Какова вероятность, что из 100 бросков монеты герб выпадет 50 раз?
Банальная задачка по терири вероятностей на совершенно конкретную формулу — биномиальное распределение (формула Бернулли).
Интуитивный ответ "50 процентов", разумеется, неверен, потому что речь идёт не об одном событии (монета подбрасывается ОДИН раз), а о СЕРИИ событий, в которой возможно 100 разных исходов. Да, не все исходы равновероятны — трудно на протяжении жизни дождаться, чтоб сто раз подряд выпал орёл. — но, к примеру, варианты 49 и 51 почти столь же вероятны, как и 50. А значит, о том, что в ответе будет 50%, можно даже не мечтать.
Вероятность выпадения орла, он же "герб" в тексте вопроса, при одном подбрасываении равна 1/2. Вероятность противоположного события (выпала решка), понятное дело, равна 1-р ≡ q = 1/2. А вероятность того, что в серии из N испытаний нужный результат выпадет ровно K раз, как раз умомянутой формулой и задаётся: p(N, K) = C(N,K)*p^K*q^(N-K), где C(N,K) — биномиальный коэффициент. Кому не лениво, может сам сосчитать. А ответ тут — 7,96%. Как видите, совсем немного.
Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» , страница 17
Пример Вероятность изготовления нестандартной детали р = 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей 5 нестандартные.
n = 1000, k = 5; р = 0,004; λ = nр = 4.
Если считать этот вариант по формуле Бернулли, получим ; по локальной формуле Лапласа имеем .
5. Интегральная теорема Лапласа
Теорема Если вероятность р наступления события А постоянна в каждом из n независимых испытаний, , то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз приближенно равна определенному интегралу
Функция называется интегральной функцией Лапласа или интегралом вероятности, табулирована.
Свойства F(х):
1. F(х) определена для любого х.
2. F(х) не имеет экстремумов.
3. F(х) имеет одну точку перегиба О(0,0).
4. Имеет две горизонтальные асимптоты.
5. F(х) нечетная, F(-х) = — F(х); симметричная относительно О(0,0).
6. Пересекает оси в т. О(0,0).
7. При х = 5 F(х) = 0, 49999997, т.е. практически при F(х) = 0,5.
8. F(х) есть первообразная для j(х).
Итак: , где ; . Формула называется интегральной формулой Лапласа.
Пример Монету бросают 100 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от 32 до 60 раз. n = 100, k1 = 32, k2 = 60; А: выпадение герба; ; .
6. Вероятность отклонения относительной частоты события А от его теоретической вероятности
Пусть проведено n независимых испытаний, в т из них событие А появилось. Относительная частота появления события . Теоретическая вероятность появления события Ав каждом из n независимых испытаний равна р.
Требуется найти , где e – заданное число. Событие запишем по-другому: или . Отсюда . Используя интегральную формулу Лапласа, найдем требуемую вероятность:
Наиболее вероятное число успехов
Наиболее вероятное число успехов в серии повторных независимых испытаний – это такое число , при котором биномиальная вероятность является наибольшей для данного числа испытаний .
Таким образом, вероятность является наибольшей среди вероятностей , , …, , …, .
Наиболее вероятное число успехов удовлетворяет неравенству
Отметим, что — целое число и может быть не единственным.
Пример 5. Найти наивероятнейшее число годных деталей среди 19 проверяемых, если вероятность детали быть годной, равна 0,9.
По условию задачи , , . Найдем целое число , удовлетворяющее неравенству: , или , или .
Это означает, что вероятности и — наибольшие среди всех биномиальных вероятностей при .
Наивероятнейшее число годных деталей равно 17 или 18. Другими словами, при заданных условиях среди 19 проверяемых деталей вероятнее всего будет 17 или 18 годных деталей.
Локальная теорема Муавра-Лапласа
2.1. Вычисление при больших и не малых
Теорема. При больших значениях и не малых вероятность появления события раз в схеме из независимых испытаний Бернулли приближенно вычисляется по формуле , где вспомогательная величина .
Функция называется малой функцией Лапласа. Ее значения приведены в таблице (Приложение 1).
Пример 6. Найти вероятность того, что при 100 подбрасываниях монеты герб появится ровно 50 раз.
Событие — появление герба при одном подбрасывании монеты, . По условию задачи . Так как число испытаний достаточно велико, то искомую вероятность найдем по приближенной формуле Муавра-Лапласа:
Значение найдено по таблице в Приложении.
2.2. Свойства и график функции
График функции
Свойства функции
§ Функция четная: . Значит, ее график симметричен относительно оси ординат.
§ Функция принимает только положительные значения. Значит, ее график выше оси абсцисс.
§ Если значения аргумента , то значение функции . Поэтому в таблице приведены значения функции только для значений аргумента от 0 до 5.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
3.1. Вычисление при больших
Теорема. При большом числе независимых испытаний вероятность появления события от до раз приближенно вычисляется по интегральной формуле Муавра-Лапласа , где и .
Функция называется функцией Лапласа, еезначения приведены в таблице (Приложение 2).
3.2. Свойства и график функции Лапласа
График функции Лапласа
Свойства функции Лапласа
§ , значит, график проходит через начало координат.
§ — нечетная функция, значит, график симметричен относительно начала координат.
§ , значит, прямые и являются горизонтальными асимптотами. При полагают , а при полагают
Пример 7. Найти вероятность того, что при = 100 подбрасываниях монеты герб появится от = 40 до = 60 раз.
Вероятность найдем, применяя приближенную формулу Муавра Лапласа.
По формуле получим:
Здесь использовано свойство нечетности функции Лапласа . Значение найдено по таблице.
Теорема Пуассона
Теорема. Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала ( ), то для вычисления вероятности применяют приближенную формулу Пуассона , где — число появлений события в независимых испытаниях; — среднее число появления события в испытаниях. Значения функции Пуассона приведены в таблице (Приложение 3).
Пример 8. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят на станцию только один абонент.
Вероятность того, что абонент дозвонится в течение часа (успех) мала, . Число одинаковых испытаний (звонки абонентов) велико .
Для нахождения вероятности применим теорему Пуассона. Найдем значение , тогда вероятность .
Контрольные вопросы
1. Опишите схему независимых испытаний Бернулли. Приведите пример.
2. Можно ли считать схемой Бернулли многократное бросание кубика?
3. Вероятность какого события обозначается ?
4. Как можно найти вероятность : 1) при небольшом числе испытаний; 2) при большом числе испытаний?
5. Почему сумма всех биномиальных вероятностей равна 1?
6. Вероятность какого события обозначается ? Как можно найти эту вероятность: 1) при небольшом числе испытаний; 2) при большом числе испытаний?
7. Как в последовательности независимых испытаний найти вероятности: 1) только одного успеха; 2) хотя бы одного успеха; 3) полного успеха; 4) полной неудачи?
8. Что понимается под наиболее вероятным числом успехов? Как найти это число?