Палиндромы — геометрия цифр и букв
Числовой палиндром — натуральное число, которое читается слева направо и справа налево.
Результат сложения любого числа со своим зеркальным числом, сложенный со своим зеркальным значением рано или поздно станет палиндром.
Числа 1;2;4 и 8 имеют одинаковые палиндромы 77; 1111; 2222; 4444; 8888 и
479 522 020 225 974
Числа 3 и 6 так же имеют одинаковые палиндромы
33; 66; 363; 4884; 8836886388
Число 5, имеет палиндромы 333; 666; 3663; 99099; 127 854 458 721
Число 7, палиндромы 55; 121; 242; 484; 79497; 99099; 127 854 458 721
Числа 5; 7 и 9 имеют одинаковые палиндромы, начиная с 4 палиндрома числа 5; 6 палиндрома числа 7 и 2 палиндрома числа 9.
Интересна симметрия пар цифр, к примеру 1 и 3
Между этой парой цифр образуется 12 комбинаций напоминающих магический и латинский квадраты
13-31
31-13
вторая пара
131-313
313-131
третья пара
311-113
113-311
Если складывать пары числел, то получаются палиндромы:
13+31=44
131+313=444
311+113=424
Складывая числа 2 пары по диагонали, получаем так же палиндромы:
131+131=262
313+313=626
Складывая числа по диагонали в каждой из трех пар. так же получаем симметричную картину.
складывая все числа имеем в итоге так же палиндромы
1 пара 88
2 пара 888
3 пара 848
Выписав данные сочетания числе без пробелов получим так же палиндромы.
1331
131313313131
31113113311
Среди натуральных чисел подобным образом сочетаются между собой и палиндромы чисел 103 и 301
1102 и 2011
1113 и 3111 и другие.
Знаменитый треугольник Паскаля и числа Фибоначчи, палиндромы:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Палиндромами так же являются квадраты таких чисел, как 11, 111, 1111 и т д. А именно:
11112 = 1 234 321 и т. д.
Интересно! что
1 + 2 + 1 = 4 = 2(во 2степени)
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = 3(во 2степени)
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4(во 2степени)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 = 5(во 2степени)
Каждое из подобных чисел, можно изложить в виде неправильных дробей:
121=22х22/1+2+1
12321 =333х333/1+2+3+2+1
1234321=4444х4444/1+2+3+4+3+2+1
и так далее.
1089 преломляется в палиндром посредством сложения:
1089х1=1089
1089х2=2178
1089х3=3267
1089х4=4356
1089х5=5445 — естественный палиндром
1089х6=6534 — число зеркальное результату х4=4356
1089х7=7623
1089х8=8712
1089х9=9801
х1у1 + х2у2 = = х2у2+ х1у1 (*).
Например:
42 + 35 = 53 + +24.
Поскольку двузначные числа N1=х1у1 и N2 =х2у2 можно записать соответственно в виде N1 = 10х1 + у1 и N2 = 10×2 + y2 , то равенство (*) приводится к виду (10х1 + +у1) + (10х2 + у2) = (10у2 + х2) + +(10у1 + х1), или 9(х1 — у1) = 9(у2 — х2). Отсюда окончательно х1 + х2 = у1 + у2, то есть сумма первых цифр у всех таких пар чисел равна сумме их вторых цифр. Теперь можно без труда строить подобные примеры:
76 + +34 = 43 + 67,
25 + 63 = 36 + +52 и т. д.
Аналогичным образом такая же задача легко решается для остальных арифметических действий. В случае разности (- = — ) получается, например: 41- 32 = 23 — 14, 46 — 28 = 82 — 64, . — суммы цифр у таких чисел равны (х1 + у1 = х2+ + у2).
Для умножения имеем: 63.48 = 84.36, 82.14 = 41.28, . — произведение первых цифр у чисел N1 и N2 равно произведению их вторых цифр (х1. х2 = у1.у 2).
Наконец, для деления получаем:
82:41=28:14
62:31=26:13
— произведение первой цифры числа N1 на вторую цифру числа N2 равно произведению двух других их цифр: х1.у 2 = х2.у 1 (вы заметили связь между примерами на деление и умножение?).
https://www.nkj.ru/archive/articles/10656/
Палиндром — древнейшая забава человечества, насчитывающая почти двухтысячелетнюю историю.
Во все времена людей, пытающихся проникнуть в тайну слова, заглянуть за его границы, притягивали тексты, одинаково читаемые в обе стороны. Совпадение прямой и отраженной волн в палиндроме создавало иллюзию некоего божественного резонанса, объективности такого текста и даже наводило на мысль о его сверхъестествен ном происхождении. Недаром они применялись и как магические заклинания. Наши предки, произнося: "Уведи у вора корову и деву!", свято верили в то, что тем самым смогут уберечь себя.
С другой стороны, палиндромам приписывали способность усиливать и возможное зло, таящееся в обратимой фразе. Поэтому известный латинский палиндром Signa te signa, temere me tangis et angis, // Roma tibi subito motibus ibit Amor (т. е. "Крестись, Рим, крестись, того не зная, ты своими жестами вдруг призываешь к себе любовь"), приписывался "нечистому" (сравните с аналогичным "дьявольским" перевертышем на русском языке:
Нам Бог — обман,
Ад же дан, как надежда).
https://www.nkj.ru/archive/articles/10480/
В последние десятилетия стали интенсивно развиваться и исследоваться практически не известные доселе околопалиндромные формы. Упомяну лишь о некоторых из них.
Особенно наглядно свойственное палиндрому "вечное движение" (вращение) проявляется в циклических палиндромах, или круговертнях, то есть в текстах, одинаково читаемых в обе стороны, но уже при записи вдоль окружности:
Их, как правило, записывают линейно: Депутату — педагога! (А. Бубнов). И лег на веки Руси сурик евангелий. (С. Ф.). Мы, турки, круты. (С. Ф.). Из подобных циклических строчек можно составлять целые стихотворения, которые записываются по концентрическим окружностям: Макал бог облака // в золото лоз // и в инее нив // пили // мы // мед Эдема. (С. Ф.)
Еще одной разновидностью палиндрома является монопалиндром (термин А. Бубнова), т. е. единый палиндромный текст, записанный в несколько строк:
Мы дунем, // а // звуку // в // замену — // дым. Или: Юного // день, // лети! // Чую, // учитель, // не // догоню. (Д. Авалиани).
Но, пожалуй, наиболее парадоксальным родственником палиндрома является оборотень — текст, разно читаемый в обе стороны, при этом обратное прочтение противоположно прямому либо содержит иную информацию (впервые оборотни были введены в лингвистический обиход совсем недавно, в 1993 году: 1. ! Ура! К уму! (С. Ф.); обратно: Уму кару! 2. ! Я нем и нежен; обратно: Не жени меня! 3. Хороши там янки и "Марс" — а тута? (А. Бубнов); обратно: А тута — срам и икня, мат и шорох. 4. LUN (Edmond Jabes); обратно: NUL, т. е. в переводе с французского соответственно "все" и "ничто".
Обратимые тексты встречаются практически во всех известных, прошедших определенный уровень развития языках — от китайского и арабского до европейских (мне, в частности, известно о недавней работе немецкого филолога и поэта Х. Пфейффера, в которой приводится обзор литературы о палиндромах из сорока с лишним стран).
поворотень — это текст, так же или по-другому читаемый после поворота листа бумаги на определенный угол. Специфика поворотня, как совершенно уникального визуального жанра работы со словом, наглядно проявляется в двух наиболее интересных и плодотворных частных случаях: поворота на 90о и 180о. Поворотни первого типа называются ортогоналами, а второго — опрокиднями:
1. ортогонал: друг // враг (С. Ф.)
(Иллюстрация 2)
2. опрокидень: Звезда // звезда (Д. Авалиани)
(Иллюстрация 3)
3. опрокидень: Ты Бог // гад ты (С. Ф.)
(Иллюстрация 4)
В свою очередь наиболее перспективным из этих двух подвидов поворотня представляется опрокидень. Во всяком случае, примеров опрокидней известно на порядок больше, нежели ортогоналов. Поэтому заострим свое внимание именно на них.
Уже из приведенных выше примеров становятся видны принципиальные отличия опрокидня от палиндрома.
Во-первых, палиндромные строчки объективны и практически не зависят от индивидуальности автора. Поэтому-то так часты пересечения у любителей палиндромов. Опрокидни же сугубо индивидуальны, интимны, целиком зависят от почерка и фантазии автора:
1. Совсем я плох // хочу в народ.
(Иллюстрация 5)
2. Нимфа // вернись
(Иллюстрация 6)
3. Вернись // никогда (Д. Авалиани).
https://www.nkj.ru/archive/articles/10480/
Петер Самовол, преподаватель математики университета Бен-Гуриона в Израиле обнаружил, что в русском языке существует 19 1-буквенных слов-палиндромов.
2-буквенных слов-палиндромов — 26.
3-буквенных слов-палиндромов — 100.
4-буквенных слов-палиндромов — 6.
5-буквенных слов-палиндромов — 20
Буквенные палиндромы
Я или суетен, или не те усилия?
(Д. Авалиани).
Он — верба, но она бревно.
(С. Ф.).
Аргентина манит негра.
(В. Софроницкий).
Уж редко рукою окурок держу.
(Б. Гольдштейн).
Простейшие слова-палиндромы: мим, дед, наган, заказ, кабак, казак, мадам, шалаш. Самое длинное слово-палиндром, существительное, содержит 7 букв — ротатор. А если не требовать именительного падежа и единственного числа, то рекордсменом будет слово манекенам.
Будущие, ищу дуб,
Но сила ли сон?
* * *
Лад, опыт ты подал.
* * *
Иль обида ради боли?
* * *
Нов зверя рев-звон.
Доктор геолого-минералогических наук, кандидат физико-математических наук Б. ГОРОБЕЦ отмечает, что в русских палиндромах неизменно нечетное количество букв
https://www.nkj.ru/archive/articles/538/
Первый неожиданный результат был получен при частотном анализе распределения слов по числу букв. Почти все слова-палиндромы русского языка насчитывают нечетное число букв, от 1 до 11 (синие линии на гистограмме). Ничего подобного нет среди обычных, то есть несимметричных, слов (красные линии на гистограмме, демонстрирующие частотность слов, взятой из Частотного словаря русского языка, 1977, с.930). Гистограммы различаются настолько разительно, что нет смысла приводить математические выкладки по проверке статистической гипотезы о значимости указанного различия. Хотя сделать это несложно, и можно показать, что риск ошибки в сделанном выводе не превышает 0,01%.
Интереснее и сложнее вопрос о том, какому теоретическому закону распределения подчиняется объединение букв в симметричные слова. Как видно из колоколообразной сглаживающей кривой на графике из Частотного словаря, распределение обычных слов в основном словаре (не в текстах!) русского языка подчиняется нормальному (гауссовскому) закону распределения (см. "Наука и жизнь" № 2, 1995 г.). Математическое ожидание (среднее число) составляет приблизительно 9 букв. Между тем у слов-палиндромов оно равно 4,1 буквы, а среднее квадратичное отклонение (СКО) составляет 1,7 буквы. Эмпирический закон зафиксирован, но его математическое описание, моделирование или хотя бы аналитическая подгонка требуют специального исследования. Ведь этот закон явно не соответствует ни природе появления случайного события (сложение букв в слово-палиндром), ни внешнему подобию основным законам распределения, изучаемым в курсах математической статистики (равномерному, показательному, пуассоновскому, геометрическому и гипергеометрическому). Ясно только, что будущая формула закона должна содержать множитель (-1)2п-1 и асимптотический член, возможно экспоненциальный, быстро стремящийся к нулю при n ; ; , где n — число букв в слове.
Простейшее лингвистическое (хотя и явно недостаточное) объяснение наблюдаемого "закона нечетности" можно предложить, рассмотрев противоположную (чисто умозрительную) гипотезу. Допустим, что в языке частотность симметричных слов с четным и нечетным числом букв была бы одного порядка. Тогда в словах с четным числом букв существовали бы десятки слов со сдвоенным центром в виде двух одинаковых гласных или же согласных. И действительно, таких слов немало: баллон, галлон, перрон, зуммер, триггер, выжжен, поддав, веер, леер, пиит и т. д. Только вот палиндромов среди них почти нет, кроме, пожалуй, слов массам и устаревшего итти, а также имен собственных Анна, Алла, АССА, Отто. Еще менее характерны сдвоенные гласные: с натяжкой можно привести единственный пример еле-еле, в котором центром служит дефис, а не двойная гласная. Между тем подобные гласные характерны, например, для голландского и эстонского языков и несколько менее — для английского (пооп, deed, sees). Сдвоенные гласные, по-видимому, вообще нехарактерны для славянских языков. Любопытно, что и среди трех дюжин искусственных слов-неологизмов содержится всего лишь одно слово-палиндром с четным числом букв — ИНООНИ.
Итак, "закон нечетности" распространяется исключительно на буквенно-симметричные словоформы, то есть на палиндромы! Однако, разумеется, это утверждение требует более строгой математико-лингвистической проверки путем подсчета слов со сдвоенным центром, имеющих как четное, так и нечетное число букв.
Замечательно, что действие "закона нечетности" распространяется не только на слова, но и на палиндромные фразы и более сложные тексты. Случайная выборка из 114 фраз у 33 авторов показала, что их доля с четным числом букв составляет 12,3%. У классика жанра Д. Авалиани она равна 13,5% в выборке из 200 фраз. Отсюда средняя доля центро-симметричных фраз, то есть фраз с центральной буквой, близка к 88% (тоже, кстати, цифровой палиндром!).
Отметим, что в число относительно редких четнобуквенных палиндромов входит класс "оборотней" — редкой разновидности палиндромов, обе половины которых имеют равное число букв и представляют собой законченные в смысловом отношении фразы, иногда совершенно несвязанные по смыслу. И это порой придает им неожиданную пикантность. Широко известен классический оборотень На Ритке снег. Генсек — тиран (С. Федин). Еще примеры: На вид Лавр опытен = Не ты порвал диван? / Лечу, сев на руле. — На в лоб! = Болван ел уран, вес учел (Б. Горобец).
Естественен вопрос: а для чего все это нужно? Законы словообразования (если они действительно законы, выраженные количественно) действуют специфично и объективно на данное множество элементов, помогают формировать ту научную базу данных, которая необходима для создания и совершенствования новых информационных технологий, в частности кодирования и декодирования сообщений, переводов, распознавания образов (слов, слогов) в сигнале на фоне шума. И здесь нужны сведения о частотности слов в речи и литературе различных стилей. Эту работу еще предстоит выполнить.
Амфирифма
Сологолос
(В. Рыбинский)
Анархоохрана
Микрозорким
Маревоверам
Суперэпус
Синепенис
Трах-арт
Тревыверт
(В. Гершуни)
Лохохохол
(Джети
Автоботва
Аквалавка
Пракарп
Ретропортер
(Б. Гринберг)
Оленинело
(Ю. Телесин)
Девовед
Монгологном
Мордодром
(В. Хромов)
Икотопотоки
(Л. Адрианов)
Артсестра
Иноони
(Г. Лукомников)
Коненок
(К. Соприцкий)
Киторотик
(П. Нагорских)
Речевечер
(С. Красовицкий)
МакроЛоркам
МикроГорьким
Сотанатос
Солововолос
(С. Федин)
Тревоговерт
(Д. Минский)
Китокотик
Лифонофил (лифон жарг.- лифчик)
Недороден
Ротомотор
(Б. Горобец)
Найдите максимальную по длине палиндромную подстроку
Классическая задача. Найдите в данной вам строке максимальную по длине подстроку, которая является палиндромом (то есть читается слева направо и справа налево одинаково). Предложите как можно более эффективный алгоритм.
Решение за О(n²) и О(1) памяти: перебор
Очевидное квадратичное решение приходит в голову практически сразу. У каждого палиндрома есть центр: символ (или пустое место между двумя соседними символами в случае палиндрома четной длины), строка от которого читается влево и вправо одинаково. Например, для палиндрома abacaba таким центром является буква c, а для палиндрома colloc — пространство между двумя буквами l. Очевидно, что центром нашей искомой длиннейшей палиндромной подстроки является один из символов строки (или пространство между двумя соседними символами), в которой мы производим поиск.
Теперь мы можем реализовать такое решение: давайте переберем все символы строки, для каждого предполагая, что он является центром искомой самой длинной палиндромной подстроки. То есть предположим, что на данный момент мы стоим в i-ом символе строки. Теперь заведем две переменных left и right , изначально left = i — 1 и right = i + 1 для палиндромов нечетной длины и i — 1 , i соответственно для палиндромов четной длины. Теперь будем проверять, равны ли символы в позициях строки left и right . Если это так, то уменьшим left на 1, а right увеличим на 1. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока символы в соответствующих позициях станут не равны, или же мы не выйдем за границы массива. Это будет означать, что мы нашли самый длинный палиндром в центре с i -ым символов в случае для палиндрома нечетной длины и в пространстве между i -ым и i — 1 -ым символом в случае палиндрома четной длины. Выполним такой алгоритм для всех символов строки, попутно запоминая найденный максимум, и таким образом мы найдем самую длинную палиндромную подстроку всей строки.
Докажем, что это решение работает за O(n²). Рассмотрим строку ааааааааааааааа… Для каждого ее символа мы будем двигать left и right, пока не выйдем за границы массива. То есть для первого символа мы сделаем 0*2 (умножение на 2 происходит, потому что мы выполняем алгоритм два раза — для палиндромов нечетной и четной длины) итераций, для второго 1*2, для третьей 2*2, и т.д. до центра, потом кол-во итераций станет уменьшаться. Это арифметическая прогрессия с разностью 2. Рассмотрим сумму этой арифметической прогрессии до середины строки. Как известно, сумма арифметической прогрессии имеет формулу (A1+An)/2*n. В нашем случае A1 = 0, An = n/2*2 = n. (0+n)/2*n = n/2*n = O(n²). Для убывающей части все аналогично, там тоже получится O(n²). O(n²)+O(n²) = O(n²), ч.т.д.
Решение за О(n log n) по времени и О(n) памяти: полиномиальный хэш + бинпоиск
Это решение является ускоренной модификацией предыдущего. Можно посчитать для строки полиномиальный хеш, замечательным свойством которого является то, что мы можем за О(1) получить хеш любой подстроки, а значит, посчитав его для оригинальной и перевернутой строки мы можем за О(1) проверить, является подстрока [l..r] палиндромом (реализацию можно найти здесь). Следующее замечание состоит в том, что для каждого центра при переборе подстрока на некотором количестве итераций сначала будет являться палиндромом, а затем всегда нет. А это значит, что мы можем воспользоваться бинпоиском: переберем все символы, для каждого бинпоиском найдем максимальную палиндромную подстроку с центром в нем, по ходу дела будем запоминать найденный максимум.
Очевидно, что это решение работает за О(n log n) по времени. Мы перебираем все n символов, для каждого совершаем O(log n) итераций бинпоиска, на каждой из который проверяем, является ли подстрока палиндромом. В итоге: O(n log n) по времени и О(n) по памяти (потому что нам наобходимо хранить посчитанные хеши).
Решение за О(n) времени и O(n) памяти: алгоритм Манакера
Несправедлимым будет не упомянуть в этой статье алгоритм Манакера, решающий поставленную задачу за линейное время и линейную память.
Палиндром: определение и применение в разных языках программирования
На самом деле, в обычной жизни редко когда есть нужда специально искать палиндром в тексте, а в программировании еще реже , чем в обычной жизни. Основн ая сфер а , где палиндром и программирование пересекаются , — это конкурсное программирование и собеседования. И там и там задач по поиску палиндрома в текстах хватает. Другое практическое применение поиска палиндром а в программировани и о стается на индивидуальном уровне, то есть, возможно, кому -то это надо, но чаще всего вообще никому не нужно. Суть сегодняшней статьи заключается в том, чтобы показать способ, как правильно выстроить алгоритм, который выполнит поиск палиндрома в тексте. Потом эти знания вы сможете применять по своему усмотрению.
Палиндром и С/С++
-
простой алгоритм с применением асимптотики;
-
метод с использованием хеша;
-
алгоритм Манакера;
-
палиндромное дерево;
-
и др.
Палиндром и Python
-
необходимо прочитать символьный набор;
-
сохранить символьный набор в переменной;
-
«перевернуть» набор символов;
-
сравнить оригинальный набор с «перевернутым»;
-
если наборы совпадают, тогда необходимо вывести, что символы являются палиндромом;
-
если наборы не совпадают, тогда необходимо вывести оповещение об этом.
Палиндром и PHP
Чтобы найти палиндром, применяя PHP , необходимо преследовать ту же логику п ри составлении программы, как и на Python.
Как выглядит код программы:
<_?php
// для того чтобы определить палиндром в php, необходимо составить специальную функцию
$input = «строка, которую необходимо проверить на палиндромность»;
echo ‘
Input String ‘. $input;
//реверсируем («переворачиваем») строку
$reverse = strrev($input);
echo ‘
Ouput String ‘. $reverse;
//сравниваем, если оригинальная строка одинакова с «перевернутой»
if($input == $reverse) (
echo ‘
‘.$input.’ Это палиндром!’;
)
else (
echo ‘
‘.$input.’ Это не палиндром!’;
)
?>
Заключение
Палиндром можно определить, применяя возможности любого языка программирования, а не только C/C++, Python, PHP. Для того чтобы найти палиндром, необходимо осознать механизм , по которому нужно осуществлять поиск. Реверс наборов символо в ( строк) — это самый простой подход, который в большинстве случаев помогает.
Мы будем очень благодарны
если под понравившемся материалом Вы нажмёте одну из кнопок социальных сетей и поделитесь с друзьями.