Вероятность попадания в интервал нормально распределенной случайной величины
Пример №1 . Случайная величина X распределена нормально. Её математическое ожидание a = 2 , а среднее квадратическое отклонение σ=5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 4).
Решение. Воспользуемся калькулятором 
.
По условию a=2, σ=5, α=1, β=4, следовательно,
Таблица значений функции Лапласа 
Пример №2 . Известны математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины Х . Построить график функции плотности и функции распределения этой случайной величины.
Решение.
06. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащие интервалу (A,B), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от A до B :
Доказательство: Используем соотношение
P(A ≤ X< B) = F(B) – F(A).
По формуле Ньютона-Лейбница,
Так как P(A ≤ X < B)=P(A < X < B), то окончательно получим
Геометрически полученный результат можно истолковать так : Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (A,B), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, кривой распределения F(X) и прямыми X = A и X = B.
Замечание: В частности, если F(X) – чётная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
Пример. Задана плотность вероятности случайной величины Х
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащие интервалу (0,5; 1).
2.2.8. Вероятность попадания в промежуток
Найдём – вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение из интервала .
И здесь я сформулирую практическое правило: если оба конца и промежутка не «попадают» в точки разрыва функции , то следующие вероятности: , можно найти по единой формуле:
В данном случае концы интервала (–1 и 5) находятся в области непрерывности функции распределения поэтому: .
И действительно, на данном интервале находятся значения , вероятности появления которых: .
Вычислим вероятность . Оба конца этого промежутка не «попадают» в точки разрыва, поэтому:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из данного промежутка. И в самом деле – на нём находится единственное значение , которое может появиться с вероятностью .
Та же самая история с – единственное, тут левый конец промежутка равен «минус» бесконечности:
– самостоятельно проанализируйте, какие значения , и с какими вероятностями располагаются на промежутке
Теперь более занятная ситуация, где нужно особо включать голову: если хотя бы один из концов промежутка «попадает» в точку разрыва функции , то указанную выше формулу можно использовать лишь в одном случае из четырёх, а именно для неравенства:
Примечание: если , то левое неравенство становится строгим, но формула тоже применима.
Найдём . Как быть? – под правило не подходит! Вспоминаем теоремы тервера. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка .
И действительно, этот отрезок включает в себя два значения , которые появляются с вероятностями .
Тут же рассмотрим три других неравенства:
, т.к. на интервале нет значений случайной величины. Да-да, так и пишем.
– это «штатный» случай (см. правило).
– поскольку там нет значений случайной величины.
Кстати, случай с нестрогим неравенством – есть «штатный» случай:
, который можно оформить и так:
– ведь на функции распределения «свет клином не сошёлся».
И, наконец, типовая вероятность – того, что значение случайной величины отклонится от своего математического ожидания не более чем на одно среднее квадратическое отклонение. И, как вы догадываетесь, эти характеристики нужно вычислить. Но на самом деле не нужно, поскольку они уже рассчитаны в Задаче 87:
Раскрываем модуль:
подставляем конкретные значения и пользуемся тем фактом, что они не «попадают» в точки разрыва функции распределения:
Напоминаю, что в типичном случае на интервале или вблизи него «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Так сказать, «центр событий».
Ответ:
Аналогичное задание для самоконтроля, весь трафарет приведён выше:
Задача 94
Составить функцию распределения случайной величины 
Выполнить чертёж. Найти вероятности следующих событий:
Подумайте над рациональным масштабом графика. Если возникают сомнению с нахождением вероятностей, помните – их всегда можно пересчитать вручную, просто посмотрев на исходную табличку.
Решение и ответ там, где обычно.
И не успел я запостить этот материал на сайте (давно это было J), как от читателей стали поступать просьбы включить в статью контрольный пример. Я даже прослезился (прямо как тот профессор), и, конечно же, не смог вам отказать:
Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!