Вектора на плоскости. Часть 2
Пусть вектор имеет началом точку , а концом – точку . Координатами вектора называются числа . Обозначают так:
Координаты нулевого вектора равны нулю.
Длина вектора (или абсолютная величина вектора) выражается формулой
Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.
И наоборот. Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
Сложение векторов
Суммой векторов и называется вектор с координатами
Умножение вектора на число
Произведением вектора на число называется вектор , то есть
Коллинеарные вектора
Пусть и – отличные от нуля коллинеарные векторы. Тогда существует число такое, что
Угол между векторами
Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом (наименьший угол).
Угол между двумя векторами находится в промежутке .
Угол между одинаково направленными векторами равен нулю.
Скалярное произведение векторов
I. Скалярным произведением векторов и называется число , то есть
II. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, то есть
Следовательно, если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Верно и обратное.
Из формул I и II скалярного произведения вытекает, что угол между векторами можно найти, используя формулу:
Также, следствием, например, формулы II скалярного произведения есть следующий важный момент:
Как найти величину вектора
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 12 человек(а).
Количество просмотров этой статьи: 20 874.
Вектор — это геометрический объект, который характеризуется как величиной, так и направлением. [1] X Источник информации Величина вектора является его длиной, а направление соответствует тому, куда он указывает. Величина вектора вычисляется довольно легко, для этого достаточно произвести несколько простых действий. К другим важным операциям с векторами относятся сложение и вычитание векторов, нахождение угла между двумя векторами и вычисление векторного произведения.
Планиметрия. Страница 8
. Сам вектор обозначается прописной буквой, например:
. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора
имеют одинаковое направление. А вектора
Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.
Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.
Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.
Рис.1 Обозначение векторов.
Координаты вектора
Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x2-x1 и y2-y1. Например, координаты вектора
с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут:
Координаты нулевого вектора равны нулю.
Абсолютная величина вектора — это его длина. А следовательно, ее можно определить как расстояние между двумя точками, начальной и конечной. Т.е.
Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.
Рис.2 Координаты вектора.
2.Сложение векторов
Пусть заданы два вектора со своими координатами
(b1;b2). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами
В векторной форме можно записать так:
Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.
Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор
параллельным переносом так, чтобы конец вектора
совпадал с началом вектора
. Тогда начало вектора
и конец вектора
и будет сумма векторов
По методу параллелограмма, если два вектора
имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор
Разностью двух векторов
называется такой вектор
, который нужно прибавить к вектору
, чтобы получить вектор
Рис.3 Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число
Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна:
Для любых двух векторов
число λ можно вынести за скобку λ (
Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ 2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что
Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен:
Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5)
Так как координаты вектора
(b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов
Рис.5 Скалярное произведение векторов.
Отсюда вытекает следующий вывод:
если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Репетитор: Васильев Алексей Александрович
Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.
2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.
Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru
6.Пример 1
Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов
Доказательство:
Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора
параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.
Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор
переходит в вектор
. А это значит, что эти вектора равны.
Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору
Рис.6 Задача. Четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Пример 2
Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов
Доказательство:
Найдем координаты векторов
Таким образом, координаты векторов следующие:
А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и xAB = xCD, yAB = yCD, то вектора
Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2).
Пример 3
В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что
Доказательство:
, равный и параллельный вектору
от точки С. И отложим вектор
, равный и параллельный вектору
от точки В (Рис.8).
Тодга получим параллелограмм, в котором вектор
, так же как вектор
. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то