Как найти дифференциал второго порядка

Дифференциал второго порядка

Пусть задана функция

Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом называется дифференциал первого порядка от дифференциала первого порядка заданной функции и обозначается через

$d^2y = d(dy)$

Для вычисления дифференциала второго порядка применяется формула:

$d^2y = f''(x)dx^2$

Задание	Найти дифференциал второго функции $y(x) = x^2 + \arccos x$
Решение	По определению второй дифференциал равен

$d^2y = y''(x) dx^2$

Найдем вторую производную заданной функции. Для этого вначале продифференцируем ее по переменной :

$y'(x) = \left( x^2 + \arccos x \right)' = \left(x^2 \right)' + (\arccos x)' = 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Вторая производная заданной функции:

$y''(x) = (y'(x))' = \left( 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right)' = (2x)' - \left( \left(1 - x^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \right)' =$

$= 2 \cdot (x)' - \left( -\frac{1}{2} \right) \left( 1 - x^2 \right)^{-\frac{3}{2}} \left( 1 - x^2 \right)' =$

$= 2 \cdot 1 + \frac{1}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} \left[ (1)' - (x^2)' \right] = 2 + \frac{1}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} (0 - 2x) =$

$= 2+ \frac{-2x}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} = 2 - \frac{x}{\sqrt{(1 - x^2)^3}}$

Тогда искомый дифференциал второго порядка заданной функции

$d^2y = \left( 2 - \frac{x}{\sqrt{(1 - x^2)^3}} \right) dx^2$

Задание	Найти дифференциал второго порядка функции заданной неявно:
Решение	Найдем первый дифференциал

$d(xy + y^2) = d(1)$

Согласно свойствам дифференциалов, дифференциал суммы равен суме дифференциалов, а дифференциал константы – нулю:

$d(xy) + d(y^2) = 0$

По свойствам расписываем дифференциал произведения:

$d(x) \cdot y + x \cdot dy + 2ydy = 0$

$ydx + xdy + 2ydy = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } dy = -\frac{ydx}{x + 2y}$

Далее находим второй дифференциал Это есть дифференциал первого порядка от дифференциала первого порядка:

Вычисление дифференциалов высших порядков.

Звезда активна Звезда не активна

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Рассмотрим дифференциал $dy(x, dx)=f'(x) dx$, как функцию $x$ при фиксированном $dx. $ Предполагая, что функция $y=f(x)$ дважды дифференцируема в точке $x,$ найдем дифференциал от $dy(x, dx):$

Значение полученного выражения называется вторым дифференциалом или дифферениалом второго порядка функции $y=f(x)$ и обозначается символом $d^2y(x, dx).$

Таким образом, $$d^2y=f»(x)dx^2$$

Примеры:

Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функций:

5.303. $y=a\sin(bx+c).$

Для вычисления диффренциала второго порядка известна формула

Таким образом, получаем

Ответ: $d^2y=-ab^2\sin(bx+c)dx^2.$

5.305. $y=\frac<\sin x>.$

Решение.

Для вычисления диффренциала второго порядка известна формула

Таким образом, получаем

Ответ : $d^2y=\frac<-2x\cos x+(2-x^2)\sin x>dx^2.$

Решение.

Диффренциала второго порядка находим по формуле

Таким образом, получаем

Ответ : $d^2y=2\frac<3x^2-9x+7><(x^2-3x+2)^3>dx^2.$

Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.312. $xy+y^2=1.$

Далее найдем $d^2y:$

Подставляя данные из условия $xy+y^2=1,$ окончательно получаем

Ответ: $d^2y=\frac<2><(x+2y)^3>dx^2.$

5.315. $x=y-a\sin y.$

Решение.

Найдем $y»(x),$ как производную функции, заданной неявно:

Домашнее задание:

Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функций:

5.304. $y=3^<-x^2>.$

Ответ: $3^<-x^2>\ln 9(2x^2\ln 3-1)dx^2$

5.306. $y=ax^2+bx+c.$

Ответ: $2adx^2$

5.308. $y=\sqrt<1-x^2>\arcsin x.$

Ответ: $-\frac<\sqrt<1-x^2>\cdot x+\arcsin x ><(1-x^2)^<3/2>>dx^2$

5.310. $y=\arcsin(a\sin x).$

Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

Дифференциалы различных порядков

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.

Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:

$dy = f ‘(x) \Delta $х

Пусть дана функция y = f(x), где х — независимая переменная. Дифференциал этой функции есть некоторая функция от х но от х зависит только первый сомножитель f ‘(x) второй же сомножитель dx является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит.

Функция dy есть функция от x и называется дифференциалом.

Что такое второй, третий дифференциал

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y.

Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:

$d^3y = d(d2y) = f »'(x)dx^3$

Что такое дифференциал n-го порядка

Дифференциалом n-го порядка является дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:

Пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

Найти дифференциал функции.

По правилу дифференцирования, дифференциал суммы равен сумме дифференциалов функций.

Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала. Производная второй функции так же как и дифференциал равна 0.

Как найти дифференциал второго порядка

Дифференциал второго порядка

Вычисление дифференциалов высших порядков.

Дифференциалы различных порядков

Что такое второй, третий дифференциал

Что такое дифференциал n-го порядка

Добавить комментарий Отменить ответ