Инвариантные подпространства
Пусть — линейное преобразование линейного пространства называется инвариантным относительно преобразования принадлежит подпространству , т.е. . Другими словами, инвариантное подпространство включает свой образ . Нулевое подпространство и все пространство .
Пусть — инвариантное подпространство относительно преобразования . Линейный оператор в себя, называется сужением (ограничением) линейного преобразования на инвариантное подпространство и обозначается , или . Для всех векторов выполняется равенство , т.е. образы, порождаемые оператором , совпадают.
Примеры инвариантных подпространств
Рассмотрим инвариантные подпространства линейных операторов (преобразований).
1. Для нулевого преобразования любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение нулевого преобразования является нулевым преобразованием.
2. Для тождественного преобразования является инвариантным, так как . Сужение тождественного преобразования является тождественным преобразованием.
3. Для центральной симметрии любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение центральной симметрии является центральной симметрией.
4. Для гомотетии любое подпространство является инвариантным, так как (при ). Сужение гомотетии является гомотетией.
5. Для поворота плоскости (при ) имеются два инвариантных подпространства: нулевое и вся плоскость . Других инвариантных подпространств нет.
6. Для оператора дифференцирования каждое из подпространств является инвариантным, так как при дифференцировании степень многочлена уменьшается.
7. Рассмотрим оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора проектирования на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — нулевым .
8. Рассмотрим оператор отражения в подпространстве параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора отражения на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — центральной симметрией , так как .
9. В пространстве радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , вокруг оси инвариантно относительно этого преобразования, так как любой вектор, принадлежащий , не изменяется в результате поворота, т.е. отображается в себя. Подпространство
Свойства инвариантных подпространств
1. Если — инвариантное подпространство относительно обратимого линейного преобразования , то его сужение также обратимое линейное преобразование.
2. Для любого линейного преобразования ядро и
3. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любой натуральной степени этого преобразования, причем
В самом деле, каждое из указанных множеств является линейным подпространством, так как это образы сужений линейных операторов, например, . Докажем, например, включение . Для любого существует вектор , что . Следовательно, .
4. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любого многочлена от этого преобразования.
Теорема (9.2) о матрицах оператора и его сужения на инвариантное подпространство
Пусть — линейное преобразование n-мерного пространства — подпространство, инвариантное относительно преобразования пространства
где преобразования , . И наоборот, если в некотором базисе матрица ), то преобразование подпространства и дополним его векторами до базиса всего пространства базисных векторов по этому базису, получаем
так как . Следовательно, последние элементов первых столбцов матрицы Следствие. Если n-мерное пространство , то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид
где — матрица сужения преобразования .
Например, рассмотрим операторы проектирования и отражения . Объединяя базисы подпространств и , получаем базис пространства , в котором матрицы преобразований имеют блочно-диагональный вид
Инвариантные подпространства.
Пусть — некоторое подпространство пространства и . Вообще говоря, для произвольного вектор не обязательно принадлежит . Однако может случиться, что некоторые подпространства переходят сами в себя под действием оператора .
Определение. Линейное подпространство называется инвариантным относительно оператора , если .
Тривиальными инвариантными подпространствами является все пространство, а также подпространство, состоящее только из нуль-вектора.
Примеры. 1. Пусть в задан оператор поворота на некоторый угол вокруг оси . Инвариантными подпространствами являются, во-первых, ось вращения (одномерное инвариантное подпространство), во-вторых, плоскость , ортогональная оси вращения (двумерное инвариантное подпространство).
2. На плоскости задан оператор, растягивающий плоскость в раз вдоль оси и в раз вдоль оси :
Координатные оси в этом случае — одномерные инвариантные подпространства. В частности, при оператор есть преобразование подобия с коэффициентом , а любая прямая, проходящая через начало координат, есть инвариантное подпространство.
3. Рассмотрим в пространстве , оператор дифференцирования: . Совокупность многочленов степени образует инвариантное подпространство. Действительно, дифференцируя многочлен степени , мы получим многочлен, степень которого снова не превосходит .
4. Ядро и образ линейного оператора являются инвариантными подпространствами.
Особую роль в дальнейшем будут играть одномерные инвариантные подпространства.
Пусть — одномерное подпространство, порожденное вектором (совокупность векторов вида ). По определению, пространство инвариантно относительно оператора тогда и только тогда, если вектор , т.е. вектор кратен вектору : .
Определение. Вектор , удовлетворяющий соотношению , называется собственным вектором, а соответствующее число — собственным значением (характеристическим числом) оператора .
Итак, если — собственный вектор, то векторы образуют одномерное инвариантное подпространство. И наоборот: все ненулевые векторы одномерного инвариантного подпространства являются собственными.
Имеет место следующая
Основная теорема. В комплексном линейном пространстве каждый линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.
Доказательство. Пусть — комплексное -мерное линейное пространство и — произвольный базис в этом пространстве. И пусть оператор определяется в этом базисе матрицей . Тогда представляется в виде
а вектор — в виде
Пусть вектор — собственный для оператора , т.е. . В матричной записи это выглядит так:
Перепишем последнее условие в координатной форме:
Нам надо доказать, что система (1) имеет нетривиальное решение . Критерием нетривиальной совместности квадратной системы является равенство нулю ее определителя:
Получили уравнение -ой степени относительно , которое в поле комплексных чисел имеет хотя бы один корень (основная теорема алгебры). Подставляя в систему (1) этот корень, найдем ненулевое решение системы . Тогда вектор будет собственным вектором, а число — собственным значением оператора : .¨
Замечание. Доказательство теоремы остается в силе, если рассматривать оператор не во всем пространстве , а в любом его инвариантном подпространстве. Поэтому в любом инвариантном подпространстве существует хотя бы один собственный вектор оператора .
Определение. Многочлен , стоящий в левой части уравнения (2), называется характеристическим многочленом оператора , а само уравнение (2) — характеристическим (вековым) уравнением.
Следствие. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда это число – корень характеристического уравнения.
При переходе к другому базису матрица оператора (и оператора ) изменяется, но eё определитель остается неизменным. Поэтому будем обозначать характеристический многочлен = , подразумевая под матрицей матрицу линейного оператора в произвольном базисе. Теперь характеристическое уравнение кратко запишем так:
Представим характеристический многочлен в виде
Коэффициенты , построенные по матрице оператора , не зависят от выбора базиса, так как этим свойством обладает характеристический многочлен. Можно выразить явно через элементы матрицы . Очевидно, старший коэффициент . Мы обратим внимание на коэффициенты и , играющие наибольшую роль. Эти коэффициенты в силу теоремы Виета с точностью до знака совпадают: – с суммой, а – с произведением всех корней характеристического уравнения (всех собственных значений). Сумма называется следом матрицы и обозначается (от английского trace — след) или (от немецкого spur).
В заключение обратим внимание на одно важное свойство характеристического многочлена.
Теорема Гамильтона-Кэли. Если — характеристический многочлен матрицы , то . Иначе: всякая матрица обнуляет свой характеристический многочлен.
Пример. Для матрицы найдём собственные значения и собственные векторы.
Собственный вектор матрицы (оператора) определяется условием
Значит, координаты собственного вектора находятся как нетривиальное решение однородной линейной системы
Составим характеристическое уравнение :
Корни этого уравнения — собственные значения — .
Найдём собственный вектор , соответствующий собственному значению .
Поставим в систему (*) :
Отсюда находим (одна свободная неизвестная). Полагая, например, , получим . Первый собственный вектор с точностью до постоянного множителя определён: .
Найдём второй собственный вектор , соответствующий собственному значению . Поставим в систему (*) :
Отсюда находим , произвольно (свободная неизвестная). Полагая, например, , получим второй собственный вектор с точностью до постоянного множителя: .
Легко проверить, что найденные собственные векторы линейно независимы.
Убедимся, что данная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Для этого надо подставить матрицу в левую часть уравнения (**):