Формула решения уравнения 4 степени
Существует несколько методов нахождения корней полиномиального уравнения 4-ой степени.
Однако они не очень удобны при решении уравнений с коэффициентами, которые представляют собой выражения с параметрами.
1. Формула решения уравнения 4 степени
Рассмотрим уравнение 4-ой степени, сумма корней которого равна нулю. Коэффициенты могут быть вещественными или комплексными.
Произведение следующих двух квадратов тождественно рассматриваемому уравнению 4-ой степени.
Значение R является решением следующего кубического уравнения.
Почти такое же уравнение появляется при решении уравнения 4-ой степени путем разложения на разность полных квадратов. Будем называть данное кубическое уравнение вспомогательным.
Вычислим произведение двух квадратов new.
То же самое, но в форме коэффициентов при степенях x (в порядке убывания степеней).
Упростим выражения для коэффициентов при второй и первой степени x.
Приведенное выражение для первой степени x.
В итоге получаем k1.
Приведенное выражение для второй степени x.
Подставив выражение для R^3 получим
Итак, new тождественно уравнению 4-ой степени, сумма корней которого равна нулю.
Осталась проблема со вспомогательным кубическим уравнением.
Конечно можно использовать традиционные методы решения. Но тогда потребуется преобразовывать уравнение к каноническому виду и отдельно рассматривать три варианта решения в зависимости от значений коэффициентов. Для коэффициентов представляющих из себя выражения с параметрами это не всегда удобно.
2. Решение кубического уравнения методом преобразования Чирнгаузена
Рассмотрим решение кубического уравнения не очень широко распространенным методом преобразования Чирнгаузена.
Итак, решаем исходное уравнение
Суть метода заключается в следующих преобразованиях.
1. Вводится уравнение для y
2. Обе части равенства из п.1 умножаются на x
Затем выражение для x^3 заменяется на
В общем описанные в п.2 преобразования не являются тождественными. Но если считать интересными только значения x, которые являются корнями исходного уравнения, то данные преобразования можно считать квазитождественными. И тогда y представляется выражением, соответствующим корням исходного уравнения.
3. Для кубического уравнения операция в п.2 производится еще один раз. В итоге получается система из 3 уравнений по x, которая имеет три ненулевых решения, соответствующих корням исходного уравнения. Из коэффициентов x формируем матрицу
4. Находим определитель матрицы, который представляется кубическим выражением по y.
Вычисляем значения, обеспечивающие равенство определителя нулю.
5. В уравнении по y имеются два параметра P и Q. Вычислим их так, чтобы нулю равнялись коэффициенты при второй и первой степени y.
6. В итоге имеем уравнение c тремя кратными корнями для y
7. Остается решить квадратное уравнение с известными y, P, Q
Одно из решений будет решением исходного уравнения.
3. Параметры решения вспомогательного кубического уравнения
Для конкретных значений коэффициентов все выглядит не таким страшным образом.
Отметим, что для формулы решения уравнения 4-ой степени требуется только один корень R вспомогательного кубического уравнения.
Для конкретных коэффициентов вспомогательного уравнения имеем
При использовании формулы решения уравнения 4-ой степени необходимо ссылаться — «Метод ftvmetrics».
Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .
Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A — 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 — 2 B A x 2 = 0 x 2 — 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:
4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 — 4 x 2 = 2 x 2 — 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
2 x 2 — 2 x + 1 = 0 D = ( — 2 ) 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 — D 2 · 2 = 1 2 — i
2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 3 = — 2 + D 2 · 2 = — 1 2 + i x 4 = — 2 — D 2 · 2 = — 1 2 — i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x = 1 2 ± i и x = — 1 2 ± i .
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0
х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0
Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2 :
A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 — 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C — 2 A = 0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :
2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0
2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0
Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2
2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 — 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0
Решим полученное квадратное уравнение:
D = 2 3 + 2 2 — 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 — 8 6 = = 12 — 4 6 + 2 = 2 3 — 2 2 y 1 = — 2 3 — 2 + D 2 · 2 = — 2 3 — 2 + 2 3 — 2 4 = — 2 2 y 2 = — 2 3 — 2 — D 2 · 2 = — 2 3 — 2 — 2 3 + 2 4 = — 3
Вернемся к замене: x + 1 x = — 2 2 , x + 1 x = — 3 .
Решим первое уравнение:
x + 1 x = — 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 2 = — 14 x 1 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 + i · 14 4 x 2 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 — i · 14 4
Решим второе уравнение:
x + 1 x = — 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 1 x 3 = — 3 + D 2 = — 3 2 + i · 1 2 x 4 = — 3 — D 2 = — 3 2 — i · 1 2
Ответ: x = — 2 4 ± i · 14 4 и x = — 3 2 ± i · 1 2 .
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.
Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 — 3 = 0 .
Решение
Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2 y 2 + 5 y — 3 = 0 D = 5 2 — 4 · 2 · ( — 3 ) = 49 y 1 = — 5 + D 2 · 2 = — 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = — 5 — D 2 · 2 = — 5 — 7 4 = — 3
Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = — 3 .
Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .
Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .
Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .
Решение
Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 — 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = — 145 + D 2 · 16 = — 145 + 143 32 = — 1 16 y 2 = — 145 — D 2 · 16 = — 145 — 143 32 = — 9
Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = — 1 16 или x 2 = — 9 .
Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 — x — 6 = 0 .
Решение
Имеем А = 3 , В = 3 , С = — 1 , D = — 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 y 3 — 3 y 2 + 21 y — 19 = 0
Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 — 3 · 1 2 + 21 · 1 — 19 = 0 .
Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0
x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 — 1 2 x — 5 2 = 0
x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x — 2 = 0
Корнями первого уравнения будут x = — 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = — 2 .
Определение комплексных корней алгебраического уравнения четвертой степени Текст научной статьи по специальности «Математика»
Предложен алгоритм расчета вещественной части комплексных корней уравнений на основе кратких эквивалентных уравнений с коэффициентами в виде сумм и произведений корней.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ильин В.М.
Definition of complex roots of the fourth degree algebraic equation
The calculating algorithm of the real part of the complex roots of equations on the basis of brief equivalent equations with coefficients in the form of roots' sums and products is proposed.
Текст научной работы на тему «Определение комплексных корней алгебраического уравнения четвертой степени»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники, Республика Беларусь
Аннотация. Предложен алгоритм расчета вещественной части комплексных корней уравнений на основе кратких эквивалентных уравнений с коэффициентами в виде сумм и произведений корней.
Ключевые слова: укороченные уравнения, разделение, пары корней, дискриминанты, проверка решений.
Abstract. The calculating algorithm of the real part of the complex roots of equations on the basis of brief equivalent equations with coefficients in the form of roots' sums and products is proposed.
Keywords: truncated equations, separation, pairs of roots, discriminants, verification of solutions.
Для категории уравнений с комплексными корнями, как и для уравнений с вещественными корнями, [1, 2], характерна парность корней. Учет этого дает возможность упростить решение уравнений, основываясь в обоих случаях на кратких, или укороченных уравнениях, содержащих только суммы и произведения корней заданных алгебраических уравнений. Алгебраические уравнения широко используются при анализе устойчивости работы различных устройств автоматики и электронной техники, работающих на различных частотах [3].
Отличительной особенностью алгебраических уравнений с комплексными корнями является то, что и сумма, и произведение сопряженных комплексных корней являются вещественными величинами [4, 5], следовательно, к ним применим метод арифметических прогрессий для отыскания комплексных корней. К тому же, только из суммы и произведений комплексных корней образуются все коэффициенты задаваемых алгебраических уравнений, производных от них. Это указывает на то, что к уравнениям более высоких, чем 4, степеней также применим метод арифметических прогрессий.
Пример определения комплексных корней алгебраических уравнений
Дано уравнение [5]:
Поступила в редакцию 27 февраля 2017
Doklady BGUIR. 2017, Vol. 104, No. 2, pp. 92-95
Definition of complex roots of the fourth degree algebraic equation
Некоторые особенности уравнений с комплексными корнями
Решение численным методом осуществлялось в следующей последовательности. 1. Преобразовывалась переменная х.
2. Решалось вспомогательное кубическое уравнение для получения так называемой кубической резольвенты — некоторого корня кубического уравнения.
3. С помощью резольвенты преобразованное заданное уравнение представлялось в виде двух квадратных уравнений, решение которых давало четыре комплексных корня.
Для решения уравнений более высоких степеней этот алгоритм не рассматривался.
В данной статье показана более простая возможность решения уравнений четвертой степени с комплексными корнями. При этом используются два укороченных уравнения, вещественные коэффициенты которых — это функции суммы 2 и произведения 1 корней заданного уравнения (1), т.е. С = 2, П = 1.
Порядок построения прогрессий для определения вещественных величин, входящих в комплексные корни, следующий:
первая прогрессия С\-р р С1=С/2р р С1+р
вторая прогрессия С:/2-р р С1/2 р а/2+р (2)
третья прогрессия С1/2 0 С1/2 0 Сх/2
Учитывая, что С1= П = 1, можно конкретизировать прогрессии:
0,5-р р 0,5 р 0,5+р (3)
Характерно, что обе верхние прогрессии (2) и (3) имеют всегда одинаковые разности р. При р = 1,6 крайние члены первой прогрессии (2) это -0,6 и 2,6, сумма которых равна С = 2. Сумма их абсолютных величин: [-0,6]+2,6 = 3,2 и [-1,1]+2,1 = 3,2. Таким образом, р = 3,2:2 = 1,6. Кроме того, исследование зависимости корней от р показало, что только при р = 1,6 и вещественные части корней, и вещественные коэффициенты их мнимых частей соответствуют заданным в исходном алгебраическом уравнении (1) величинам С и П. Поэтому заданному уравнению (1) соответствуют два укороченных уравнения: х2+2,6х+4,33 = 0, а
х2-0,6х+0,23 = 0, где [4]: (4)
4,33 = — ; 4,33×0,23 = 1 = П. 0,6
Таким образом, укороченные уравнения (4) осуществляют связь вещественных коэффициентов С и П, оба они отвечают условиям получения комплексных корней. Проверка: (х2+2,6х+4,33)(х2-0,6х+0,23) = х4+2х3+3х2-2х+1 = 0, как и заданное уравнение (1). Их решение: Х12=-1,3 ±у/1,69 — 4,33 = -1,3 ± 1,625 ],
Х34=0,3 ± д/0,09 — 0,23 = 0,3 ± 0,375]. (5)
Следовательно, достаточной основой для определения комплексных корней являются их сумма С и произведение П — две вещественные функции.
Рассмотрим также второй вариант решения заданного уравнения (1). Выше отмечалось, что сумма и произведение сопряженных комплексных корней — это вещественные величины и что к их нахождению применим метод арифметических прогрессий. Прогрессию сумм корней можно представить как:
Меняем в ней местами крайние члены первой строки и одновременно ее разность берем равной р = 1,6:(1+1) = 0,8, где (1+1) = С/2+П, а средняя величина первой строчки (-1,3+0,3):2 = -0,5. Получаем прогрессию:
-1,05 0,8 -0,25 0,8 0,55
-0,25 0 -0,25 0 -0,25
Крайние члены -1,3 и 0,3 первой строки этой прогрессии являются вещественными частями комплексных корней.
Составляем далее прогрессию произведений корней:
0,23 2,05 2,28 2,05 4,33 -0,91 2,05 1,14 2,05 3,19 1,14 0 1,14 0 1,14
Преобразуем эту прогрессию так, чтобы ее разность была равной р = 2,05: (2,28+1) = 0,625, а средняя величина первой строки была равна 1:
0,375 0,625 1 0,625 1,625
-0,125 0,625 0,5 0,625 1,125
Здесь 1,625 и 0,375 это вещественные коэффициенты мнимой части корней.
Комплексные корни, следовательно, такие же как и в предыдущем расчете, т.е. х12= -1,3±1,625],
и х34= 0,3±0,375д. При этом очевидна связь: ^ ^ = ^ ^ .
Прежними будут и укороченные уравнения, содержащие их. Здесь также эффективно применение арифметических прогрессий.
Из уравнения (4) очевидна роль укороченных уравнений: не только трехчленных, как при определении вещественных корней, но даже двухчленных уравнений. Эти уравнения содержат коэффициенты только простейшие: суммы и произведения корней, что позволяет использовать их для определения корней вещественных и комплексных, степени не только четвертой, но и большей с помощью алгоритмов укорочения, т.е. более совершенного метода, чем использование кубической резольвенты.
Отрицательный дискриминант укороченного уравнения, как отмечено выше, однозначно указывает на то, что это уравнение содержит комплексный корень (или корни), что отрицательный дискриминант будет только при положительном свободном члене квадратного алгебраического уравнения.
1. Ильин В.М. Применение арифметических прогрессий для решения алгебраических уравнений высоких степеней // Докл. БГУИР. 2014. № 3 (81). С. 112-117.
2. Ильин В.М. Метод решения алгебраических уравнений высоких степеней, основанный на применении арифметических прогрессий // Докл. БГУИР. 2015. № 3 (89). С. 90-95.
3. Валенко В.С., Хандогин М.С. Электроника и микросхемотехника. Минск: БГУИР, 2000. 320 с.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. СПб: Лань, 2008. 432 с.
5. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1964. 772 с.
1. Il'in V.M. Primenenie arifmeticheskih progressij dlja reshenija algebraicheskih uravnenij vysokih stepenej // Dokl. BGUIR. 2014. № 3 (81). S. 112-117. (in Russ.)
2. Il'in V.M. Metod reshenija algebraicheskih uravnenij vysokih stepenej, osnovannyj na primenenii arifmeticheskih progressij // Dokl. BGUIR. 2015. № 3 (89). S. 90-95. (in Russ.)
3. Valenko V.S., Handogin M.S. Jelektronika i mikroshemotehnika. Minsk: BGUIR, 2000. 320 s. (in Russ.)
4. Kurosh A.G. Kurs vysshej algebry. SPb: Lan', 2008. 432 s. (in Russ.)
5. Ango A. Matematika dlja jelektro- i radioinzhenerov. M.: Nauka, 1964. 772 s. (in Russ.)
Сведения об авторе
Ильин В.М., к.т.н., профессор, Почетный ректор Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники.