Как найти дифференциал неявной функции

Правило 1. Уравнение

при известных условиях задает переменную как неявную функцию аргументов х, у. Чтобы найти полный дифференциал этой функции, надо продифференцировать уравнение (1), т. е. приравнять к нулю полный дифференциал его левой части. Полученное равенство надо разрешить относительно и мы найдем полный дифференциал функции Коэффициенты при дадут соответствующие частные производные.

Таким же образом поступаем при любом числе аргументов.

Пример 1. Найти полный дифференциал и частные производные неявной функции аргументов х, у, заданной уравнением

Решение. Дифференцируя, находим:

Разрешив это равенство относительно получаем полный дифференциал функции (в произвольной точке)

В данной точке (1; -2; -2) имеем:

Коэффициенты при дают значения частных производных в данной точке:

Проверка. Решив уравнение относительно получим:

(перед радикалом берем знак минус, так как при должны иметь ). Из (6) находим:

Подставляя сюда значения снова получаем формулы (5).

Замечание 1. В правиле 1 предполагается, что функция дифференцируема в некоторой точке удовлетворяющей уравнению (1), и в достаточной близости от нее (т. е. во всех точках некоторого шара с центром в точке ). Кроме того, предполагается, что уравнение, полученное дифференцированием, однозначно разрешимо относительно что коэффициент при отличен от нуля). При этих условиях можно утверждать:

1) что уравнение (1) действительно задает как неявную функцию аргументов она определена в некотором круге с центром и принимает значение при

2) что функция дифференцируема в упомянутом круге и, в частности, в точке

В примере 1 вышеперечисленные условия выполнялись. В следующем примере рассмотрен один из разнообразных случаев их нарушения.

Пример 2. Уравнение

задает как неявную функцию аргументов Явное ее выражение таково:

Пытаясь применить правило 1 к нахождению полного дифференциала функции в точке мы получили бы из (7) равенство

В точке это равенство не допускает однозначного решения относительно так как оно обращается в тождество Таким образом, правило 1 не даст возможности найти ни полного дифференциала, ни частных производных функции в рассматриваемой точке.

Дополнительное исследование показывает, что в этой точке функция недифференцируема (§ 434), но имеет частные производные

Правило 2. Система двух уравнений

при известных условиях задает две переменные как неявные функции аргументов Чтобы найти полные дифференциалы этих функций, надо продифференцировать уравнения (10). Полученную систему равенств надо разрешить относительно и мы найдем полные дифференциалы функций Коэффициенты при дадут соответствующие частные производные.

Таким же образом поступаем, когда число уравнений в системе больше двух (при любом числе аргументов).

Пример 3. Найти полные дифференциалы и частные производные неявных функций заданных системой уравнений

Решение. Дифференцируя, находим:

Разрешив систему (12) относительно получаем полные дифференциалы функций

Коэффициенты при дают частные производные

Замечание 2. В правиле 2 предполагается, что функции дифференцируемы в некоторой точке и в достаточной близости от нее. Кроме того, предполагается, что система уравнений, полученная дифференцированием, однозначно разрешима относительно (т. е. что определитель, составленный из коэффициентов при отличен от нуля). При этих условиях можно утверждать:

1) что система (10) действительно задает как неявные функции аргументов эти функции определены в некотором шаре с центром и принимают значения при

Дифференциал неявной функции

Если независимая переменная и функция связаны уравнением которое нельзя разрешить относительно то говорят, что функция задана неявно.

По определению дифференциал функции равен

$dy = y'(x)dx$

То есть вначале надо найти производную заданной неявно функции а затем подставить ее в последнее соотношение.

Чтобы найти указанную производную, необходимо продифференцировать обе части уравнения и из полученного равенства выразить производную

Отметим, что при дифференцировании надо не забывать, что не является независимой переменной, а есть функция от поэтому производную от нее надо находить как от сложной функции.

Примеры вычисления дифференциалов неявных функций

Задание	Найти дифференциал функции заданной неявно уравнением $y^2 + x \ln y = 0$
Решение	Дифференцируем левую и правую части заданного равенства:

$(y^2 + x \ln y)' = (0)'$

Согласно свойствам производной, производная суммы равна сумме производных. Тогда имеем:

$(y^2)' + (x \ln y)' = 0$

$2y \cdot y' + (x)' \cdot \ln y + x \cdot (\ln y)' = 0$

$2y \cdot y' + 1 \cdot \ln y + x \cdot \ln y \cdot y' = 0$

$2y \cdot y' + \ln y + x \cdot \ln y \cdot y' = 0$

Из последнего равенства находим производную :

$(2y + x \ln y) \cdot y' = -\ln y \text{ } \Rightarrow \text{ } y' = -\frac{\ln y}{2y + x \ln y}$

Итак, искомый дифференциал

$dy = y'dx = -\frac{\ln y}{2y + x \ln y}dx$

Задание	Найти дифференциал функции заданной неявно: $\ln xy + x^2 = 1$
Решение	Вначале по свойствам логарифмов упростим выражение. Известно, что логарифм произведения равен сумме логарифмов от каждого из сомножителей, то есть имеем:

$\ln x + \ln y + x^2 = 1$

Дифференцируем левую и правую части последнего равенства:

$\left( \ln x + \ln y + x^2 \right)' = (1)'$

Производная суммы равна сумме производных, а также производная константы равна нулю. Тогда получаем:

$(\ln x)' + (\ln y)' + (x^2)' = 0$

Находим записанные производные и производную от находим как производную сложной функции:

Дифференцирование неявных функций

Частные производные функций, заданных неявно. Если выполнены все условия приведенной выше теоремы и, кроме того, функция дифференцируема в окрестности точки , то функция дифференцируема в окрестности точки и ее производные и могут быть найдены из уравнений

Если функция дифференцируема достаточное число раз, то последовательным дифференцированием этих уравнений вычисляются производные высших порядков от функции .

Дифференцирование неявных функций, заданных системой уравнений. Пусть функции удовлетворяют следующим условиям:

1) обращаются в нуль в точке ;

2) дифференцируемы в окрестности точки ;

3) функциональный определитель (якобиан) в точке .

Тогда система уравнений

однозначно определяет в некоторой окрестности точки систему дифференцируемых функций

удовлетворяющих системе уравнений и начальным условиям

Дифференциалы этих неявных функций могут быть найдены из системы

Пример 6.1. Найти в точке (1;1) частные производные функции , заданной неявно уравнением

Решение. Из уравнения найдем значение функции в данной точке:

. Функция равна нулю в точке (1;1;2) и непрерывна в ее окрестности, а ее частные производные

Поэтому функция является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки (1;1;2) и ее частные производные можно найти по формулам:

а значение в точке (1;1;2):

Пример 6.2. Найти производные первого и второго порядков неявных функций в точке , если эти функции заданы системой уравнений

и удовлетворяют условиям .

Решение. Функции

дифференцируемы в окрестности точки . Частные производные

непрерывны в точке . Так как и , а якобиан в точке отличен от нуля, т. е.

то система уравнений (1) определяет единственную пару функций , дважды дифференцируемых в окрестности точки .

Продифференцируем систему (1) по переменной :

Подставив координаты точки в эту систему, получим

Тогда . Еще раз продифференцируем по систему (2):

6.1. Уравнение определяет как многозначную функцию от . В каких областях эта функция: 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна, 4) четырехзначна? Определить точки ветвления этой функции и ее однозначные ветви.

Найти и для функций, определяемых следующими уравнениями:

6.2. .

6.3. .

6.4. Доказать, что для кривой второго порядка

Для функции найти частные производные первого и второго порядков, если:

6.5. .

6.6. .

6.7. Найти при , если

6.8. .

6.9. .

6.10. Найти , если .

6.11. Найти , если .

6.12. Найти и , если .

6.13. Найти и , если , .

6.14. Система уравнений

определяет дифференцируемые функции и такие, что и . Найти и .

6.15. Функция задана уравнением

Ответы: 6.1.1) нигде; 2) ; 3) ; 4) ; однозначные ветви: ,

Как найти дифференциал неявной функции