin x>= 1, \qquad \lim\limits_ \frac= 1$$
1. Тригонометрические преобразования и формулы

Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.

Подставляя $x=0$ в предел получаем неопределенность $(\frac<0><0>)$. Сделаем преобразования в числителе и знаменателе таким образом, чтобы появился замечательный предел.

$$ tg 2x = \frac <2x>\cdot 2x $$ $$ \sin 3x = \frac<\sin 3x> <3x>\cdot 3x $$

Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.

Теперь остается только сократить $x$ и записать ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).

Теперь с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2 — b^2$ упростим числитель.

В этой задаче не обойтись без тригонометрической формулы $1-\cos x = 2\sin^2 \frac<2>$. Выполним по ней преобразование выражение в знаменателе.

Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.

Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.

Выносим константу перед пределом и сокращаем $x$ в числителе и знаменателе.

Подставляя $x=0$ получаем неопределенность (0^0). Под пределом показательно-степенная функция, поэтому нужно воспользоваться логарифмированием и свести к неопределенности $(\frac<\infty><\infty>)$, чтобы затем воспользоваться правилом Лопиталя.

Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.

Подставляем полученное выражение под знак предела и применяем свойство предела для показательной функции.

Теперь, подставляя $x=0$ в предел, вычисляем окончательный ответ.

Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.

Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом именуют следующее равенство:

Так как при $\alpha\to<0>$ имеем $\sin\alpha\to<0>$, то говорят, что первый замечательный предел раскрывает неопределённость вида $\frac<0><0>$. Вообще говоря, в формуле (1) вместо переменной $\alpha$ под знаком синуса и в знаменателе может быть расположено любое выражение, – лишь бы выполнялись два условия:

Выражения под знаком синуса и в знаменателе одновременно стремятся к нулю, т.е. присутствует неопределенность вида $\frac<0><0>$. Выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают.

Часто используются также следствия из первого замечательного предела:

На данной странице решены одиннадцать примеров. Пример №1 посвящен доказательству формул (2)-(4). Примеры №2, №3, №4 и №5 содержат решения с подробными комментариями. Примеры №6-10 содержат решения практически без комментариев, ибо подробные пояснения были даны в предыдущих примерах. При решении используются некоторые тригонометрические формулы, которые можно найти тут.

Замечу, что наличие тригонометрических функций вкупе с неопределённостью $\frac <0><0>$ ещё не означает обязательное применение первого замечательного предела. Иногда бывает достаточно простых тригонометрических преобразований, – например, см. пример №11.

Формула доказана. Более строгое доказательство (с обоснованием равенства $\lim_<\alpha\to<0>>\cos\alpha=1$) можно посмотреть в решебнике Демидовича (№474.1).

б) Сделаем замену $\alpha=\sin$. Поскольку $\sin<0>=0$, то из условия $\alpha\to<0>$ имеем $y\to<0>$. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin)=y$, поэтому:

в) Сделаем замену $\alpha=\tg$. Поскольку $\tg<0>=0$, то условия $\alpha\to<0>$ и $y\to<0>$ эквивалентны. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $\arctg\alpha=\arctg\tg)=y$, поэтому, опираясь на результаты пункта а), будем иметь:

Равенства а), б), в) часто используются наряду с первым замечательным пределом.

Так как $\lim_>\frac=\frac<2^2-4><2+7>=0$ и $\lim_>\sin\left(\frac\right)=\sin<0>=0$, т.е. и числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac<0><0>$, т.е. первое условие выполнено. Кроме того, видно, что выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают (т.е. выполнено и второе условие):

Итак, оба условия, перечисленные в начале страницы, выполнены. Из этого следует, что применима формула (1), т.е. $\lim_> \frac<\sin\left(\frac\right)><\frac>=1$.

Так как $\lim_>\sin<9x>=0$ и $\lim_>x=0$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac<0><0>$, т.е. первое условие выполнено. Однако выражения под знаком синуса и в знаменателе не совпадают. Здесь требуется подогнать выражение в знаменателе под нужную форму. Нам необходимо, чтобы в знаменателе расположилось выражение $9x$, – тогда второе условие станет истинным. По сути, нам не хватает множителя $9$ в знаменателе, который не так уж сложно ввести, – просто домножить выражение в знаменателе на $9$. Естественно, что для компенсации домножения на $9$ придётся тут же на $9$ и разделить:

Теперь выражения в знаменателе и под знаком синуса совпали. Оба условия для предела $\lim_>\frac<\sin<9x>><9x>$ выполнены. Следовательно, $\lim_>\frac<\sin<9x>><9x>=1$. А это значит, что:

Так как $\lim_>\sin<5x>=0$ и $\lim_>\tg<8x>=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac<0><0>$. Однако форма первого замечательного предела нарушена. Числитель, содержащий $\sin<5x>$, требует наличия в знаменателе $5x$. В этой ситуации проще всего разделить числитель на $5x$, – и тут же на $5x$ домножить. Кроме того, проделаем аналогичную операцию и со знаменателем, домножив и разделив $\tg<8x>$ на $8x$:

Сокращая на $x$ и вынося константу $\frac<5><8>$ за знак предела, получим:

Обратите внимание, что $\lim_>\frac<\sin<5x>><5x>$ полностью удовлетворяет требованиям для первого замечательного предела. Для отыскания $\lim_>\frac<\tg<8x>><8x>$ применима формула (2):

Так как $\lim_>(\cos<5x>-\cos^3<5x>)=1-1=0$ (напомню, что $\cos<0>=1$) и $\lim_>x^2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac<0><0>$. Однако чтобы применить первый замечательный предел следует избавиться от косинуса в числителе, перейдя к синусам (дабы потом применить формулу (1)) или тангенсам (чтобы потом применить формулу (2)). Сделать это можно таким преобразованием:

Вернемся к пределу:

Дробь $\frac<\sin^2<5x>>$ уже близка к той форме, что требуется для первого замечательного предела. Немного поработаем с дробью $\frac<\sin^2<5x>>$, подгоняя её под первый замечательный предел (учтите, что выражения в числителе и под синусом должны совпасть):

Вернемся к рассматриваемому пределу:

Так как $\lim_>(1-\cos<6x>)=0$ и $\lim_>(1-\cos<2x>)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac<0><0>$. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела. Для этого перейдем от косинусов к синусам. Так как $1-\cos<2\alpha>=2\sin^2<\alpha>$, то:

Переходя в заданном пределе к синусам, будем иметь:

Вычислить предел $\lim_>\frac<\cos(\alpha)-\cos(\beta)>$ при условии $\alpha\neq\beta$.

Подробные пояснения были даны ранее, здесь же просто отметим, что вновь наличествует неопределенность $\frac<0><0>$. Перейдем от косинусов к синусам, используя формулу

Используя указанную формулу, получим:

Так как $\lim_>(\tg-\sin)=0$ (напомню, что $\sin<0>=\tg<0>=0$) и $\lim_>x^3=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac<0><0>$. Раскроем её следующим образом:

Аналогичную задачу можно посмотреть в решебнике Демидовича (№475)

Так как $\lim_>(1-\cos(x-3))=0$ и $\lim_>(x-3)\tg\frac<2>=0$, то наличествует неопределенность вида $\frac<0><0>$. Перед тем, как переходить к её раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах (1)-(4) переменная $\alpha \to 0$). Проще всего ввести переменную $t=x-3$. Однако ради удобства дальнейших преобразований (эту выгоду можно заметить по ходу приведённого ниже решения) стоит сделать такую замену: $t=\frac<2>$. Отмечу, что обе замены применимы в данном случае, просто вторая замена позволит поменьше работать с дробями. Так как $x\to<3>$, то $t\to<0>$.

Вновь мы имеем дело с неопределенностью $\frac<0><0>$. Перед тем, как переходить к ее раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах (1)-(4) переменная $\alpha\to<0>$). Проще всего ввести переменную $t=\frac<\pi><2>-x$. Так как $x\to\frac<\pi><2>$, то $t\to<0>$:

В данном случае нам не придётся использовать первый замечательный предел. Обратите внимание: как в первом, так и во втором пределах присутствуют только тригонометрические функции и числа. Зачастую в примерах такого рода удаётся упростить выражение, расположенное под знаком предела. При этом после упомянутого упрощения и сокращения некоторых сомножителей неопределённость исчезает. Я привёл данный пример лишь с одной целью: показать, что наличие тригонометрических функций под знаком предела вовсе не обязательно означает применение первого замечательного предела.

Так как $\lim_<2>>(1-\sin)=0$ (напомню, что $\sin\frac<\pi><2>=1$) и $\lim_<2>>\cos^2x=0$ (напомню, что $\cos\frac<\pi><2>=0$), то мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac<0><0>$. Однако это вовсе не означает, что нам потребуется использовать первый замечательный предел. Для раскрытия неопределенности достаточно учесть, что $\cos^2x=1-\sin^2x$:

Аналогичный способ решения есть и в решебнике Демидовича (№475). Что же касается второго предела, то как и в предыдущих примерах этого раздела, мы имеем неопределённость вида $\frac<0><0>$. Отчего она возникает? Она возникает потому, что $\tg\frac<2\pi><3>=-\sqrt<3>$ и $2\cos\frac<2\pi><3>=-1$. Используем эти значения с целью преобразования выражений в числителе и в знаменателе. Цель наших действий: записать сумму в числителе и знаменателе в виде произведения. Кстати сказать, зачастую в пределах аналогичного вида удобна замена переменной, сделанная с таким расчётом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (см., например, примеры №9 или №10 на этой странице). Однако в данном примере в замене смысла нет, хотя при желании замену переменной $t=x-\frac<2\pi><3>$ несложно осуществить.

Как видите, нам не пришлось применять первый замечательный предел. Конечно, при желании это можно сделать (см. примечание ниже), но необходимости в этом нет.

Каким будет решение с использованием первого замечательного предела? показать\скрыть